Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I
We study improved scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3448 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509540970135552 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:47Z |
| description | We study improved scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.944
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
А. А. Мурач (Чернигов. технол. ун-т)
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I
The refined scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with a boundary are studied.
Elements of these scales are the isotropic spaces of Hörmander – Volevich – Paneyakh. Theory of elliptic
boundary-value problems in such spaces is developed.
Вивчаються уточненi шкали функцiональних гiльбертових просторiв на Rn та гладких многовидах
з краєм. Елементами цiєї шкали є iзотропнi простори Хермандера – Волевiча – Панеяха. Розроблено
теорiю елiптичних крайових задач у цих просторах.
Введение. В настоящей статье изучается уточненная шкала гильбертовых функци-
ональных пространств, введенная авторами в [1]. Гладкостные свойства функций
из пространств этой шкалы определяются не числовым набором, а функциональ-
ным параметром, который является правильно меняющейся функцией одной ве-
щественной переменной. Этот функциональный параметр позволяет более тонко
характеризовать гладкость функции по свойствам ее преобразования Фурье вблизи
бесконечности.
Цель статьи — показать, что свойства уточненной шкалы и классической шка-
лы пространств бесселевых потенциалов во многом аналогичны, что позволяет
распространить теорию эллиптических краевых задач на уточненные шкалы. Эта
аналогия свойств является следствием того, что каждое пространство уточненной
шкалы может быть получено посредством интерполяции с подходящим функци-
ональным параметром пары пространств бесселевых потенциалов. В качестве
параметра здесь следует взять некоторую правильно меняющуюся на +∞ функ-
цию.
Статья состоит из двух частей, каждая из которых содержит два пункта. В п. 1
рассмотрены некоторые необходимые далее свойства медленно меняющихся функ-
ций. В п. 2 показано, что правильно меняющаяся на +∞ функция порядка θ, где
0 < θ < 1, является интерполяционным параметром, т. е. порождает интерполя-
ционный функтор в категории пар гильбертовых пространств. На основании этого
результата в п. 3 изучены методом интерполяции уточненные шкалы на простран-
стве Rn, полупространстве Rn+ и компактном дифференцируемом многообразии
класса C∞. В п. 4 также с помощью интерполяции установлена теорема о нетеро-
вости оператора эллиптической краевой задачи в уточненной шкале пространств
дифференцируемых функций на многообразии.
Необходимо отметить, что пространства, гладкость в которых определяется по-
средством функциональных параметров, были впервые введены и изучены в рабо-
тах [2, 3]. В настоящее время эти пространства являются предметом многих иссле-
дований (см., например, [4, c. 381 – 415; 5] и приведенную в них библиографию).
В частности, эллиптические граничные задачи в некоторых таких пространствах
изучались методом интерполяции в [6].
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2 217
218 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
1. Правильно меняющиеся функции. Напомним, что положительная функ-
ция ϕ, заданная на полуоси [b,+∞), называется правильно меняющейся на +∞
функцией порядка θ ∈ R, если ϕ измерима по Борелю на [b,+∞) и для любого
λ > 0 справедливо ϕ(λt)/ϕ(t) → λθ при t → +∞. Правильно меняющаяся на
+∞ функция порядка θ = 0 называется медленно меняющейся на +∞. Обозначим
через SV совокупность всех медленно меняющихся на +∞ функций. Очевидно,
ϕ — правильно меняющаяся на +∞ функция порядка θ тогда и только тогда, когда
ϕ(t) = tθϕ0(t), t ≥ b, для некоторого ϕ0 ∈ SV. Поэтому при изучении правильно
меняющихся функций достаточно ограничиться медленно меняющимися функци-
ями.
Теория правильно меняющихся функций была основана И. Караматой
в 30-х годах прошлого столетия. Эти функции близки по свойствам к степенным
и достаточно полно изучены [7 – 12]. Они имеют многочисленные приложения, в
основном, благодаря их особой роли в теоремах тауберова типа.
Приведем характерный пример [8, c. 48 – 50] медленно меняющейся функции.
Пример 1.1. Пусть заданы k ∈ N вещественных чисел r1, r2, . . . , rk. Положим
ϕ(t) = (ln t)r1(ln ln t)r2 . . . (ln . . . ln t)rk при t� 1. Тогда ϕ ∈ SV.
Функции, рассмотренные в этом примере, образуют логарифмическую муль-
тишкалу, имеющую ряд приложений в теории функциональных пространств. Дру-
гие примеры функций класса SV будут приведены ниже.
Широкое применение медленно меняющихся функций базируется на таком их
интегральном представлении (см., например, [8, c. 10]).
Предложение 1.1. Пусть ϕ ∈ SV, тогда
ϕ(t) = exp
β(t) +
t∫
b
α(τ)
τ
dτ
при t ≥ b (1.1)
для некоторых числа b > 0, непрерывной функции α : [b; +∞) → R, стремящейся
к нулю в +∞, и измеримой по Борелю ограниченной функции β : [b; +∞) → R,
имеющей конечный предел в +∞. Обратное также верно: любая функция вида
(1.1) принадлежит классу SV.
Отсюда непосредственно вытекает следующее достаточное условие правильно-
го изменения.
Предложение 1.2. Пусть для дифференцируемой функции ϕ : (b; +∞) →
→ (0;+∞) справедливо tϕ′(t)/ϕ(t) → θ ∈ R при t → +∞. Тогда ϕ — правильно
меняющаяся на +∞ функция порядка θ.
Предложение 1.2 приводит к следующим трем полезным примерам медленно
меняющихся на +∞ функций.
Пример 1.2. Рассмотрим функцию ψ(t) = expϕ(t), t � 1, где ϕ взято из
примера 1.1, в котором r1 < 1. Тогда функция ϕ ∈ SV.
Пример 1.3. Пусть α, β, γ ∈ R, причем β 6= 0 и 0 < γ < 1. Положим ω(t) =
= α+ β sin lnγ t, ϕ(t) = (ln t)ω(t) при t > 1. Тогда ϕ ∈ SV.
Пример 1.4. Пусть α, β, γ ∈ R, причем α 6= 0 и 0 < γ < β < 1. Положим
r(t) = α(ln t)−β sin lnγ t и ϕ(t) = tr(t) при t > 1. Тогда ϕ ∈ SV.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 219
Этот пример интересен тем, что, поскольку lnϕ(t) = α(ln t)1−β sin lnγ t, для
функции ϕ(t) множество предельных при t → +∞ точек заполняет всю полуось
(0,+∞).
Сформулируем следующие необходимые далее свойства медленно меняющихся
функций.
Предложение 1.3. Пусть ϕ,ψ ∈ SV, а χ — правильно меняющаяся на +∞
функция (порядка θ). Тогда:
а) существует такая положительная функция ϕ1 ∈ SV ∩ C∞((0;+∞)), что
ϕ(t) ∼ ϕ1(t) при t→ +∞;
б) для произвольного ε > 0 справедливо t−εϕ(t) → 0 и tεϕ(t) → +∞ при
t→ +∞;
в) функции ϕ+ ψ, ϕψ и
ϕ
ψ
принадлежат классу SV;
г) сложные функции χ(ϕ(t)) и ϕ(χ(t)) аргумента t принадлежат классу SV
при условии, что внутренняя функция бесконечно большая в +∞.
Пункты а) – в) этого предложения доказаны, например, в [8, c. 23 – 25]. Там же
установлен п. г) для случая θ = 0, его доказательство легко обобщается на случай
произвольного θ.
Предложение 1.4 [8, c. 63 – 66]. Пусть дано:
а) измеримую по Борелю функцию χ : [0;+∞) → [0;+∞), которая медленно
меняется на +∞ и ограничена на каждом отрезке [0; b], где 0 < b < +∞;
б) измеримую по Лебегу функцию ω : [0;+∞) → [0;+∞) такую, что при
некотором ε > 0 конечны интегралы
1∫
0
λ−εω(λ) dλ и
+∞∫
1
λεω(λ) dλ. (1.2)
Тогда
+∞∫
0
χ(tλ)ω(λ) dλ ∼ χ(t)
+∞∫
0
ω(λ) dλ при t→ +∞.
В пп. 3, 4 нам понадобятся следующие три леммы.
Лемма 1.1. Пусть функция ϕ ∈ SV положительна на [1,+∞) и ограничена
вместе с функцией 1/ϕ на каждом отрезке [1; b], где 1 < b < +∞. Тогда для
произвольного числа ε > 0 найдется такая конечная постоянная c(ε) > 0, что для
любых t ≥ 1, s ≥ 1 выполняется неравенство
ϕ(t)
ϕ(s)
≤ c(ε) (1 + |t− s|ε). (1.3)
Доказательство. Пусть ε > 0. В силу предложения 1.1 представим ϕ в виде
(1.1). Поскольку там α(τ) → 0 при τ → +∞, найдется такое число bε ≥ 1,
что |α(τ)| ≤ ε при τ ≥ bε. Возьмем произвольные числа t ≥ 1, s ≥ 1. Далее
в доказательстве будем обозначать через c1, c2, . . . , c6 конечные положительные
постоянные, не зависящие от t и s. Докажем (1.3) отдельно для четырех возможных
случаев расположения чисел t и s относительно bε. Первый случай t ≥ bε, s ≥ bε.
В силу (1.1) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
220 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
ϕ(t)
ϕ(s)
= exp
t∫
s
α(τ)
τ
dτ ≤ exp
∣∣∣∣∣∣
t∫
s
ε
τ
dτ
∣∣∣∣∣∣ = max
{(
t
s
)ε
,
(s
t
)ε}
=
= max
{(
1 +
t− s
s
)ε
,
(
1 +
s− t
t
)ε}
≤
≤ (1 + |t− s|)ε ≤ c1(1 + |t− s|ε). (1.4)
Второй случай t ≥ bε, 1 ≤ s ≤ bε. В силу предложения 1.3 б) и условия ϕ(t) ≤ c2 t
ε
1/ϕ(s) ≤ c2. Отсюда
ϕ(t)
ϕ(s)
≤ c22 t
ε = c22 (s+ (t− s))ε ≤ c22 (bε + |t− s|)ε ≤
≤ c22 bε(1 + |t− s|)ε ≤ c3 (1 + |t− s|ε).
Третий случай 1 ≤ t ≤ bε, s ≥ bε. Аналогично предыдущему случаю имеем
1/ϕ(s) ≤ c4 s
ε, ϕ(t) ≤ c4 и, следовательно,
ϕ(t)
ϕ(s)
≤ c24 s
ε = c24 (t+ (s− t))ε ≤ c24 (bε + |s− t|)ε ≤
≤ c24 bε(1 + |s− t|)ε ≤ c5 (1 + |t− s|ε).
Четвертый случай 1 ≤ t ≤ bε, 1 ≤ s ≤ bε тривиален: ϕ(t)/ϕ(s) ≤ c6 ≤ c6(1 +
+ |t − s|ε). Таким образом, (1.3) справедливо для произвольных t ≥ 1, s ≥ 1, что
и требовалось доказать.
Лемма 1.2. Пусть функция ψ1 ∈ SV положительна, непрерывна на [1;+∞) и
удовлетворяет условию
J =
+∞∫
1
d t
t ψ1(t)
< +∞.
Тогда существует такая функция ψ0 ∈ SV, положительная и непрерывная на
[1;+∞), что ψ0(t)/ψ1(t) → 0 при t→ +∞ и
+∞∫
1
d t
t ψ0(t)
< +∞.
Доказательство. Положим
ϕ(t) =
+∞∫
t
d t
t ψ1(t)
, ψ0(t) = ψ1(t)
√
ϕ(t), t ≥ 1.
Согласно условию функция ϕ конечная и положительная на [1;+∞), причем
ϕ(t) → 0 при t → +∞. Кроме того, ϕ имеет непрерывную производную ϕ′(t) =
= −(t ψ1(t))−1, t ≥ 1. Отсюда и из условия ψ1 ∈ SV по правилу Лопиталя имеем
lim
t→+∞
ϕ(λ t)
ϕ(t)
= lim
t→+∞
λ (λ tψ1(λ t))−1
(t ψ1(t))−1
= lim
t→+∞
ψ1(t)
ψ1(λ t)
= 1, λ > 0,
т. е. ϕ ∈ SV. Обратимся теперь к функции ψ0. Она положительна и непрерывна на
[1;+∞). Поскольку ψ1, ϕ ∈ SV, то ψ0 ∈ SV в силу предложения 1.3 в), г). Кроме
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 221
того, ψ0(t)/ψ1(t) =
√
ϕ(t) → 0 при t→ +∞ и
+∞∫
1
d t
t ψ0(t)
=
+∞∫
1
d t
t ψ1(t)
√
ϕ(t)
= −
+∞∫
1
dϕ(t)√
ϕ(t)
= −
0∫
J
d τ√
τ
< +∞.
Таким образом, ψ0 удовлетворяет условиям леммы.
Лемма 1.3. Пусть функция ψ1 удовлетворяет условию леммы 1.2. Тогда
+∞∫
τ
d t
t ψ1(t)
≤
+∞∫
τ
d t√
t2 − τ2 ψ1(t)
≤ c
+∞∫
τ
d t
t ψ1(t)
, τ ≥ 1,
с постоянной c > 0, не зависящей от τ.
Доказательство. Левое неравенство тривиально. Докажем правое неравен-
ство. В силу формулы среднего значения для произвольного τ ≥ 1 запишем
2τ∫
τ
d t√
t2 − τ2 ψ1(t)
=
1
ψ1(s1)
2τ∫
τ
d t√
t2 − τ2
=
ln(2 +
√
3)
ψ1(s1)
,
2τ∫
τ
d t
t ψ1(t)
=
1
ψ1(s2)
2τ∫
τ
d t
t
=
ln 2
ψ1(s2)
;
здесь s1, s2 ∈ [τ ; 2τ ]. Затем, применив предложение 1.1 к функции ϕ = ψ1 ∈ SV,
получим, как и при доказательстве леммы 1.1 (формула (1.4)), оценку
ψ1(s2)
ψ1(s1)
≤
≤ max
{
s2
s1
,
s1
s2
}
≤ 2 при τ ≥ b1 для некоторого b1 ≥ 1. Кроме того, поскольку
ψ1 непрерывна и положительна, то
ψ1(s2)
ψ1(s1)
≤ c1 < +∞ при 1 ≤ τ ≤ b1. Следова-
тельно,
2τ∫
τ
d t√
t2 − τ2 ψ1(t)
=
ψ1(s2) ln(2 +
√
3)
ψ1(s1) ln 2
2τ∫
τ
d t
t ψ1(t)
≤ c2
2τ∫
τ
d t
t ψ1(t)
, τ ≥ 1,
с постоянной c2, не зависящей от τ. Сложив это неравенство с очевидным нера-
венством
+∞∫
2τ
d t√
t2 − τ2 ψ1(t)
≤ 2√
3
+∞∫
2τ
d t
t ψ1(t)
, τ ≥ 1,
получим правое неравенство в (1.5).
Лемма 1.3 доказана.
2. Интерполяция с функциональным параметром. Хорошо известно [13,
c. 250 – 255], [14] (гл. I), сколь важную роль играют степенные функции в теории
интерполяции гильбертовых пространств. Оказывается, что в ней вместо степен-
ных функций можно использовать более общие правильно меняющиеся функции.
Приведем сначала определение пространства, которое строится по паре гиль-
бертовых пространств с помощью функционального параметра (см., например, [6,
c. 48, 49]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
222 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Пусть даны комплексные сепарабельные гильбертовы пространства X0 и X1
такие, что справедливо непрерывное плотное вложение X1 ↪→ X0. В этом случае
пару X = [X0, X1] будем называть допустимой. Как известно (см., например, [14,
c. 22]), для X существует такой изометрический изоморфизм A : X1 ↔ X0, что
оператор A является самосопряженным положительно определенным оператором
в X0 с областью определения X1. Оператор A называется порождающим для
пары X, этот оператор единственный. В самом деле, пусть оператор B также
порождающий для пары X. Тогда операторы A и B метрически равны: ‖Au‖X0 =
= ‖u‖X1 = ‖Bu‖X0 для любого u ∈ X1. Кроме того, эти операторы положительно
определены. Следовательно, они равны: A = B.
Рассмотрим далее функцию ψ, положительную и измеримую по Борелю на
(0;+∞).Поскольку спектр оператораA является подмножеством полуоси (0;+∞),
в X0 определен оператор ψ(A) как функция от A. Область определения оператора
ψ(A) есть линейное множество, плотное в X0. Обозначим через [X0, X1]ψ или,
короче, через Xψ область определения оператора ψ(A), наделенную таким скаляр-
ным произведением:
(u, v)Xψ = (u, v)X0 + (ψ(A)u, ψ(A)v)X0 .
Это скалярное произведение порождает норму графика в Xψ : ‖u‖Xψ =
=
(
‖u‖2X0
+ ‖ψ(A)u‖2X0
)1/2
. Поскольку оператор ψ(A) замкнут вX0, то простран-
ство Xψ полное, т. е. гильбертово. Справедливо непрерывное плотное вложение
Xψ ↪→ X0.
Далее центральную роль будет играть следующее определение. Функция ψ на-
зывается интерполяционным параметром, если для произвольных допустимых пар
[X0, X1], [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для произвольного линейного отоб-
ражения T, заданного на X0, выполняется следующее: если при каждом j = 0; 1
сужение отображения T на пространство Xj является ограниченным оператором
T : Xj → Yj , то и сужение отображения T на пространство [X0, X1]ψ является
ограниченным оператором T : [X0, X1]ψ → [Y0, Y1]ψ.
Хорошо известно [13, c. 250 – 255; 14, c. 41], что степенная функция ψ(t) = tθ с
показателем θ ∈ (0; 1) является интерполяционным параметром. Мы покажем, что
для правильно меняющейся функции имеет место аналогичный результат. А имен-
но, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть положительная на (0;+∞) функция ψ удовлетворяет
следующим условиям:
а) ψ измерима по Борелю на (0;+∞);
б) ψ ограничена на каждом отрезке [a; b], где 0 < a < b < +∞;
в) ψ — правильно меняющаяся на +∞ функция порядка θ, причем 0 < θ < 1.
Тогда ψ является интерполяционным параметром.
Доказательству теоремы 2.1 предпошлем шесть лемм.
Лемма 2.1. Пусть пара X = [X0, X1] гильбертовых пространств допусти-
мая, а функция ψ удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1. Тогда справедливы
непрерывные плотные вложения X1 ↪→ Xψ ↪→ X0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 223
Доказательство. Согласно изложенному выше, необходимо установить лишь
левое вложение. Пусть оператор A является порождающим для парыX. Поскольку
этот оператор положительно определенный в X0, существует такое число κ > 0,
что спектр оператора A является подмножеством [κ; +∞). Пусть Et t ≥ κ, —
разложение единицы дляA вX0. Отметим далее следующий факт (он используется
и при доказательстве других лемм). Поскольку ψ является правильно меняющейся
на +∞ функцией порядка θ ∈ (0; 1), ψ(t) = tθϕ(t) для некоторого ϕ ∈ SV. В силу
п. б) предложения 1.3 для ε = min{θ; 1 − θ}/2 > 0 справедливо t−εϕ(t) → 0
и tεϕ(t) → +∞ при t → +∞. Следовательно, найдется такое число b > κ, что
t−εϕ(t) ≤ 1 и tεϕ(t) ≥ 1 при t ≥ b. Значит,
tθ−ε ≤ ψ(t) ≤ tθ+ε при t ≥ b, (2.1)
причем здесь 0 < θ − ε < θ + ε < 1. В частности, из правого неравенства (2.1), в
силу ограниченности функции ψ на [κ; b ], следует, что для некоторого числа c > 0
выполняется ψ(t) ≤ ct при t ≥ κ. Поэтому для произвольного u ∈ X1 имеем
‖ψ(A)u‖2X0
=
+∞∫
κ
ψ2(t) d(Et u, u)X0 ≤ c2
+∞∫
κ
t2 d(Et u, u)X0 =
= c2‖Au‖2X0
= c2‖u ‖2X1
< +∞.
Следовательно, u ∈ Xψ, причем
‖u‖2Xψ = ‖u‖2X0
+ ‖ψ(A)u‖2X0
≤ ‖u‖2X0
+ c2‖u‖2X1
≤ c0‖u‖2X1
,
здесь число c0 > 0 не зависит от u. Таким образом, имеет место непрерывное
вложение X1 ↪→ Xψ.
Докажем его плотность. Для этого заметим следующее. Поскольку оператор
1 + ψ(A) самосопряженный положительно определенный в X0, он имеет ограни-
ченный обратный оператор (1+ψ(A))−1 : X0 → X0. Теперь ясно, что справедливы
топологические изоморфизмы 1 + ψ(A) : Xψ ↔ X0 и (1 + ψ(A))−1 : X0 ↔ Xψ.
Возьмем произвольное u ∈ Xψ. Тогда u + ψ(A)u ∈ X0 и, поскольку X1 плотно в
X0, найдется такая последовательность (vj) ⊂ X1, что vj → u + ψ(A)u в X0 при
j →∞. Значит, uj = (1+ψ(A))−1vj → u в Xψ при j →∞. Кроме того, поскольку
vj ∈ X1, то
uj = (1 + ψ(A))−1A−1Avj = A−1(1 + ψ(A))−1Avj ∈ X1.
Таким образом, последовательность (uj) ⊂ X1 аппроксимирует элемент u в Xψ.
Поэтому вложение X1 ↪→ Xψ плотное.
Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2. Пусть функция ψ удовлетворяет условию теоремы 2.1. Тогда
существует такая непрерывная функция h : R → R, что:
а) для некоторых положительных постоянных c0,m справедлива оценка
|h(τ)| ≤ c0(1 + |τ |)m при τ ∈ R; (2.2)
б) для любого числа κ > 0 найдутся такие положительные постоянные
c1(κ), c2(κ), что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
224 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
c1(κ)
1 + ψ2(t)
≤
∫
d τ
t2 + h2(τ)
≤ c2(κ)
1 + ψ2(t)
при t ≥ κ. (2.3)
Здесь и далее в этом пункте интеграл, в котором не указаны пределы интегри-
рования, берется по всей оси.
Доказательство. Имеем ψ(t) = tθϕ(t) при t > 0, где ϕ ∈ SV. Возьмем
такую непрерывную функцию ϕ1 : (0;+∞) → (0;+∞), что ϕ1(1) = 1, ϕ1 ∈ SV
и ϕ1(t) ∼ ϕ(t) при t → +∞. (Это можно сделать в силу п. а) предложения 1.3.)
Имеем t2θϕ2
1(t) ∼ t2θϕ2(t) = ψ2(t) при t → +∞. Но поскольку θ > 0, согласно
п. б) предложения 1.3, ψ(t) = tθϕ(t) → +∞ при t→ +∞. Значит, ψ2(t) ∼ 1+ψ2(t)
при t→ +∞. Теперь последние две эквивалентности влекут
t2θ ϕ2
1(t) ∼ 1 + ψ2(t) при t→ +∞. (2.4)
Положим ϕ2(t) = t1−2θϕ−2
1 (t) при t ≥ 1 и ϕ2(t) = t1−2θ при 0 < t < 1. Функция
ϕ1 непрерывна на (0;+∞), причем ϕ1(1) = 1, значит, функция ϕ2 : (0; +∞) →
→ (0;+∞) также непрерывна. Далее, поскольку в силу п. в) предложения 1.3,
справедливо ϕ−2
1 ∈ SV, то ϕ2 — правильно меняющаяся на +∞ функция порядка
1−2θ ∈ (−1; 1). Следовательно, взяв в (2.1) ϕ2 вместо ψ и 1−2θ вместо θ, запишем
t1−2θ−ε ≤ ϕ2(t) ≤ t1−2θ+ε при t ≥ b, (2.5)
где −1 < 1− 2θ − ε < 1− 2θ + ε < 1. Отсюда, в частности, следует, что
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
< +∞ при t > 0.
Преобразуем этот интеграл так. В силу свойств функции ϕ2 можем записать
ϕ2(t) = t1−2θϕ3(t) при t > 0, где функция ϕ3 : [0; +∞) → (0;+∞) непрерывная и
медленно меняющаяся на +∞. Для каждого параметра t > 0 выполним в интеграле
замену η = t λ. В результате получим
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
=
+∞∫
0
ϕ2(t λ) t d λ
t2 + (t λ)2
=
1
t
+∞∫
0
ϕ2(t λ) d λ
1 + λ2
=
=
1
t
+∞∫
0
(t λ)1−2θϕ3(t λ)
1 + λ2
d λ = t−2θ
+∞∫
0
ϕ3(t λ)
λ1−2θ
1 + λ2
d λ при t > 0.
Теперь воспользуемся предложением 1.4, в котором положим χ = ϕ3, ω(λ) =
= λ1−2θ/(1 + λ2). Поскольку −1 < 1 − 2θ < 1, интегралы (1.2) конечны для
достаточно малого ε > 0. Следовательно, согласно предложению 1.4
+∞∫
0
ϕ3(t λ)
λ1−2θ
1 + λ2
d λ ∼ ϕ3(t)
+∞∫
0
λ1−2θ
1 + λ2
d λ = c ϕ3(t) при t→ +∞,
где c — положительное число. Отсюда в силу предыдущего цепного равенства и
формулы (2.4) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 225
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
∼ c t−2θϕ3(t) =
c
t
t1−2θϕ3(t) =
c
t
ϕ2(t) ∼
∼ c
t
t1−2θϕ−2
1 (t) = c t−2θϕ−2
1 (t) ∼ c (1 + ψ2(t))−1 при t→ +∞.
Следовательно, для некоторого достаточно большого числа b выполняется
c/2
1 + ψ2(t)
≤
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
≤ 2c
1 + ψ2(t)
при t ≥ b. (2.6)
Зафиксируем далее произвольное число κ > 0 и будем считать, что b > κ. Согласно
условию, функция (1+ψ2(t))−1 отделена от нуля на [κ ; b ], и поэтому существует
число c0(κ) ≥ 1, что
c−1
0 (κ)
1 + ψ2(t)
≤
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
b2 + η2
≤
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
≤
≤
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
κ2 + η2
≤ c0(κ)
1 + ψ2(t)
при κ ≤ t ≤ b.
Отсюда в силу (2.6) следует существование таких положительных чисел c1(κ) и
c2(κ), что
c1(κ)/2
1 + ψ2(t)
≤
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
≤ c2(κ)/2
1 + ψ2(t)
при t ≥ κ. (2.7)
Приведем теперь последний интеграл к виду интеграла из (2.3). Положим
ω(η) =
η∫
0
ϕ2(t) dt, η ≥ 0.
Поскольку функция ϕ2 : (0; +∞) → (0;+∞) непрерывна и ϕ2(t) = t1−2θ при
0 < t < 1, причем 1 − 2θ ∈ (−1; 1), функция ω : [0; +∞) → [0;+∞) строго
возрастает, непрерывна и существует ω′(η) = ϕ2(η) > 0 при η > 0. Кроме того,
ω(0) = 0 и ω(η) → +∞ при η → +∞. Последнее соотношение вытекает из левого
неравенства (2.5), в котором 1− 2θ − ε > −1. Действительно,
ω(η) ≥
η∫
b
ϕ2(t) d t ≥
η∫
b
t1−2θ−ε d t =
ηδ − bδ
δ
при η ≥ b, где δ = 2− 2θ − ε > 0.
Итак,
ω(η) ≥ ηδ − bδ
δ
при η ≥ b, (2.8)
что и влечет нужное соотношение. Пусть теперь функция h : [0;+∞) → [0;+∞)
является обратной к ω. Функция h строго возрастает и непрерывна на [0;+∞),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
226 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
причем h(0) = 0, h(τ) → +∞ при τ → +∞ и существует h′(τ) > 0 при τ > 0.
Поэтому, выполнив замену η = h(τ) (⇔ τ = ω(η)), получим в силу ϕ2(η) d η =
= ω′(η) d η = d τ равенство
+∞∫
0
ϕ2(η) d η
t2 + η2
=
+∞∫
0
d τ
t2 + h2(τ)
при t > 0. (2.9)
Продолжим функцию h четным образом на (−∞; 0).Имеем непрерывную функцию
h : R → R, для которой в силу (2.7), (2.9) выполняется (2.3). Отметим, что
построение функции h не зависит от κ. Осталось показать, что h удовлетворяет
оценке (2.2). Для этого в неравенстве (2.8) возьмем θ = h(τ) ≥ b. Тогда ω(θ) =
= τ ≥ ω(b) и τ ≥ hδ(τ)− bδ
δ
. Отсюда получаем h(τ) ≤ (δ τ + bδ)1/δ ≤ c3(τ + 1)m
при τ ≥ ω(b), где c3 = (δ + bδ)1/δ, m =
1
δ
. Кроме того, h(τ) ≤ h(ω(b)) = b при
0 ≤ τ ≤ ω(b). Поэтому с учетом четности функции h запишем |h(τ)| = h(τ) ≤
≤ c0(1 + |τ |)m для всех τ ∈ R, где c0 = c3 + b. Оценка (2.2), а с ней и лемма 2.2
доказаны.
В следующих четырех леммах будет показано, что Xψ является пространством
следов в точке нуль абстрактных функций из некоторого пространства W (h,X).
Здесь пара X допустимая, функция ψ удовлетворяет условию теоремы 2.1, а функ-
ция h взята из леммы 2.2. Это позволит достаточно легко доказать теорему 2.1.
Указанный прием называется в теории интерполяции методом следов. Он был раз-
работан Ж.-Л. Лионсом [14, c. 21 – 43] для степенной функции и развит Г. Шлензак
[6] (без детализации в доказательствах) для некоторого класса квазиоднородных на
+∞ и в нуле функций.
Для гильбертова пространства H обозначим через L2(R,H) пространство всех
вектор-функций u : R → H, измеримых (в сильном смысле) на R и таких, что∥∥u∥∥
L2(R,H)
=
(∫ ∥∥u(t)∥∥2
H
d t
)1/2
<∞. (2.10)
Рассматривая элементы пространства L2(R,H), будем, как обычно, отождествлять
вектор-функции, эквивалентные на R относительно меры Лебега. Известно [15,
c. 162], что пространство L2(R,H) полно относительно нормы (2.10). Обозначим
далее через C∞0 (R,H) множество всех бесконечно дифференцируемых функций
u : R → H, имеющих компактный носитель. Множество C∞0 (R,H) плотно в
L2(R,H). Для функции u ∈ L2(R,H) рассмотрим ее преобразование Фурье
û(τ) =
1√
2π
∫
e−i τ t u(t) d t,
определенное при каждом τ ∈ R как интеграл Бохнера от H-значной вектор-
функции. Известно [14, c. 29], что отображение u 7→ û (u ∈ C∞0 (R,H)) продол-
жается по непрерывности до изометрического изоморфизма L2(R,H) ↔ L2(R,H).
Тем самым прямое преобразование Фурье Fu = û и обратное ему преобразование
Фурье F−1u определены для любой вектор-функции u ∈ L2(R,H).
Пусть теперь пара X = [X0, X1] гильбертовых пространств допустимая, а
функция h : R → R измерима по Лебегу. Обозначим через W (h,X) множество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 227
всех таких u ∈ L2(R, X1), что h û ∈ L2(R, X0). В пространстве W (h,X) введем
норму ∥∥u∥∥
W (h,X)
=
(∫ ∥∥û(τ)∥∥2
X1
d τ +
∫ ∥∥h(τ) û(τ)∥∥2
X0
d τ
)1/2
.
Лемма 2.3. Пусть пара X = [X0, X1] гильбертовых пространств допустимая
и измеримая по Лебегу функция h : R → R удовлетворяет условию а) леммы 2.2.
Тогда множество C∞0 (R, X1) плотно в W (h,X).
Доказательство проведем методом регуляризации вектор-функции u ∈W (h,
X). Возьмем такую последовательность (ρk) бесконечно дифференцируемых функ-
ций ρk : R → [0;+∞), что
∫
ρk(σ) d σ = 1 и supp ρk ⊆ [ 0; 1/k ]. Рассмотрим
свертку функции ρk и вектор-функции w ∈ L2(R,H): (ρk ∗w)(t) =
∫
ρk(σ)w(t−
−σ) d σ, определенную при каждом t ∈ R как интеграл Бохнера. Нам понадобятся
такие свойства свертки [14, c. 24]: вектор-функция ρk ∗ w : R → H бесконечно
дифференцируемая, причем ее производная (ρk ∗ w)(l) = ρ
(l)
k ∗ w ∈ L2(R,H) для
любого целого l ≥ 0 и, наконец, ρk ∗ w → w в L2(R,H) при k → ∞. Возьмем
теперь произвольное u ∈ W (h,X). Покажем сначала, что ρk ∗ u → u в W (h,X)
при k →∞. Поскольку u ∈ L2(R, X1), то
ρk ∗ u→ u в L2(R, X1) при k →∞. (2.11)
Далее, поскольку h û ∈ L2(R, X0), то F−1(h û) ∈ L2(R, X0) и ρk ∗ F−1(h û) →
→ F−1(h û) в L2(R, X0) при k → ∞. Следовательно, F(ρk ∗ F−1(h û)) → h û в
L2(R, X0) при k →∞. Но
F(ρk ∗ F−1(h û)) =
√
2π ρ̂k · (h û) = h · (
√
2π ρ̂k û) = h · (ρ̂k ∗ u);
значит, h · (ρ̂k ∗ u) ∈ L2(R, X0) и h · (ρ̂k ∗ u) → h û в L2(R, X0) при k → ∞. Это
вместе с (2.11) влечет предел ρk ∗ u → u в W (h,X) при k → ∞. Возьмем теперь
произвольное ε > 0. Согласно доказанному, найдется такой номер k >
1
ε
, что для
v = ρk ∗ u выполняется ∥∥v − u
∥∥
W (h,X)
< ε/2 (2.12)
(условие k > 1/ε нам понадобится при доказательстве леммы 2.5). В неравен-
стве (2.2) можно считать, что m — целое положительное число. Поскольку, как
отмечалось выше в доказательстве, v(2m) = ρ
(2m)
k ∗u ∈ L2(R, X1), вектор-функция
(1 + τ2m) v̂(τ) = F(v + (−1)m v(2m))(τ) аргумента τ принадлежит пространству
L2(R, X1). Пусть бесконечно дифференцируемая функция χ : R → [0;+∞) такая,
что χ(t) = 1 при |t| ≤ 1 и χ(t) = 0 при |t| ≥ 2. Для каждого номера n положим
χn(t) = χ(t/n) при t ∈ R. Тогда [14, c. 25]
χn v → v и (χn v)(2m) → v(2m) в L2(R, X1) при n→∞. (2.13)
Следовательно, для функций аргумента τ справедливо
(1 + τ2m)χ̂n v(τ) =
= F(χn v + (−1)m(χn v)(2m))(τ) → F(v + (−1)mv(2m))(τ) = (1 + τ2m)v̂(τ)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
228 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
в L2(R, X1) ↪→ L2(R, X0) при n→∞. Поэтому в силу (2.2)∥∥h(χ̂n v)− hv̂
∥∥2
L2(R,X0)
=
∫
|h(τ)|2
∥∥χ̂nv(τ)− v̂(τ)
∥∥2
X0
dτ ≤
≤ c
∫
(1 + τ2m)
∥∥χ̂nv(τ)− v̂(τ)
∥∥2
X0
dτ → 0
при n → ∞. Отсюда в силу первого предела в (2.13) вытекает существование
такого номера n, что для w = χn v = χn(ρk ∗ u) ∈ C∞0 (R, X1) выполняется
неравенство ‖w−v‖W (h,X) < ε/2. Следовательно, в силу (2.12) ‖w−u‖W (h,X) < ε.
Это вследствие произвольности u ∈W (h,X) означает, что множество C∞0 (R, X1)
плотно в W (h,X).
Лемма 2.3 доказана.
Замечание 2.1. Можно показать, что при условии леммы 2.3 пространство
W (h,X) является полным. Впрочем, этот факт нам не понадобится.
Лемма 2.4. Пусть параX = [X0, X1] гильбертовых пространств допустимая,
а функция ψ удовлетворяет условию теоремы 2.1. Тогда для функции h из форму-
лировки леммы 2.2 отображение R : u 7→ u(0) (u ∈ C∞0 (R, X1)) продолжается по
непрерывности до линейного ограниченного оператора следа R : W (h,X) → Xψ.
Доказательство. В силу леммы 2.3 достаточно показать, что ‖u(0)‖Xψ ≤
≤ c ≤ ‖u‖W (h,X) для всех u ∈ C∞0 (R, X1) с некоторой постоянной c. Возьмем
произвольное u ∈ C∞0 (R, X1). Пусть оператор A является порождающим для пары
X. Тогда для некоторого числа κ > 0 спектр самосопряженного в X0 оператора
A расположен на полуоси [κ; +∞). Используя спектральную теорему для самосо-
пряженного оператора [15], c помощью некоторого изометрического изоморфиз-
ма J : X0 ↔ L2(G, dµ) приведем оператор A к виду умножения на функцию
α : G→ [κ; +∞). Здесь G — некоторое пространство с конечной мерой µ, функция
α µ-измерима и конечна на G относительно µ. Обозначим через Jû функцию,
которая каждому τ ∈ R ставит в соответствие элемент J(û(τ)) ∈ L2(G, dµ).
Этот элемент для краткости будем далее записывать в виде Jû(τ). Поскольку
u ∈ C∞0 (R, X1) ⊆ C∞0 (R, X0), вектор-функция û : R → X0, а значит, и вектор-
функция Jû : R → L2(G, dµ) суммируемы на R. В силу последнего свойства суще-
ствует [15, c. 218] такая измеримая на R×G комплекснозначная функция w(τ, λ),
что Jû(τ) = w(τ, ·) для почти всех τ ∈ R и
(∫
Jû(τ) d τ
)
(λ) =
∫
w(τ, λ) d τ
для почти всех λ ∈ G. Функция w называется представителем для Jû. Отсюда,
поскольку
u(0) = (F−1û)(0) =
1√
2π
∫
û(τ) d τ в X1 ↪→ X0,
имеем
(J u(0)) (λ) =
1√
2π
(∫
J û(τ) d τ
)
(λ) =
1√
2π
∫
w(τ, λ) d τ
для почти всех λ ∈ G. Теперь∥∥u(0)
∥∥2
Xψ
=
∥∥u(0)
∥∥2
X0
+
∥∥ψ(A)u(0)
∥∥2
X0
=
=
∥∥J u(0)
∥∥2
L2(G,dµ)
+
∥∥J ψ(A)u(0)
∥∥2
L2(G,dµ)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 229
=
∥∥J u(0)
∥∥2
L2(G,dµ)
+
∥∥ψ(α(·))J u(0)
∥∥2
L2(G,dµ)
=
=
∫
G
|(J u(0)) (λ)|2 dµ(λ) + +
∫
G
|ψ(α(λ)) (J u(0)) (λ)|2 dµ(λ) =
=
∫
G
(
1 + ψ2(α(λ))
)
|(J u(0)) (λ)|2 dµ(λ) =
=
1
2π
∫
G
(
1 + ψ2(α(λ))
) ∣∣∣∣∫ w(τ, λ) d τ
∣∣∣∣2 dµ(λ).
Далее, в силу неравенства Коши и оценки (2.3), справедливой для h по условию,
получаем ∣∣∣∣∫ w(τ, λ) d τ
∣∣∣∣2 ≤
(∫ √
α2(λ) + h2(τ)√
α2(λ) + h2(τ)
|w(τ, λ)| d τ
)2
≤
≤
(∫
dτ
α2(λ) + h2(τ)
)∫
(α2(λ) + h2(τ))|w(τ, λ)|2dτ ≤
≤ c2(κ)
1 + ψ2(α(λ))
∫
(α2(λ) + h2(τ))|w(τ, λ)|2dτ
при каждом λ ∈ G (мы здесь также воспользовались тем, что t = α(λ) ≥ κ). Таким
образом, ∥∥u(0)
∥∥2
Xψ
≤ c2(κ)
2π
∫ ∫
G
(α2(λ) + h2(τ)) |w(τ, λ)|2 d τ d µ(λ).
С другой стороны,∥∥u∥∥2
W (h,X)
=
∫ ∥∥û(τ)∥∥2
X1
d τ +
∫ ∥∥h(τ) û(τ)∥∥2
X0
d τ =
=
∫ ∥∥A û(τ)∥∥2
X0
d τ +
∫
h2(τ)
∥∥û(τ)∥∥2
X0
d τ =
=
∫ ∥∥α · J û(τ)∥∥2
L2(G,dµ)
d τ +
∫
h2(τ)
∥∥J û(τ)∥∥2
L2(G,dµ)
d τ =
=
∫
dτ
∫
G
α2(λ) |w(τ, λ)|2 dµ(λ) +
∫
h2(τ) dτ
∫
G
|w(τ, λ)|2 dµ(λ) =
=
∫ ∫
G
(α2(λ) + h2(τ)) |w(τ, λ)|2 d τ d µ(λ).
Следовательно,
∥∥u(0)
∥∥2
Xψ
≤ c2(κ) (2π)−1
∥∥u∥∥2
W (h,X)
для произвольного u ∈ C∞0 (R,
X1), что и доказывает лемму 2.4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
230 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Лемма 2.5. Пусть пара X = [X0, X1], функции ψ, h и оператор R такие,
как в формулировке леммы 2.4. Предположим, что вектор-функция u ∈ W (h,X)
(после надлежащего исправления ее значений на множестве меры нуль с помощью
элементов из X0) является непрерывной в окрестности нуля X0-значной вектор-
функцией. Тогда Ru = u(0).
Доказательство. Возьмем произвольный номер j и обратимся к доказатель-
ству леммы 2.3. Там было показано, что для ε =
1
j
существуют такие номера
k(j) >
1
ε
= j и n(j), что функция wj = χn(j) (ρk(j) ∗ u) ∈ C∞0 (R, X1) удовлетво-
ряет неравенству ‖wj − u‖W (h,X) < ε =
1
j
. Здесь неотрицательные и бесконечно
дифференцируемые на R функции ρk(j) и χn(j) обладают следующими свойства-
ми:
∫
ρk(j)(σ) dσ = 1, supp ρk(j) ⊆
[
0;
1
k(j)
]
, χn(j)(t) = 1 при |t| ≤ n(j)
и χn(j)(t) = 0 при |t| ≥ 2n(j). Таким образом, мы имеем последовательность
(Wj) ⊂ C∞0 (R, X1), сходящуюся к u в W (h,X). Поэтому в силу леммы 2.4
Rwj → Ru в Xψ при j →∞. (2.14)
Покажем теперь, что Rwj → u(0) в X0 при j → ∞. Для каждого номера j на
основании определения функции w напишем
Rwj = wj(0) = χn(j)(0) (ρk(j) ∗ u)(0) = (ρk(j) ∗ u)(0) =
=
∫
ρk(j)(σ)u(0− σ) dσ в X1 ↪→ X0.
Отсюда∥∥Rwj − u(0)
∥∥
X0
=
∥∥∥∥∫ ρk(j)(σ)u(−σ) dσ −
∫
ρk(j)(σ)u(0) dσ
∥∥∥∥
X0
≤
≤
1/k(j)∫
0
ρk(j)(σ) ‖u(−σ)− u(0)‖X0 dσ. (2.15)
Согласно условию, найдется такой номер j0, что функция u : R → X0 непрерывна
на
[
− 1
j0
; 0
]
. Значит, для любого номера j ≥ j0 функция ‖u(−σ)− u(0)‖X0 аргу-
мента σ ∈ R непрерывна на
[
0;
1
k(j)
]
⊆
[
0;
1
j0
]
. Поэтому при каждом j ≥ j0 в
силу формулы среднего значения имеем
1/k(j)∫
0
ρk(j)(σ) ‖u(−σ)− u(0)‖X0 dσ =
= ‖u(−σj)− u(0)‖X0
1/k(j)∫
0
ρk(j)(σ) dσ = ‖u(−σj)− u(0)‖X0 (2.16)
для некоторого σj ∈ [ 0; 1/k(j) ]. Поскольку σj → 0 при j → ∞, формулы (2.15),
(2.16) вместе с непрерывностью функции u : R → X0 в точке нуль влекут ‖Rwj −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 231
−u(0)‖X0 ≤ ‖u(−σj) − u(0)‖X0 → 0 при j → ∞. Итак, Rwj → u(0) в X0
при j → ∞. Отсюда в силу (2.14) и непрерывности вложения Xψ ↪→ X0 имеем
Ru = u(0).
Лемма 2.5 доказана.
Лемма 2.6. Пусть параX = [X0, X1] и функции ψ, hтакие, как в формулировке
леммы 2.4. Тогда оператор следа R из этой леммы имеет ограниченный правый
обратный оператор K : Xψ →W (h,X).
Доказательство. Пусть, как и при доказательстве леммы 2.4, порождающий
для пары X оператор A приведен с помощью изометрического изоморфизма J :
X0 ↔ L2(G, dµ) к виду умножения на функцию α : G→ [κ; +∞), где число κ > 0.
Положим
θ(t) =
(∫
d τ
t2 + h2(τ)
)−1/2
при t > 0. (2.17)
В силу леммы 2.2 (правое неравенство (2.3)) и теоремы Лебега об ограниченной
сходимости функция θ : (0;+∞) → (0;+∞) непрерывна. Кроме того, в силу
левого неравенства (2.3) и неравенства ψ(t) ≤ c t при t ≥ κ (см. доказательство
леммы 2.1) имеем
0 < θ(t) ≤ c
−1/2
1 (κ) (1 + ψ2(t))1/2 ≤ c0 t при t ≥ κ (2.18)
для некоторого числа c0 > 0. Обозначим через X2 область определения оператора
A2. Известно [13, c. 251], что X2 является плотным подмножеством в X1. От-
сюда в силу леммы 2.1 следует, что X2 — плотное подмножество в Xψ. Возьмем
произвольное a ∈ X2 и положим
w(τ, λ) =
√
2π
θ2(α(λ)) (Ja)(λ)
α2(λ) + h2(τ)
при τ ∈ R, λ ∈ G. (2.19)
Ясно, что w(τ, λ) — измеримая функция по совокупности аргументов. Поскольку
a ∈ X2 ⊂ X1, то αJ a ∈ L2(G, dµ). Кроме того, при любых τ ∈ R, λ ∈ G с учетом
(2.18) для t = α(λ) ≥ κ запишем
|α(λ)w(τ, λ)| =
√
2π α(λ)
θ2(α(λ))
α2(λ) + h2(τ)
|(Ja)(λ)| ≤
≤
√
2π c20
α2(λ)
α2(λ) + h2(τ)
|α(λ) (Ja)(λ)| ≤
√
2π c20 |α(λ) (Ja)(λ)|.
Значит, для каждого τ ∈ R справедливо αw(τ, ·) ∈ L2(G, dµ) и, поскольку α(λ) ≥
≥ κ, также w(τ, ·) ∈ L2(G, dµ). Это означает, что J−1w(τ, ·) ∈ X1 для произ-
вольного τ ∈ R. Покажем далее, что J−1w(τ, ·), как X1-значная вектор-функция
аргумента τ ∈ R, принадлежит пространству L2(R, X1), а h(τ) J−1w(τ, ·), как X0-
значная вектор-функция аргумента τ ∈ R, — пространству L2(R, X0). Поскольку
вектор-функция α(λ)w(τ, λ) измеримая по совокупности аргументов и αw(τ, ·) ∈
∈ L2(G, dµ) для каждого τ ∈ R, то [15, c. 215] αw(τ, ·) — измеримая L2(G, dµ)-
значная вектор-функция аргумента τ ∈ R. Следовательно, J−1(αw(τ, ·)) — измери-
мая на R X0-значная вектор-функция и поэтому J−1w(τ, ·) = A−1 J−1(αw(τ, ·))
— измеримая на R X1-значная вектор-функция. Отсюда в силу X1 ↪→ X0 вытекает,
что J−1w(τ, ·) и h(τ) J−1w(τ, ·)— измеримые на R X0-значные вектор-функции.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
232 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Теперь в силу (2.17) – (2.19) имеем∫ ∥∥J−1 w(τ, ·)
∥∥2
X1
d τ +
∫ ∥∥h(τ) J−1 w(τ, ·)
∥∥2
X0
d τ =
=
∫ ∥∥J−1(αw(τ, ·))
∥∥2
X0
d τ + +
∫ ∥∥J−1(h(τ)w(τ, ·))
∥∥2
X0
d τ =
=
∫ ∥∥αw(τ, ·)
∥∥2
L2(G, d µ)
d τ +
∫ ∥∥h(τ)w(τ, ·)
∥∥2
L2(G, d µ)
d τ =
=
∫
dτ
∫
G
(α2(λ) + h2(τ))|w(τ, λ)|2dµ(λ) =
= 2π
∫
dτ
∫
G
(α2(λ) + h2(τ))
∣∣∣∣θ2(α(λ))(Ja)(λ)
α2(λ) + h2(τ)
∣∣∣∣2 dµ(λ) ≤
≤ 2π
c1(κ)
∫
dτ
∫
G
∣∣θ(α(λ)) ( 1 + ψ2(α(λ)) )1/2 (Ja)(λ)
∣∣2
α2(λ) + h2(τ)
dµ (λ) =
=
2π
c1(κ)
∫
G
θ2(α(λ)) ( 1 + ψ2(α(λ)) ) |(Ja)(λ)|2 dµ(λ)
∫
d τ
α2(λ) + h2(τ)
=
=
2π
c1(κ)
∫
G
( 1 + ψ2(α(λ)) ) |(Ja)(λ)|2 dµ(λ) =
=
2π
c1(κ)
( ∥∥Ja∥∥2
L2(G, d µ)
+
∥∥J ψ(A) a
∥∥2
L2(G, d µ)
)
=
=
2π
c1(κ)
( ∥∥ a∥∥2
X0
+
∥∥ψ(A) a
∥∥2
X0
)
=
2π
c1(κ)
‖a‖2Xψ .
Итак, поскольку a ∈ X2 ⊂ Xψ, то∫ ∥∥J−1 w(τ, ·)
∥∥2
X1
d τ +
∫ ∥∥h(τ) J−1 w(τ, ·)
∥∥2
X0
d τ ≤ 2π
c1(κ)
∥∥ a∥∥2
Xψ
<∞. (2.20)
Значит, в частности, вектор-функция J−1 w(τ, ·) аргумента τ ∈ R принадлежит
пространству L2(R, X1), и поэтому корректно определено Ka = F−1(J−1 w(τ, ·))
как элемент пространства L2(R, X1). При этом в силу (2.20)∥∥Ka∥∥2
W (h,X)
=
∥∥ K̂a∥∥2
L2(R,X1)
+
∥∥h K̂a∥∥2
L2(R,X0)
≤ 2π
c1(κ)
∥∥ a∥∥2
Xψ
< ∞.
Таким образом, Ka ∈W (h,X), причем∥∥Ka∥∥
W (h,X)
≤ c3
∥∥ a∥∥
Xψ
, (2.21)
где число c3 > 0 не зависит от a.
Покажем теперь, что TKa = a. Для этого сначала установим непрерывность
вектор-функции Ka : R → X0. В силу (2.19), (2.18) запишем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 233∫ ∥∥J−1 w(τ, ·)
∥∥
X0
d τ =
∫ ∥∥w(τ, ·)
∥∥
L2(G, dµ)
d τ =
=
∫
d τ
∫
G
|w(τ, λ)|2 dµ(λ)
1/2
=
=
√
2π
∫
dτ
∫
G
∣∣∣∣θ2(α(λ))(Ja)(λ)
α2(λ) + h2(τ)
∣∣∣∣2 dµ(λ)
1/2
≤
≤
√
2πc20
∫
dτ
∫
G
α4(λ)|(Ja)(λ)|2
(κ2 + h2(τ))2
dµ(λ)
1/2
=
=
√
2π c20
∫
dτ
κ2 + h2(τ)
∫
G
|α2(λ) (Ja)(λ)|2 dµ(λ)
1/2
=
= c4
∥∥α2Ja
∥∥
L2(G, dµ)
= c4
∥∥A2a
∥∥
X0
<∞,
поскольку a ∈ X2 и c4 =
√
2π c 2
0
∫
(κ2 + h2(τ))−1 dτ <∞ (последнее вытекает из
правого неравенства (2.3)). Таким образом, J−1 w(τ, ·) является суммируемой на R
X0-значной вектор-функцией аргумента τ, и поэтому Ka = F−1(J−1 w(τ, ·)) явля-
ется непрерывной на R X0-значной вектор-функцией. Следовательно, поскольку
(Ka)(t) =
(
F−1(J−1 w(τ, ·))
)
(t) = (2π)−1/2
∫
ei t τ J−1 w(τ, ·) dτ в X0 для всех
t ∈ R, в силу леммы 2.5 имеем RKa = (Ka)(0) = (2π)−1/2
∫
J−1 w(τ, ·) dτ в
X0. Отсюда получаем JRKa = (2π)−1/2
∫
w(τ, ·) dτ в L2(G, dµ). Далее, посколь-
ку вектор-функция w(τ, λ) аргументов τ ∈ R, λ ∈ G является представителем
суммируемой на R функции w(τ, ·) аргумента τ ∈ R и принимающей значения в
L2(G, dµ), в виду последнего равенства и формул (2.19), (2.17) имеем [15, c. 218]
(JRKa) (λ) =
1√
2π
∫
w(τ, λ) dτ =
1√
2π
∫ √
2π
θ2(α(λ)) (Ja)(λ)
α2(λ) + h2(τ)
dτ =
= θ2(α(λ)) (Ja)(λ)
∫
dτ
α2(λ) + h2(τ)
= (Ja)(λ) для почти всех λ ∈ G. (2.22)
Следовательно, RKa = a для произвольного a ∈ X2. Завершим доказательство
леммы так. В силу (2.19) отображение a 7→ Ka = F−1(J−1 w(τ, ·)) (a ∈ X2)
линейное. Далее, поскольку X2 — плотное подмножество в Xψ , из оценки (2.21)
вытекает, что это отображение продолжается по непрерывности до линейного огра-
ниченного оператора K : Xψ → W (h,X). Значит, равенство RKa = a (a ∈ X2)
продолжается по непрерывности на все элементы a ∈ Xψ . Таким образом, K —
правый обратный оператор для R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
234 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Лемма 2.6 доказана.
Теперь перейдем к доказательству теоремы.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть функция ψ удовлетворяет условию теоре-
мы 2.1. Возьмем две произвольные допустимые пары X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1]
гильбертовых пространств. Рассмотрим такой линейный ограниченный опера-
тор T : X0 → Y0, что его сужение на X1 является ограниченным оператором
T : X1 → Y1. Покажем, что сужение отображения T на Xψ является ограни-
ченным оператором T : Xψ → Yψ. Пусть функция h такая, как в формулиров-
ке леммы 2.2. В силу лемм 2.4, 2.6 существуют такие линейные ограниченные
операторы RX : W (h,X) → Xψ, KX : Xψ → W (h,X) и RY : W (h, Y ) → Yψ,
KY : Yψ → W (h, Y ), что RX KX и RY KY — тождественные операторы в Xψ и
Yψ соответственно. Отметим далее следующее. Возьмем j = 0; 1 и для произволь-
ной функции u : R → Xj рассмотрим функцию Tu : R → Yj , которая каждому
t ∈ R ставит в соответствие элемент T (u(t)) ∈ Yj . Из ограниченности операто-
ра T : Xj → Yj непосредственно следует, что линейное отображение u 7→ Tu
является ограниченным оператором T : L2(R, Xj) → L2(R, Yj) при j = 0; 1. По-
кажем, что оператор T : W (h,X) → W (h, Y ) ограничен. Возьмем произвольное
u ∈ W (h,X). Поскольку u ∈ L2(R, X1), то T̂ u = T û в L2(R, Y1). Следовательно,
h T̂u = h(T û) = T (h û) и поэтому∥∥Tu∥∥2
W (h,Y )
=
∥∥T û∥∥2
L2(R,Y1)
+
∥∥T (h û)
∥∥2
L2(R,Y0)
≤
≤ c
(∥∥û∥∥2
L2(R,X1)
+
∥∥hû∥∥2
L2(R,X0)
)
= c
∥∥u∥∥2
W (h,X)
,
где конечное число c > 0 не зависит от u ∈ W (h,X). Таким образом, линейный
оператор T : W (h,X) → W (h, Y ) ограничен. Отсюда с помощью ограниченных
операторов KX : Xψ → W (h,X) и RY : W (h, Y ) → Yψ получаем ограниченный
оператор
RY T KX : Xψ → Yψ. (2.23)
Осталось показать, что RY T KX a = T a для любого a ∈ Xψ. Пусть a ∈ Xψ,
u = KX a ∈ W (h,X). Согласно лемме 2.3, существует такая последователь-
ность (uk) ⊂ C∞0 (R, X1), что uk → u в W (h,X) при k → ∞. Поскольку
T uk ∈ C∞0 (R, Y1), то
RY T uk = T (uk(0)) = T RX uk. (2.24)
Кроме того,
RY T uk → RY T u в Yψ ↪→ Y0 при k →∞, (2.25)
и предел RX uk → RX u в Xψ ↪→ X0 при k →∞ влечет сходимость
T RX uk → T RX u в Y0 при k →∞. (2.26)
Теперь из формул (2.24) – (2.26) получаем равенство RY T u = T RX u. Отсюда в
силу равенства u = KX a получаем RY T KX a = T RX KX a = T a, поскольку
KX — правый обратный оператор к RX . Таким образом, сужение отображения T
на Xψ совпадает с ограниченным оператором (2.23), т. е. оператор T : Xψ → Yψ
ограничен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I 235
Теорема 2.1 доказана.
Отметим, что в дальнейшем нам неоднократно придется интерполировать пря-
мые произведения конечного числа гильбертовых пространств. При этом будем
ссылаться на следующий факт, вытекающий из определения пространства Xψ
(см. [6, с. 53], теорема 4).
Предложение 2.1. Пусть дано конечное число k допустимых пар
[
X
(j)
0 , X
(j)
1
]
,
j = 1, . . . , k, гильбертовых пространств. Предположим, что функция ψ положи-
тельна и измерима по Борелю на (0,+∞). Тогда справедливо следующее равенство
пространств с равенством норм в них: k∏
j=1
X
(j)
0 ,
k∏
j=1
X
(j)
1
ψ
=
k∏
j=1
[
X
(j)
0 , X
(j)
1
]
ψ
.
1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных
пространств // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 5. – С. 689 – 696.
2. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.:
Мир, 1965. – 380 с.
3. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложе-
ния // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
4. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986. – 447 с.
5. Edmunds D. E., Triebel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators // Cambridge
Tracts Math. – 1999. – № 120. – 252 p.
6. Шлензак Г. Эллиптические задачи в уточненной шкале пространств // Вестн. Моск. ун-та. –
1974. – № 4. – С. 48 – 58.
7. De Haan L. On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes //
Math. Cent. Tracts. – 1970. – № 32. – 124 p.
8. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
9. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1989. – 512 p.
10. Geluk J. L., de Haan L. Regular variation, extensions and Tauberian theorems // CWI Tract. – 1987.
– № 40. – 132 p.
11. Reshnick S. I. Extreme values, regular variation and point processes. – New York: Springer, 1987.
– 320 p.
12. Maric V. Regular variation and differential equations. – New York: Springer, 2000. – 127 p.
13. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
14. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 с.
15. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. – Т. 1. Общая теория. – М.: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 896 с.; Т. 2. Спектральная теория. – М.: Мир, 1966. – 1064 с.
Получено 11.10.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3448 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:44Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/5f035f9dd86beddf434b876af83b1a23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34482020-03-18T19:54:47Z Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. We study improved scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed. Вивчаються уточнені шкали функціональних гільбертових просторів на Rn та гладких многовидах з краєм. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха. Розроблено теорію еліптичних крайових задач у цих просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3448 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 2 (2006); 217–235 Український математичний журнал; Том 58 № 2 (2006); 217–235 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3448/3634 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3448/3635 Copyright (c) 2006 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title_alt | Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I |
| title_full | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title_fullStr | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title_full_unstemmed | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title_short | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I |
| title_sort | improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3448 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT murachaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT mihajlecva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT muračaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT mihajlecva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT muračaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsi AT mikhailetsva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii AT murachaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii AT mihajlecva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii AT muračaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii AT mihajlecva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii AT muračaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačii |