On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction
UDC 517.518:519.652 We prove that the polynomials of canonical numerators and denominators of the interpolation and approximation convergents of Thiele’s continued fractions have no common zeros. It is established that the convergents of Thiele’s continued fraction form a staircase sequence of norma...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6133 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512272820994048 |
|---|---|
| author | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_facet | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_sort | Pahirya, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-03-27T15:39:11Z |
| description | UDC 517.518:519.652
We prove that the polynomials of canonical numerators and denominators of the interpolation and approximation convergents of Thiele’s continued fractions have no common zeros. It is established that the convergents of Thiele’s continued fraction form a staircase sequence of normal Pad´e approximants. The region of zeros of the denominator polynomial of the convergent of Thiele’s continued fraction is also determined. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i1.6133 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:26:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i1.6133
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря (Ужгород. нац. ун-т, Мукачiв. держ. ун-т)
ПРО НУЛI МНОГОЧЛЕНIВ ЧИСЕЛЬНИКА I ЗНАМЕННИКА
ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ ТIЛЕ
We prove that the polynomials of canonical numerators and denominators of the interpolation and approximation convergents
of Thiele’s continued fractions have no common zeros. It is established that the convergents of Thiele’s continued fraction
form a staircase sequence of normal Padé approximants. The region of zeros of the denominator polynomial of the
convergent of Thiele’s continued fraction is also determined.
Доведено, що многочлени канонiчних чисельникiв i знаменникiв пiдхiдних дробiв iнтерполяцiйного та апрокси-
мацiйного ланцюгових дробiв Тiле не мають спiльних нулiв. Обґрунтовано, що пiдхiднi дроби ланцюгового дробу
Тiле утворюють схiдчасту послiдовнiсть нормальних апроксимант Паде. Знайдено область, якiй належать нулi
многочлена знаменника пiдхiдного дробу ланцюгового дробу Тiле.
1. Вступ. Функцiя однiєї дiйсної або комплексної змiнної може бути наближена многочленом,
сплайном, апроксимантою Паде, ланцюговим дробом тощо.
Вiдомо, що першi роботи з iнтерполяцiї функцiй многочленами були написанi Ґрегорi та
Ньютоном ще наприкiнцi 17-го столiття. Подальший розвиток теорiї iнтерполяцiї функцiй мно-
гочленами пов’язаний з роботами Уорiнга, Лагранжа, Ойлера, Чебишова, Маркова, Бореля,
Рунге, Бернштейна, Фабера, Марцинкевича та багатьох iнших математикiв.
Уперше задачу iнтерполяцiї функцiй ланцюговими дробами в 1811 та 1815 – 1817 роках
дослiджував Вронський [1, 2]. Цi роботи залишилися непомiченими, оскiльки в монографiях
Тiле [3] та Ньорлунда [4], де задачу iнтерполяцiї дослiджено ґрунтовно, немає посилання на цi
дослiдження. Єдина згадка про роботи Вронського мiститься в книзi [5], яка присвячена iсторiї
ланцюгових дробiв та апроксимацiй Паде.
Не дивлячись на те, що iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб Тiле можна знайти в пiдручниках
[6 – 8] i монографiях [9 – 12], кiлькiсть робiт з iнтерполяцiї ланцюговими дробами та методiв
розвинення функцiй у ланцюговi дроби значно менша за кiлькiсть робiт з теорiї наближення
функцiй многочленами, сплайнами чи апроксимантами Паде. Залишається значна кiлькiсть
невивчених задач в теорiї наближень ланцюговими дробами, частина з яких стосується лише
ланцюгових дробiв.
У данiй роботi розглянуто задачу про нулi канонiчних чисельника i знаменника iнтерполя-
цiйного ланцюгового дробу Тiле та ланцюгового дробу Тiле. Зокрема, доведено, що многочлени
чисельника i знаменника не мають спiльних нулiв. Обґрунтовано, що пiдхiднi дроби ланцюго-
вого дробу Тiле, в який розвинуто функцiю за допомогою формули Тiле, утворюють схiдчасту
послiдовнiсть нормальних апроксимант Паде. Встановлено область нулiв многочлена знамен-
ника пiдхiдного дробу ланцюгового дробу Тiле.
2. Ланцюговi дроби. Наведемо необхiднi вiдомостi з теорiї ланцюгових дробiв.
Означення 1 [13]. Нескiнченний ланцюговий дрiб — це трiйка
\bigl[
\{ ak\} \infty 1 , \{ bk\} \infty 0 , \{ Dk\} \infty 0
\bigr]
по-
слiдовностей, де елементи b0, ak, bk, ak \not = 0, k \in \BbbN , — комплекснi числа, а D0, Dk, k \in \BbbN , —
елементи з розширеної комплексної площини \=\BbbC = \BbbC \cup \{ \infty \} , якi визначено таким чином: якщо
c\bigcirc М. М. ПАГIРЯ, 2022
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1 113
114 М. М. ПАГIРЯ
задано послiдовнiсть перетворень Мебiуса s0(w) := b0 + w, sk(w) := ak/(bk + w), k \in \BbbN , то
Dk := s0 \circ s1 \circ . . . \circ sk(0).
Iз означення випливає, що скiнченний ланцюговий дрiб Dn — це вираз вигляду
Dn = b0 +
a1
b1 +
a2
b2 + . . .
+
an
bn
,
який коротко записують так:
Dn = b0 +
n
K
k=1
ak
bk
= b0 +
a1
b1+
a2
b2 + \cdot \cdot \cdot +
an
bn
. (1)
Аналогiчно, для нескiнченного ланцюгового дробу використовують скорочений запис
D = b0 +
\infty
K
k=1
ak
bk
= b0 +
a1
b1+
a2
b2 + \cdot \cdot \cdot +
ak
bk + \cdot \cdot \cdot
. (2)
Скiнченний ланцюговий дрiб (1) називається n-м пiдхiдним дробом, n-м наближенням
ланцюгового дробу (2). Послiдовностi пiдхiдних дробiв \{ Dn\} ставлять у вiдповiднiсть послi-
довностi комплексних чисел \{ Pn\} i \{ Qn\} , якi визначаються системою лiнiйних рiзницевих
рiвнянь другого порядку [9]
Q - 1 = 0, Q0 = P - 1 = 1, P0 = b0, Pn = bnPn - 1 + anPn - 2,
Qn = bnQn - 1 + anQn - 2, n \in \BbbN .
Числа Pn i Qn називаються, вiдповiдно, n-м канонiчним чисельником i n-м канонiчним зна-
менником пiдхiдного дробу (1), Dn = Pn/Qn. Канонiчнi чисельники i знаменники пiдхiдних
дробiв Dn i Dn - 1 задовольняють детермiнантну формулу [9]
PnQn - 1 - Pn - 1Qn = ( - 1)n - 1
n\prod
i=1
ai. (3)
Ланцюговий дрiб (1) також можна подати у виглядi вiдношення двох континуант.
Означення 2 [14]. Визначник вигляду
\scrH \langle i\rangle
n =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
bi ai+1 0 0 . . . 0 0
- 1 bi+1 ai+2 0 . . . 0 0
0 - 1 bi+2 ai+3 . . . 0 0
0 0 - 1 bi+3 . . . 0 0
...
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 0 . . . bn - 1 an
0 0 0 0 . . . - 1 bn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
, i = 0, n, n \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО НУЛI МНОГОЧЛЕНIВ ЧИСЕЛЬНИКА I ЗНАМЕННИКА ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ ТIЛЕ 115
називається континуантою i скорочено записується таким чином:
\scrH \langle i\rangle
n = \scrK
\Biggl(
ai+1, ai+2, . . . , an - 1, an
bi, bi+1, bi+2, . . . , bn - 1, bn
\Biggr)
.
Вiдомо [15], що виконується спiввiдношення
Dn =
Pn
Qn
=
\scrH \langle 0\rangle
n
\scrH \langle 1\rangle
n
. (4)
Континуанта має таку властивiсть.
Теорема 1 [16]. Якщо елемент ak континуанти \scrH \langle i\rangle
n , де i < k \leq n, дорiвнює нулю, а всi
решта елементiв \scrH \langle i\rangle
n вiдмiннi вiд нуля, то \scrH \langle i\rangle
n = \scrH \langle k\rangle
n \cdot \scrH \langle i\rangle
k - 1.
3. Нулi многочленiв чисельника i знаменника iнтерполяцiйного ланцюгового дробу
Тiле. Нехай функцiю f визначено на компактi \scrZ \subset \BbbC . На множинi iнтерполяцiйних вузлiв
Z =
\bigl\{
zi : zi \in \scrZ , zi \not = zj , i \not = j, i, j = 0, n
\bigr\}
функцiя набуває значення wi = f(zi), i = 0, n.
Функцiя f на \scrZ наближається iнтерполяцiйним ланцюговим дробом Тiле (Т – IЛД) [3, 4]
вигляду
Dn(z) =
Pn(z)
Qn(z)
= b0 +
n
K
i=1
z - zi - 1
bi
, bi \in \BbbC , i = 0, n. (5)
Коефiцiєнти bi, i = 0, n, Т – IЛД знаходять iз iнтерполяцiйної умови Dn(zi) = wi, де
i = 0, n, або через оберненi подiленi рiзницi, або через оберненi рiзницi, або за рекурентним
спiввiдношенням у виглядi ланцюгового дробу [4, 17].
Вiдомо, що чисельник Pn(z) i знаменник Qn(z) Т – IЛД — многочлени, степенi яких задо-
вольняють нерiвностi \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Pn(z) \leq [(n+ 1)/2], \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Qn(z) \leq [n/2]. Многочлени Pn(z) i Qn(z)
визначаються через елементи Т – IЛД b0, bi, z - zi - 1, i = 1, n, за допомогою формули Ойле-
ра – Мiндiнґа [17, 18]
Pn(z) = B
[n]
0
\Biggl(
1 +
n - 1\sum
i=0
Xi(z) +
n - 3\sum
i1=0
Xi1(z)
n - 1\sum
i2=i1+2
Xi2(z) +
n - 5\sum
i1=0
Xi1(z)
n - 3\sum
i2=i1+2
Xi2(z)\times
\times
n - 1\sum
i3=i2+2
Xi3(z) + . . .+
n+1 - 2l\sum
i1=0
Xi1(z)
n+3 - 2l\sum
i2=i1+2
Xi2(z) . . .
n - 1\sum
il=il - 1+2
Xil(z)
\Biggr)
, (6)
Qn(z) = B
[n]
1
\Biggl(
1 +
n - 1\sum
i=1
Xi(z) +
n - 3\sum
i1=1
Xi1(z)
n - 1\sum
i2=i1+2
Xi2(z) +
n - 5\sum
i1=1
Xi1(z)
n - 3\sum
i2=i1+2
Xi2(z)\times
\times
n - 1\sum
i3=i2+2
Xi3(z) + . . .+
n+1 - 2m\sum
i1=1
Xi1(z)
n+3 - 2m\sum
i2=i1+2
Xi2(z) . . .
n - 1\sum
im=im - 1+2
Xim(z)
\biggr)
, (7)
де
l =
\biggl[
n+ 1
2
\biggr]
, m =
\Bigl[ n
2
\Bigr]
, Xi =
z - zi
bi bi+1
, i = 0, n - 1, B
[n]
k =
n\prod
i=k
bi, k = 0, 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
116 М. М. ПАГIРЯ
Введемо у розгляд континуанту
\bfT
\langle i\rangle
j (z) = \scrK
\Biggl(
z - zi, z - zi+1, . . . , z - zj - 1
bi, bi+1, bi+2, . . . , bj
\Biggr)
, i < j. (8)
Тодi Т – IЛД (5) запишеться у виглядi (4) через вiдношення континуант (8) таким чином:
Dn(z) = \bfT
\langle 0\rangle
n (z)/\bfT
\langle 1\rangle
n (z).
Теорема 2. Якщо для деякого значення n \in \BbbN коефiцiєнти Т – IЛД (5) скiнченнi i не до-
рiвнюють нулю, а функцiя f набуває у вузлах вiдмiнних вiд нуля значень, тобто f(zi) \not = 0,
i = 0, n, то многочлени чисельника Pn(z) i знаменника Qn(z) не мають спiльних нулiв, тобто
Pn(z) i Qn(z) — взаємно простi многочлени над полем комплексних чисел i Pn(z)/Qn(z) —
нескоротна рацiональна функцiя.
Доведення. Скористаємося методом математичної iндукцiї. При n = 1 многочлени чисель-
ника P1(z) = b0b1 + z - z0 i знаменника Q1(z) = b1 спiльних нулiв не мають. Якщо n = 2,
то P2(z) = b0b1b2 + b2(z - z0) + b0(z - z1), Q2(z) = b1b2 + z - z1. Iз детермiнантної формули
(3) маємо P2(z)Q1(z) - P1(z)Q2(z) = - (z - z0)(z - z1). Оскiльки P1(z) i Q1(z) не мають
спiльних нулiв, то спiльними нулями многочленiв P2(z) i Q2(z) можуть бути вузли z0 або z1.
Легко переконатися, що z0 i z1 не є спiльними нулями P2(z) i Q2(z).
Припустимо, що при n = 0, k - 1 многочлени Pn(z) i Qn(z) не мають спiльних нулiв.
Тодi при n = k з детермiнантної формули випливає, що Pk(z)Qk - 1(z) - Pk - 1(z)Qk(z) =
= ( - 1)k - 1(z - z0)(z - z1) . . . (z - zk - 1). За припущенням iндукцiї многочлени Pk - 1(z) i Qk - 1(z)
спiльних нулiв не мають. Тодi спiльним нулем многочленiв Pk(z) i Qk(z) може бути лише
один iз iнтерполяцiйних вузлiв z0, z1, . . . , zk - 1. Нехай zs, 0 \leq s \leq k - 1, — один iз вузлiв. Тодi
континуанти \bfT
\langle 0\rangle
k (zs) i \bfT \langle 1\rangle
k (zs) будуть рiвнi:
\bfT
\langle 0\rangle
k (zs) = \scrK
\Biggl(
zs - z0, . . . , zs - zs - 1, 0, zs - zs+1, . . . , zs - zk - 1
b0, b1, . . . , bs, bs+1, bs+2, . . . , bk
\Biggr)
,
\bfT
\langle 1\rangle
k (zs) = \scrK
\Biggl(
zs - z1, . . . , zs - zs - 1, 0, zs - zs+1, . . . , zs - zk - 1
b1, b2, . . . , bs, bs+1, bs+2, . . . , bk
\Biggr)
.
За теоремою 1 маємо \bfT
\langle 0\rangle
k (zs) = \bfT
\langle s\rangle
k (zs)\bfT
\langle 0\rangle
s - 1(zs), \bfT
\langle 1\rangle
k (zs) = \bfT
\langle s\rangle
k (zs)\bfT
\langle 1\rangle
s - 1(zs). Звiдси випли-
ває, що
Pk(zs)
Qk(zs)
=
Ps - 1(zs)
Qs - 1(zs)
.
За припущенням iндукцiї многочлени Pt(z) i Qt(z), t = 0, k - 1, спiльних нулiв не мають.
Отже, вузол zs не буде спiльним нулем Pk(z) i Qk(z). Внаслiдок довiльностi zs приходимо
до висновку, що вказанi многочлени не мають спiльних нулiв. Отже, теорема справедлива i
при n = k.
4. Нулi ланцюгового дробу Тiле. Вiдомо [3, 4], що в граничному випадку iз Т – IЛД (5)
можна отримати формулу Тiле — аналог формули Тейлора в теорiї ланцюгових дробiв. Якщо
iнтерполяцiйнi вузли z0, z1, . . . , zk \rightarrow z\ast , де z\ast \in \scrZ , то граничне значення оберненої рiзницi
k-го порядку \rho k[z0, z1, . . . , zk; f ] називається оберненою похiдною Тiле k-го порядку функцiї
f у точцi z\ast на компактi \scrZ i позначається (k)f(z\ast ), тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО НУЛI МНОГОЧЛЕНIВ ЧИСЕЛЬНИКА I ЗНАМЕННИКА ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ ТIЛЕ 117
(k)f(z\ast ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z0,z1,...,zk\rightarrow z\ast
\rho k[z0, z1, . . . , zk; f ], k \in \BbbN .
Оберненi похiднi Тiле обчислюють за допомогою рекурентної формули [3]
(k)f(z\ast ) = k \cdot (1)
\bigl(
(k - 1)f(z\ast )
\bigr)
+ (k - 2)f(z\ast ), k \in \BbbN 2 = \BbbN \setminus \{ 1\} ,
(0)f(z\ast ) = f(z\ast ),
(1)f(z\ast ) = 1/f \prime (z\ast ).
Якщо функцiя f в деякому околi точки z\ast має оберненi похiднi Тiле до n-го порядку
включно, то її можна записати формулою Тiле
f(z) = b0(z\ast ; f) +
z - z\ast
b1(z\ast ; f)
+
z - z\ast
b2(z\ast ; f)
+ . . .+
z - z\ast
bn(z\ast ; f)
+
z - z\ast
Rn(z; f)
,
де Rn(z; f) — залишок ланцюгового дробу. Коефiцiєнти bi(z\ast ; f) визначаються через оберненi
похiднi Тiле таким чином:
b0(z\ast ; f) = f(z\ast ), b1(z\ast ; f) =
(1)f(z\ast ), bn(z\ast ; f) =
(n)f(z\ast ) - (n - 2)f(z\ast ), n \in \BbbN 2.
Якщо в деякому околi точки z = z\ast функцiя f має нескiнченну кiлькiсть вiдмiнних вiд нуля
обернених похiдних Тiле, то отримаємо розвинення функцiї у формальний ланцюговий дрiб
Тiле (Т – ЛД)
f(z) = b0(z\ast ; f) +
\infty
K
k=1
z - z\ast
bk(z\ast ; f)
. (9)
Властивостi обернених похiдних Тiле, приклади розвинення функцiй за допомогою форму-
ли Тiле в ланцюговi дроби, обґрунтування областей збiжностi та рiвномiрної збiжностi отри-
маних розвинень можна знайти у працях [3, 4, 10, 17, 19].
Пiдхiдний дрiб Dn(z; z\ast , f) Т – ЛД (9) запишемо таким чином:
Dn(z; z\ast , f) =
Pn(z; z\ast , f)
Qn(z; z\ast , f)
= b0(z\ast ; f) +
n
K
k=1
z - z\ast
bk(z\ast ; f)
, (10)
де многочлени чисельника Pn(z; z\ast , f) i знаменника Qn(z; z\ast , f) визначаються через елементи
bi(z\ast ; f), i = 0, n, z - z\ast Т–ЛД (10) за допомогою формули Ойлера – Мiндiнґа (6), (7):
Pn(z; z\ast , f) = B
[n]
0
\Biggl(
1 + (z - z\ast )
n - 1\sum
i=0
Ai + (z - z\ast )
2
n - 3\sum
i1=0
Ai1
n - 1\sum
i2=i1+2
Ai2 + (z - z\ast )
3
n - 5\sum
i1=0
Ai1\times
\times
n - 3\sum
i2=i1+2
Ai2
n - 1\sum
i3=i2+2
Ai3 + . . .+ (z - z\ast )
l
n+1 - 2l\sum
i1=0
Ai1
n+3 - 2l\sum
i2=i1+2
Ai2 . . .
n - 1\sum
il=il - 1+2
Ail
\Biggr)
, (11)
Qn(z; z\ast , f) = B
[n]
1
\Biggl(
1 + (z - z\ast )
n - 1\sum
i=1
Ai + (z - z\ast )
2
n - 3\sum
i1=1
Ai1
n - 1\sum
i2=i1+2
Ai2 + (z - z\ast )
3
n - 5\sum
i1=1
Ai1\times
\times
n - 3\sum
i2=i1+2
Ai2
n - 1\sum
i3=i2+2
Ai3 + . . .+ (z - z\ast )
m
n+1 - 2m\sum
i1=1
Ai1
n+3 - 2m\sum
i2=i1+2
Ai2 . . .
n - 1\sum
im=im - 1+2
Aim
\Biggr)
, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
118 М. М. ПАГIРЯ
де
Ai =
1
bi(z\ast ; f) bi+1(z\ast ; f)
, i = 0, n - 1, B
[n]
l =
n\prod
i=l
bi(z\ast ; f), l =
\biggl[
n+ 1
2
\biggr]
, m =
\Bigl[ n
2
\Bigr]
.
Теорема 3. Якщо коефiцiєнти bk = bk(z\ast ; f), k = 1, n, пiдхiдного дробу (10) скiнченнi
й вiдмiннi вiд нуля i f(z\ast ) \not = 0, то канонiчний чисельник Pn(z; z\ast , f) i канонiчний знамен-
ник Qn(z; z\ast , f) не мають спiльних нулiв, тобто Pn(z; z\ast , f) i Qn(z; z\ast , f) — взаємно простi
многочлени над полем комплексних чисел, Pn(z; z\ast , f)/Qn(z; z\ast , f) — нескоротна рацiональна
функцiя.
Доведення. Скористаємося методом математичної iндукцiї. При n = 1 легко бачити, що
многочлени P1(z; z\ast , f) = b0b1 + z - z\ast i Q1(z; z\ast , f) = b1 спiльних нулiв не мають. Далi,
якщо n = 2, то P2(z; z\ast , f) = b0b1b2 + (b0 + b2)(z - z\ast ), Q2(z; z\ast , f) = b1b2 + z - z\ast . Згiдно
з детермiнантною формулою (3) P2(z; z\ast , f)Q1(z; z\ast , f) - P1(z; z\ast , f)Q2(z; z\ast , f) = - (z - z\ast )
2.
Оскiльки многочлени P1(z; z\ast , f) i Q1(z; z\ast , f) спiльних нулiв не мають, то спiльним нулем
P2(z; z\ast , f) i Q2(z; z\ast , f) може бути лише z\ast . Але z\ast не є нулем анi P2(z; z\ast , f), анi Q2(z; z\ast , f).
Отже, при n = 1, 2 теорема є правильною. Припустимо, що теорема справджується при n =
= k - 1. При n = k детермiнантна формула має вигляд
Pk(z; z\ast , f)Qk - 1(z; z\ast , f) - Pk - 1(z; z\ast , f)Qk(z; z\ast , f) = ( - 1)k - 1(z - z\ast )
k.
За припущенням iндукцiї Pk - 1(z; z\ast , f) i Qk - 1(z; z\ast , f) спiльних нулiв не мають. Спiльним
нулем Pk(z; z\ast , f) i Qk(z; z\ast , f) може бути лише z\ast .
Iз формул (11), (12) випливає, що Pk(z\ast ; z\ast , f) = B
[k]
0 , Qk(z\ast ; z\ast , f) = B
[k]
1 . Отже, z\ast не
є нулем многочленiв чисельника Pk(z; z\ast , f) i знаменника Qk(z; z\ast , f). Таким чином, теорема
правильна i при n = k.
Зауваження 1. В монографiї [20] аналогiчне твердження доведено для випадку ланцюгових
RIT-дробiв.
5. Послiдовностi апроксимант Паде ланцюгового дробу Тiле. Вiдомо [21], що якщо
функцiя f визначена формальним степеневим рядом (ФСР)
f(z) =
\infty \sum
i=0
ciz
i, (13)
то апроксимантою Паде [L/M ]f функцiї f називається нескоротна рацiональна функцiя
R[L/M ](z) = P [L/M ](z)/Q[L/M ](z), де Q[L/M ](0) = 1, яка задовольняє спiввiдношення
R[L/M ](z) = f(z) +O
\bigl(
zL+M+1
\bigr)
.
Двовимiрний масив рацiональних функцiй
\bigl\{
R[M/L](z), L,M \in \BbbN \cup \{ 0\}
\bigr\}
називають табли-
цею Паде для ФСР (13). Апроксиманта Паде [L,M ]f називається нормальною, якщо
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P [L/M ](z) = L, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}Q[L/M ](z) = M.
Запишемо (11) i (12) у виглядi
Pn(z; z\ast , f)(z) = pl(w) = wl + \bfa 1w
l - 1 + . . .+ \bfa l - sw
s + . . .+ \bfa l - 1w + \bfa l, (14)
Qn(z; z\ast , f)(z) = qm(w) = wm + \bfb 1w
m - 1 + . . .+ \bfb m - kw
k + . . .+ \bfb m - 1w + \bfb m, (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО НУЛI МНОГОЧЛЕНIВ ЧИСЕЛЬНИКА I ЗНАМЕННИКА ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ ТIЛЕ 119
де
\bfa l = B
[n]
0 ,\bfa l - s = B
[n]
0
n+1 - 2s\sum
i1=0
Ai1
n+3 - 2s\sum
i2=i1+2
Ai2 . . .
n - 1\sum
is=is - 1+2
Ais , s = 1, l - 1, l =
\biggl[
n+ 1
2
\biggr]
,
\bfb m = B
[n]
1 ,\bfb m - k = B
[n]
1
n+1 - 2k\sum
i1=1
Ai1
n+3 - 2k\sum
i2=i1+2
Ai2 . . .
n - 1\sum
ik=ik - 1+2
Aik , k = 1,m - 1,m =
\Bigl[ n
2
\Bigr]
, (16)
w = z - z\ast , Ai = 1/bibi+1.
Теорема 4. Якщо для кожного значення n \in \BbbN коефiцiєнти bk, k = 1, n, ланцюгового
дробу (10) набувають скiнченних вiдмiнних вiд нуля значень, b0 = f(z\ast ) \not = 0, то послiдовнiсть
пiдхiдних дробiв \{ Dn(z; z\ast , f)\} утворює схiдчасту послiдовнiсть нормальних апроксимант
Паде
\bigl\{
R[0/0](w), R[1/0](w), R[1/1](w), R[2/1](w), R[2/2](w), . . .
\bigr\}
функцiї f.
Доведення. Iз (14), (15) випливає, що Dn(z; z\ast , f) = R[l/m](w). Згiдно з теоремою 3 мно-
гочлени pl(w) i qm(w) не мають спiльних нулiв, а отже R[l/m](w) = pl(w)/qm(w) буде неско-
ротною функцiєю. Легко бачити, що qm(0) = B
[n]
1 \not = 0. Подiлимо многочлени pl(w) i qm(w)
на B
[n]
1 . Тодi R[l/m](w) = \=pl(w)/\=qm(w) — нескоротна функцiя i \=qm(0) = 1. Iз (14), (15) ви-
пливає, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} pl(w) = l, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} qm(w) = m. У статтi [22] доведено, що ланцюговий дрiб Тiле
(9) також вiдповiдає ФСР (13), а тодi R[l/m](z - z\ast ) = f(z) +O(zl+m+1). Отже, послiдовнiсть\bigl\{
R[l/m](w) = Dn(z; z\ast , f)
\bigr\}
є послiдовнiстю нормальних апроксимант Паде функцiї f.
6. Область нулiв знаменника ланцюгового дробу Тiле. Знайдемо область на комплекснiй
площинi, якiй належать всi нулi канонiчного знаменника Qn(z; z\ast , f) ланцюгового дробу Тiле
(10). Будемо використовувати таке твердження.
Твердження 1 [23]. Нехай pn(z) = zn+c1z
n - 1+. . .+cn - 1z+cn — многочлен iз ненульовими
коефiцiєнтами i \=zi, i = 1, n, — нулi цього многочлена. Тодi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
| \=zi| = r0 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
2| c1| , 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c2c1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c3c2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cn - 1
cn - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cn
cn - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} . (17)
Теорема 5. Якщо коефiцiєнти bi = bi(z\ast ; f), i = 1, n, Т – ЛД (10) вiдмiннi вiд нуля, то
нулi канонiчного знаменника Qn(z; z\ast , f)(z) Т – ЛД при n > 4 знаходяться у крузi радiуса r1 з
центром у точцi z\ast , де
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq m
| \=zi - z\ast | = r1 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
2(n - 1)(b\ast )n - 2,
(n - 2)(n - 3)
(n - 1) b2\ast
\rho
\biggr\}
,
b\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
| bi| , b\ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
1\leq i\leq n
| bi| , \rho =
\left\{ (b\ast /b\ast )
n - 4 , якщо b\ast /b\ast \geq 1,
(b\ast /b\ast )
n - 2m , якщо b\ast /b\ast < 1.
Доведення. Згiдно з (15) канонiчний знаменник Qn(z; z\ast , f)(z) = qm(w) є многочленом
m-го степеня iз старшим коефiцiєнтом, що дорiвнює одиницi. Коефiцiєнти \bfb i, i = 1,m, мно-
гочлена qm(w) вiдмiннi вiд нуля. Згiдно iз твердженням 1 нулi цього многочлена wi, i = 1,m,
задовольняють нерiвнiсть (17). Iз (16) випливає (див. [24, 25]), що коефiцiєнт \bfb m - k є сумою\biggl(
n - k
k
\biggr)
добуткiв iз n - 2k спiвмножникiв Ai1Ai2 . . . Ain - 2k
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
120 М. М. ПАГIРЯ
Маємо
| c1| \leq (n - 1)(b\ast )n - 2,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ck
ck - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq (n+ 2 - 2k)(n+ 1 - 2k)
k(n+ 1 - k) b2\ast
\biggl(
b\ast
b\ast
\biggr) n - 2k
, k = 2,m.
Iз (17) отримуємо
r1 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
2| c1| , 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c2c1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c3c2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cm - 1
cm - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cm
cm - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
2(n - 1)(b\ast )n - 2,
2(n - 2)(n - 3)
2(n - 1) b2\ast
\biggl(
b\ast
b\ast
\biggr) n - 4
,
2(n - 4)(n - 5)
3(n - 2) b2\ast
\biggl(
b\ast
b\ast
\biggr) n - 6
, . . .
. . . ,
2(n+ 4 - 2m)(n+ 3 - 2m)
(m - 1)(n+ 2 - m) b2\ast
\biggl(
b\ast
b\ast
\biggr) n+2 - 2m
,
(n+ 2 - 2m)(n+ 1 - 2m)
m(n+ 1 - m) b2\ast
\biggl(
b\ast
b\ast
\biggr) n - 2m
\Biggr\}
.
Нехай n є фiксованим. Дослiдимо допомiжну функцiю
g(x) =
(n+ 1 - 2x)(n+ 2 - 2x)
x(n+ 1 - x)
, x \in \scrR = [2;m].
Похiдна функцiї g
g\prime (x) = - 2x2 - (2n2 + 6n+ 4)x+ n3 + 4n2 + 5n+ 2
x2(n+ 1 - x)2
.
На вiдрiзку \scrR знаменник набуває лише додатних значень. Чисельник дорiвнює нулю, якщо
x1 =
(n+ 1)(n+ 2 -
\surd
n2 + 2n)
2
, x2 =
(n+ 1)(n+ 2 +
\surd
n2 + 2n)
2
.
Оскiльки
\bigl(
n2 + 2n
\bigr)
> n2, то x1 < n+ 1. Отже, g\prime (x) < 0 для x \in \scrR , функцiя g(x) монотонно
спадає на \scrR i набуває найбiльшого значення при x = 2.
Iз (17) маємо
r1 \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
2| c1| , 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c2c1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cm - 1
cm - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| cm
cm - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
2(n - 1) (b\ast )n - 2 ,
(n - 2)(n - 3)
(n - 1) b2\ast
\rho
\biggr\}
.
Зауваження 2. Нулi канонiчного знаменника Qn(z; z\ast , f) при n = 2, 3, 4 можна знайти
безпосередньо.
Лiтература
1. J. M. Hoene-Wroński, Introduction à la Philosophie des Mathématiques et Technie de l’Algorithmique, Courcier,
Paris (1811).
2. J. M. Hoene-Wroński, Philosophie de la Technie Algorithmique: Loi Suprême et universelle des Mathématiques, de
L’imprimerie de P. Didot L’Aine, Paris (1815 – 1817).
3. T. N. Thiele, Interpolationsprechnung, Commisission von B. G. Teubner, Leipzig (1909).
4. N. E. Nörlund, Vorlesungen über Differenzenrechnung, Springer, Berlin (1924).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
ПРО НУЛI МНОГОЧЛЕНIВ ЧИСЕЛЬНИКА I ЗНАМЕННИКА ЛАНЦЮГОВОГО ДРОБУ ТIЛЕ 121
5. C. Brezinski, History of continued fractions and pade approximations, vol. 12, Springer Sci. & Business Media
(2012).
6. Н. С. Бахвалов, Н. П. Житков, Г. М. Кобельков, Численные методы, Наука, Москва (1987).
7. F. B. Hildebrand, Introduction to numerical analysis, 2nd ed., Dover Publ., Inc., New York (1987).
8. Ш. Е. Микеладзе, Численные методы математического анализа, Гостехтеориздат, Москва (1953).
9. У. Джоунс, В. Трон, Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения, Мир, Москва (1985).
10. A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W. B. Jones, Handbooks of continued fractions for special
functions, Springer, Berlin etc. (2008).
11. В. Я. Скоробогатько, Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике,
Наука, Москва (1983).
12. J. Tan, Theory of continued fractions and its applications, Sci. Publ., Beijing (2007).
13. P. Henrici, P. Pfluger, Truncation error estimates for Stieltjes fractions, Numer. Math., 9, 120 – 138 (1966).
14. G. Chrystal, Algebra: an elementary text-book for the higher classes of secondary school and for colleges, vol. 2, A.
& C. Black (1889).
15. R. Vein, P. Dale, Determinants and their application in mathematical physics, Springer Sci. & Business Media (2006).
16. М. М. Пагiря, Використання континуанти для оцiнки залишкового члена iнтерполяцiйного ланцюгового дробу
Тiле, Укр. мат. вiсн., 16, № 4, 588 – 603 (2019).
17. М. М. Пагiря, Наближення функцiй ланцюговими дробами, Ґражда, Ужгород (2016).
18. O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Bd 1, Teubner, Stuttgart (1954).
19. A. N. Khovanskii, The application of continued fractions and their generalizations to problems in approximation
theory, P. Noordhoff, Groningen (1963).
20. P. Henrici, Applied and computational complex analysis, vol. 2, Special functions, integral transforms, asymptotics,
continued fractions, John Wiley & Sons, New York, London (1977).
21. Дж. Бейкер (мл.), П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, Мир, Москва (1986).
22. M. M. Pahirya, R. A. Katsala, Equivalence of two methods for construction of regular continued C -fractions, Ukr.
Math. J., 61, № 7, 1192 – 1198 (2009).
23. D. S. Mitrinović, Analytic Inequalities, Springer, Berlin etc. (1970).
24. M. M. Pahirya, Evaluation of the remainder term for the Thiele interpolation continued fraction, Ukr. Math. J., 60,
№ 11, 1813 – 1822 (2008).
25. M. M. Pahirya, Estimation of the remainder for the interpolation continued C-fraction, Ukr. Math. J., 66, № 6,
905 – 915 (2014).
Одержано 24.05.20
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-6133 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:26:09Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f4/40fe2d2acc75eacd3549865cbf6b7cf4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-61332022-03-27T15:39:11Z On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction Про нулі многочленів чисельника та знаменника ланцюгового дробу Тіле Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. ланцюговий дріб, нулі многочленів UDC 517.518:519.652 We prove that the polynomials of canonical numerators and denominators of the interpolation and approximation convergents of Thiele’s continued fractions have no common zeros. It is established that the convergents of Thiele’s continued fraction form a staircase sequence of normal Pad´e approximants. The region of zeros of the denominator polynomial of the convergent of Thiele’s continued fraction is also determined. В статье доказано, что многочлены канонических числителей и знаменателей подходящих дробей интерполяционной и аппроксимационной цепных дробей Тиле не имеют общих нулей. Обосновано, что подходящие дроби цепной дроби Тиле образуют ступенчатую последовательность нормальных аппроксимант Паде. Найдена область, которой принадлежат нули многочлена знаменателя подходящей дроби цепной дроби Тиле. УДК 517.518:519.652Доведено, що многочлени канонiчних чисельникiв i знаменникiв пiдхiдних дробiв iнтерполяцiйного та апроксимацiйного ланцюгових дробiв Тiле не мають спiльних нулiв. Обґрунтовано, що пiдхiднi дроби ланцюгового дробу Тiле утворюють схiдчасту послiдовнiсть нормальних апроксимант Паде. Знайдено область, якiй належать нулi многочлена знаменника пiдхiдного дробу ланцюгового дробу Тiле. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-01-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6133 10.37863/umzh.v74i1.6133 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 1 (2022); 113 - 121 Український математичний журнал; Том 74 № 1 (2022); 113 - 121 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6133/9179 Copyright (c) 2022 Михайло Пагіря |
| spellingShingle | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title | On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title_alt | Про нулі многочленів чисельника та знаменника ланцюгового дробу Тіле |
| title_full | On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title_fullStr | On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title_full_unstemmed | On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title_short | On zeros of numerator and denominator polynomials of Thiele’s continued fraction |
| title_sort | on zeros of numerator and denominator polynomials of thiele’s continued fraction |
| topic_facet | ланцюговий дріб нулі многочленів |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/6133 |
| work_keys_str_mv | AT pahiryamm onzerosofnumeratoranddenominatorpolynomialsofthielescontinuedfraction AT pagírâmm onzerosofnumeratoranddenominatorpolynomialsofthielescontinuedfraction AT pahiryamm pronulímnogočlenívčiselʹnikataznamennikalancûgovogodrobutíle AT pagírâmm pronulímnogočlenívčiselʹnikataznamennikalancûgovogodrobutíle |