Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations
UDC 517.9 We study the symmetry reduction of nonlinear partial differential equations which are used for describing diffusion processes in a nonhomogeneous medium. We find ansatzes reducing partial differential equations to systems of ordinary differential equations. The ansatzes are constructed by...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2022
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512582164545536 |
|---|---|
| author | Rzeszut, W. Tsyfra, I. M. Vladimirov, V. A. Жешут, В. Цифра, I. М. Владiмiров , В. А. Иван |
| author_facet | Rzeszut, W. Tsyfra, I. M. Vladimirov, V. A. Жешут, В. Цифра, I. М. Владiмiров , В. А. Иван |
| author_sort | Rzeszut, W. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:44:52Z |
| description | UDC 517.9
We study the symmetry reduction of nonlinear partial differential equations which are used for describing diffusion processes in a nonhomogeneous medium. We find ansatzes reducing partial differential equations to systems of ordinary differential equations. The ansatzes are constructed by using operators of Lie–Backlund symmetry of the third order ordinary differential equation. The method gives a possibility to find solutions which can not be obtained by virtue of the classical Lie method. Such solutions were constructed for nonlinear diffusion equations which are invariant with respect to one-parameter, two-parameter, and three-parameter Lie groups of point transformations. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v74i3.7007 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:31:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v74i3.7007
УДК 517.9
В. Жешут (Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща),
I. М. Цифра (Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща;
Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ, Україна),
В. А. Владiмiров (Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща)
СИМЕТРIЯ ЛI – БЕКЛУНДА, РЕДУКЦIЯ I РОЗВ’ЯЗКИ
НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ
We study the symmetry reduction of nonlinear partial differential equations which are used for describing diffusion
processes in a nonhomogeneous medium. We find ansatzes reducing partial differential equations to systems of ordinary
differential equations. The ansatzes are constructed by using operators of Lie – Bäcklund symmetry of the third order
ordinary differential equation. The method gives a possibility to find solutions which can not be obtained by virtue of the
classical Lie method. Such solutions were constructed for nonlinear diffusion equations which are invariant with respect to
one-parameter, two-parameter, and three-parameter Lie groups of point transformations.
Вивчається симетрiйна редукцiя нелiнiйних рiвнянь, що використовуються для опису дифузiйних процесiв в неодно-
рiдних середовищах. Знаходяться анзаци, якi редукують рiвняння з частинними похiдними до системи звичайних
диференцiальних рiвнянь. Цi анзаци будуються з використанням операторiв Лi – Беклунда симетрiї звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь третього порядку. Метод дає можливiсть знайти розв’язки, якi не можна отримати класичним
методом С. Лi. Такi розв’язки знайдено для нелiнiйних дифузiйних рiвнянь, якi є iнварiантними вiдносно однопа-
раметричної, двопараметричної i трипараметричної групи Лi точкових перетворень.
1. Вступ. Вiдомо, що метод класичної [1] i некласичної (умовної) симетрiї [2 – 5] є ефективним
при пошуку точних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.
При цьому знаходяться спецiальнi анзаци, якi є загальною формою iнварiантного або умовно-
iнварiантного розв’язку, що редукують вихiдне рiвняння з частинними похiдними до рiвняння
з меншим числом незалежних змiнних, зокрема, до звичайного диференцiального рiвняння.
В роботах [6, 7] запропоновано метод умовної симетрiї Лi – Беклунда еволюцiйних рiвнянь
з двома незалежними змiнними. В рамках цього пiдходу рiвняння з частинними похiдними
еволюцiйного типу редукується до системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Застосування
цього методу до нелiнiйних дифузiйних рiвнянь можна знайти, наприклад, в [8]. Зв’язок мiж
узагальненою умовною симетрiєю еволюцiйних рiвнянь i сумiснiстю системи рiвнянь вивча-
ється в [11]. В роботi [9] запропоновано метод редукцiї нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь до
системи звичайних диференцiальних рiвнянь, що базується на симетрiї Лi – Беклунда звичай-
них лiнiйних однорiдних рiвнянь i дає теоретико-групове обґрунтування методу „нелiнiйного
вiдокремлення змiнних”.
У цiй роботi ми використовуємо метод запропонований в [10], який можна трактувати як
узагальнення методу Свiрщевського. Вiн базується на симетрiї Лi – Беклунда звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь, якi не обов’язково мають бути лiнiйними i однорiдними i, в загальному
випадку, є нелiнiйними. Крiм того цей метод можна застосовувати не тiльки до еволюцiйних
рiвнянь, а й, взагалi кажучи, до довiльного рiвняння з частинними похiдними, а також допускає
узагальнення на багатовимiрнi випадки [13, 14].
Ми покажемо ефективнiсть застосування цього методу на прикладi рiвняння, що описує
процеси нелiнiйної дифузiї в неоднорiдних середовищах.
c\bigcirc В. ЖЕШУТ, I. М. ЦИФРА, В. А. ВЛАДIМIРОВ, 2022
342 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СИМЕТРIЯ ЛI – БЕКЛУНДА, РЕДУКЦIЯ I РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 343
2. Застосування методу з використанням звичайних диференцiальних рiвнянь третьо-
го порядку. Будемо розглядати звичайне диференцiальне рiвняння третього порядку
uxxx - U(x, u, ux, uxx) = 0, (1)
де u(t, x) є функцiєю незалежної змiнної x i змiнної t, яку в даному випадку можна iнтерпре-
тувати як параметричну змiнну. Функцiю U будемо шукати у виглядi
U =
\sum
j0,j1,j2\in \BbbZ
aj0,j1,j2(x)u
j0 uj1x u
j2
xx.
де aj0,j1,j2(x) є гладкими функцiями, якi мають бути визначеними. Ми вимагаємо, щоб рiвнян-
ня (1) допускало оператор симетрiї Лi – Беклунда X = F (x, u, ux, uxx)\partial u, де F є правою
частиною еволюцiйного рiвняння
ut = F (x, u, ux, uxx). (2)
В данiй статтi ефективнiсть методу iлюструється на прикладi рiвняння дифузiйного типу
ut =
\biggl(
H(x)
u
\biggr)
xx
+ \eta (x, u, ux). (3)
Ми обмежимось розглядом функцiї H такого вигляду H(x) =
1
C2x2 + C1x+ C0
, де C1, C2,
C0 \in R є дiйсними сталими. Зауважимо, що якщо взяти C1 = C2 = 0, C0 = - 1, \eta =
= 0, то з рiвняння (3) отримуємо добре вiдоме нелiнiйне диференцiальне рiвняння зi змiнним
коефiцiєнтом теплопровiдностi, яке описує нелiнiйнi дифузiйнi процеси i використовується в
задачах фiзики плазми, фiзики твердого тiла i багатьох iнших прикладних задачах. Це рiвняння
має нескiнчену симетрiю Лi – Беклунда i за допомогою певного вiдображення зводиться до
лiнiйного рiвняння теплопровiдностi.
Критерiй iнварiантностi для рiвняння (1) має вигляд
X(3)
\bigl(
uxxx - U(x, u, ux, uxx)
\bigr) \bigm| \bigm|
uxxx=U
= 0, (4)
де X(3) є продовженням третього порядку оператора симетрiї Лi – Беклунда X. Процес зна-
ходження функцiї U є досить громiздким i не наводиться в данiй статтi. Ми тiльки подаємо
отриманий результат в наступному твердженнi.
Твердження 1. Рiвняння (1) допускає оператор симетрiї Лi – Беклунда X =
\biggl(
H(x)
u
\biggr)
xx
\partial u,
де H(x) =
1
C2x2 + C1x+ C0
, якщо воно має вигляд
uxxx = 9
uxxux
u
- 12
u3x
u2
+
6(2C2x+ C1)
C2x2 + C1x+ C0
uxx -
18(2C2x+ C1)
C2x2 + C1x+ C0
u2x
u
-
- 6(10C2
2x
2 + 10C1x - 2C0C2 + 3C2
1 )
(C2x2 + C1x+ C0)2
ux -
6(2C2x+ C1)(5C
2
2x
2 + 5C1x - 3C0C2 + 2C2
1 )
(C2x2 + C1x+ C0)3
u,
а C1, C2, C0 \in R є дiйсними сталими.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
344 В. ЖЕШУТ, I. М. ЦИФРА, В. А. ВЛАДIМIРОВ
2.1. Як знайти розв’язки рiвняння \bfitu \bfitt =
\biggl(
\bfitH (\bfitx )
\bfitu
\biggr)
\bfitx \bfitx
+ \bfiteta (\bfitx , \bfitu , \bfitu \bfitx )? Використовуємо
властивiсть редукцiї рiвняння
ut =
\biggl(
H(x)
u
\biggr)
xx
, (5)
коли H(x) =
1
C2x2 + C1x+ C0
до системи трьох звичайних диференцiальних рiвнянь першо-
го порядку за допомогою анзацу, який є загальним розв’язком звичайного диференцiального
рiвняння третього порядку з твердження 1. Очевидним є той факт, що якщо ми вiзьмемо опе-
ратор контактної симетрiї цього звичайного диференцiального рiвняння X = \eta (x, u, ux)\partial u,
записаний в формi Лi – Беклунда, то рiвняння (3) також буде редукуватись до системи трьох
звичайних диференцiальних рiвнянь за допомогою того ж самого анзацу, тобто властивiсть
редукцiї модифiкованого рiвняння зберiгається.
Розглянемо кiлька часткових випадкiв з твердження 1.
Нехай C2 = C0 = 0, C1 \not = 0. Тодi можна взяти H(x) =
\kappa
x
, \kappa = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . Тодi звичайне
диференцiальне рiвняння, яке генерує анзац, має вигляд
uxxx = 9
uxxux
u
- 12
u3x
u2
+
6
x
uxx -
18
x
u2x
u
- 18
x2
ux -
12
x3
u. (6)
Його розв’язок задається формулою
u(x) = \pm 1
x
\sqrt{}
\varphi 2x2 + \varphi 1x+ \varphi 0
, (7)
де \varphi 1, \varphi 2, \varphi 3 є довiльними функцiями змiнної t. Водночас алгебра Лi групи Лi контактних
перетворень, що є групою симетрiї рiвняння (6), можна задати базисними елементами:
X1 = u\partial u, X2 = xux\partial u, X3 = x2u3\partial u, X4 = x3u3\partial u, X5 = x4u3\partial u, (8)
X6 =
\Bigl( u
x
+ ux
\Bigr)
\partial u, X7 = (2xu+ x2ux)\partial u, (9)
X8 =
x2u2x + 4xuux + 4u2
x2u3
\partial u, X9 =
x2u2x + 3xuux + 2u2
x3u3
\partial u, X10 =
x2u2x + 2xuux + u2
x4u3
\partial u.
(10)
Отже, метод редукцiї можна застосувати до довiльного рiвняння з класу
ut =
\Bigl( \kappa
xu
\Bigr)
xx
+
10\sum
i=1
aiXiu, ai = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, i = 1, . . . , 10.
Модифiкуємо вихiдне рiвняння, додаючи члени, що мiстять похiднi порядку меншого нiж
два. В данiй статтi будемо розглядати тiльки характеристики операторiв точкової симетрiї.
Отже, розглянемо рiвняння
ut =
\Bigl( \kappa
xu
\Bigr)
xx
+ a1u+ a2xux + a4(xu)
3, \kappa , ai \in \BbbR . (11)
При \kappa \not = 0 i довiльних a1, a2, a4 \in \BbbR це рiвняння допускає двовимiрну алгебру Лi з базисними
елементами
X1 = \partial t,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СИМЕТРIЯ ЛI – БЕКЛУНДА, РЕДУКЦIЯ I РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 345
X2 = 2x\partial x - 3u\partial u,
причому ця алгебра є максимальною в даному випадку, тобто алгеброю Лi повної групи симет-
рiї рiвняння (11). Надалi в текстi, коли розглядатимемо групу точкових перетворень симетрiї
дифузiйного рiвняння будемо мати на увазi саме повну групу (тобто максимальну алгебру Лi)
i не будемо весь час це повторювати.
Якщо 2a1 \not = 3a2, a4 = 0, то рiвняння допускає додатковий оператор
X3 = e(2a1 - 3a2)t
\bigl(
- a2x\partial x + \partial t + a1u\partial u
\bigr)
,
а якщо виконуються умови 2a1 = 3a2, a4 = 0, то рiвняння допускає додатковий оператор
такого вигляду
X \prime
3 = - a2x\partial x + t\partial t +
\biggl(
a1t+
1
2
\biggr)
u\partial u.
Анзац (7) редукує рiвняння (11) до системи трьох звичайних диференцiальних рiвнянь
\varphi \prime
2 + 2(a1 - 2a2)\varphi 2 = 0,
\varphi \prime
0 + 2(a1 - a2)\varphi 0 = 0,
\varphi \prime
1 -
1
2
\kappa \varphi 2
1 + 2\kappa \varphi 0\varphi 2 + 2
\biggl(
a1 -
3
2
a2
\biggr)
\varphi 1 + 2a4 = 0.
Якщо 2a1 \not = 3a2, a4 = 0, то ми одержуємо розв’язки системи редукованих рiвнянь:
u(x, t) =
= \pm 1
x
\sqrt{} c2e2(2a2 - a1)tx2 + 2A(t)
c3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\kappa A(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
- c4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
\kappa A(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
c3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
\kappa A(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
+ c4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\kappa A(t)
2a1 - 3a2
\biggr) x+ c0e2(a2 - a1)t
,
(12)
де c0c2 < 0, A(t) =
\surd
- c0c2e(3a2 - 2a1)t, c23 + c24 > 0, або
u(x, t) =
= \pm 1
x
\sqrt{} c2e2(2a2 - a1)tx2 + 2B(t)
c3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
+ c4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
c3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
+ c4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr) x+ c0e2(a2 - a1)t
,
(13)
де c0c2 > 0, B(t) =
\surd
c0c2e
(3a2 - 2a1)t, c23 + c24 > 0.
Коли a1 =
3
2
a2 =
3
2
a а a4 \in \BbbR є довiльним, отримуємо розв’язки системи редукованих
рiвнянь:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
346 В. ЖЕШУТ, I. М. ЦИФРА, В. А. ВЛАДIМIРОВ
u(x, t) = \pm 1
x
\sqrt{}
c2eatx2 -
2
\surd
- C
\kappa
c3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(
\surd
- Ct) + c4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\surd
- Ct)
c3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\surd
- Ct) - c4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(
\surd
- Ct)
x+ c0e - at
, (14)
де C = \kappa 2c0c2 + \kappa a4 < 0, c23 + c24 > 0, або
u(x, t) = \pm 1
x
\sqrt{}
c2eatx2 -
2
\surd
C
\kappa
c3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(
\surd
Ct) + c4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(
\surd
Ct)
c3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(
\surd
Ct) + c4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(
\surd
Ct)
x+ c0e - at
, (15)
де C = \kappa 2c0c2 + \kappa a4 > 0, c23 + c24 > 0.
Беручи в (13) c3 = 0, c4 \not = 0, одержуємо частковий розв’язок, який мiстить функцiю
\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
. Якщо ж в отриманiй формулi замiнити \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
на
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}
\biggl(
\kappa B(t)
2a1 - 3a2
\biggr)
, то знову отримуємо розв’язок рiвняння (11). В цьому можна перекона-
тися беручи c3 \not = 0, c4 = 0 в формулi (13). Легко зауважити також, що аналогiчна властивiсть
притаманна розв’язкам (15).
З умови iнварiантностi розв’язку (12) вiдносно певної однопараметричної пiдгрупи
3\sum
i=1
\alpha iXi(u - u(x, t))
\bigm| \bigm|
u=u(x,t)
= 0
випливає, що \alpha 1 = \alpha 2 = \alpha 3 = 0. Отже, розв’язок (12) рiвняння (11) не є iнварiантним
розв’язком i тому не може бути отриманий за допомогою класичного методу С. Лi. Аналогiчно
показується, що розв’язки (13), (14) i (15) не є iнварiантними.
Далi розглянемо частковий випадок коли C1 = C0 = 0, C2 \not = 0. Тодi можна взяти H(x) =
=
\kappa
x2
, \kappa = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . Звичайне диференцiальне рiвняння, яке генерує анзац, в даному випадку має
такий вигляд:
uxxx = 9
uxxux
u
- 12
u3x
u2
+
12
x
uxx -
36
x
u2x
u
- 60
x2
ux -
60
x3
u. (16)
Знайдено розв’язок цього рiвняння
u(x) = \pm 1
x2
\sqrt{}
\varphi 2x2 + \varphi 1x+ \varphi 0
, (17)
де \varphi 1, \varphi 2, \varphi 3 є довiльними функцiями змiнної t.
Алгебру Лi групи Лi контактних перетворень групи симетрiї рiвняння (16), можна задати
базисними елементами:
X1 = u\partial u, X2 = xux\partial u, X3 = x4u3\partial u, X4 = x5u3\partial u, X5 = x6u3\partial u, (18)
X6 =
\biggl(
2
u
x
+ ux
\biggr)
\partial u, X7 = (3xu+ x2ux)\partial u, (19)
X8 =
x2u2x + 6xuux+ 9u2
x4u3
\partial u, X9 =
x2u2x + 5xuux+ 6u2
x5u3
\partial u, X10 =
x2u2x + 4xuux+ 4u2
x6u3
\partial u,
(20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СИМЕТРIЯ ЛI – БЕКЛУНДА, РЕДУКЦIЯ I РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 347
Отже метод редукцiї за допомогою анзацу (17) можна застосувати до довiльного рiвняння, що
належить до класу рiвнянь
ut =
\Bigl( \kappa
x2u
\Bigr)
xx
+
10\sum
i=1
aiXiu, ai = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, i = 1, . . . , 10.
Розглянемо рiвняння з цього класу такого вигляду
ut =
\Bigl( \kappa
x2u
\Bigr)
xx
+ a4x
5u3 + a5x
6u3 + a7(3xu+ x2ux), \kappa , ai \in \BbbR , \kappa \not = 0. (21)
При довiльних a4, a5, a7 \in \BbbR це рiвняння допускає однопараметричну групу Лi з iнфiнiтези-
мальним генератором
Y1 = \partial t.
Водночас, якщо a4 \not = 0, a7 = 0, то рiвняння допускає додатковий оператор
Y \prime
2 =
\biggl(
- 2x2
a5
a4
- 2x
\biggr)
\partial x + t\partial t +
3
2
\biggl(
4x
a5
a4
+ 3
\biggr)
u\partial u,
а якщо виконується умова a4 = 0, то рiвняння допускає два додаткових оператори
Y2 = - x\partial x + t\partial t +
5
2
u\partial u, Y3 = x2\partial x - 3xu\partial u.
Якщо крiм того a4 = a5 = 0, то додатково появляється четвертий оператор
Y4 = - a7tx2\partial x + t\partial t +
\biggl(
3a7tx+
1
2
\biggr)
u\partial u.
Анзац (17) редукує рiвняння (21) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
\varphi \prime
2 + 2\kappa \varphi 0\varphi 2 -
1
2
\kappa \varphi 2
1 + 2a5 + a7\varphi 1 = 0,
\varphi \prime
1 + 2a4 + 2a7\varphi 0 = 0,
\varphi \prime
0 = 0.
Розв’язки системи редукованих рiвнянь мають такий вигляд
\varphi 2 =
(c0a7 + a4)
2
c0
t2 - (c0a7 + a4)
\biggl(
c1
c0
+
a4
\kappa c20
\biggr)
t+
+
c21
4c0
+
c1a4 - 2c0a5
2\kappa c20
+
a4(c0a7 + a4)
2\kappa 2c30
+ c2e
- 2c0\kappa t,
\varphi 1 = - 2(c0a7 + a4)t+ c1,
\varphi 0 = c0, c0 \not = 0,
або
\varphi 2 =
2
3
\kappa a24t
3 + a4(a7 - \kappa c1)t
2 +
\biggl(
1
2
c21\kappa - c1a7 - 2a5
\biggr)
t+ c2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
348 В. ЖЕШУТ, I. М. ЦИФРА, В. А. ВЛАДIМIРОВ
\varphi 1 = - 2a4t+ c1, \varphi 0 = 0.
Пiдставляючи \varphi 0(t), \varphi 1(t), \varphi 2(t) в (17), отримуємо розв’язки, якi є iнварiантними вiдносно
вiдповiдної однопараметричної пiдгрупи з генератором, що є нетривiальною лiнiйною комбi-
нацiєю операторiв \{ Y1, Y \prime
2 , Y2, Y3, Y4\} тiльки тодi, коли a4 = a5 = 0 або a4 = \varphi 0 = 0, в iншому
випадку вони не є iнварiантними розв’язками.
Далi розглянемо рiвняння
ut =
\Bigl( \kappa
x2u
\Bigr)
xx
+ a1u+ a4x
5u3 + a5x
6u3, \kappa , ai \in \BbbR , a1 \not = 0, \kappa \not = 0. (22)
Рiвняння (22) допускає оператор Z1 = \partial t, якщо a4, a5 є довiльними дiйсними числами. Якщо
ж a4 = 0, то рiвняння допускає додатковий оператор
Z2 = x2\partial x - 3xu\partial u,
а якщо, крiм того, a4 = a5 = 0, то з’являються ще два оператори
Z3 = x\partial x - 2u\partial u, Z4 = e2a1t(\partial t + a1u\partial u).
Анзац (17) редукує рiвняння (22) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
\varphi \prime
2 + 2\kappa \varphi 0\varphi 2 -
1
2
\kappa \varphi 2
1 + 2a1\varphi 2 + 2a5 = 0,
\varphi \prime
1 + 2a1\varphi 1 + 2a4 = 0,
\varphi \prime
0 + 2a1\varphi 0 = 0,
розв’язки якої задаються формулами
\varphi 2 = e - 2a1t
\biggl(
e
c0\kappa
a1
e - 2a1t
\biggl(
c2 -
\kappa
4a21
\biggl(
2c1a4 - c0
\biggl(
4a5 -
a24\kappa
a21
\biggr) \biggr)
\Gamma
\biggl(
0,
c0\kappa
a1
e - 2a1t
\biggr) \biggr)
+
c21
4c0
\biggr)
- a5
a1
+
\kappa a24
4a31
,
\varphi 1 = - a4
a1
+ c1e
- 2a1t,
\varphi 0 = c0e
- 2a1t, c0 \not = 0,
або
\varphi 2 =
\biggl(
c2 -
c1a4\kappa
a1
t
\biggr)
e - 2a1t - \kappa c21
4a1
e - 4a1t - a5
a1
+
\kappa a24
4a31
,
\varphi 1 = - a4
a1
+ c1e
- 2a1t,
\varphi 0 = 0,
де \Gamma
\bigl(
0, z) є верхньою неповною гамма-функцiєю. Розв’язок u(x, t) отриманий за допомо-
гою (17) та розв’язкiв \varphi 0, \varphi 1, \varphi 2 редукованої системи рiвнянь, не є iнварiантним, коли a4 \not = 0
або a5 \not = 0.
Насамкiнець розглянемо рiвняння
ut =
\Bigl( \kappa
x2u
\Bigr)
xx
+ a3x
4u3 + a4x
5u3 + a5x
6u3, \kappa , ai \in \BbbR , a3 \not = 0, \kappa \not = 0. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
СИМЕТРIЯ ЛI – БЕКЛУНДА, РЕДУКЦIЯ I РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ 349
При довiльних a4, a5 це рiвняння допускає оператор симетрiї
W1 = \partial t.
Якщо ж a4 = a5 = 0, то рiвняння допускає додатковий оператор
W2 = x\partial x - 2u\partial u.
Тодi aнзац (17) редукує рiвняння (23) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
\varphi \prime
2 + 2\kappa \varphi 0\varphi 2 -
1
2
\kappa \varphi 2
1 + 2a5 = 0,
\varphi \prime
1 + 2a4 = 0,
\varphi \prime
0 + 2a3 = 0,
яка має наступний розв’язок
\varphi 2 = e2\kappa (a3t
2 - c0t)
\left(
-
\surd
\pi
\Biggl(
\kappa
\biggl(
c1 -
c0a4
a3
\biggr) 2
+
\biggl(
a24
a3
- 4a5
\biggr) \Biggr)
4
\surd
2a3\kappa
e
\kappa c20
2a3 erf
\biggl(
\kappa ( - 2a3t+ c0)\surd
2a3\kappa
\biggr)
+ c2
\right) +
+
a4
4a3
\biggl(
- 2a4t+ 2c1 -
c0a4
a3
\biggr)
,
\varphi 1 = - 2a4t+ c1,
\varphi 0 = - 2a3t+ c0,
де erf
\bigl(
z) є функцiєю помилок. Розв’язок u(x, t) рiвняння (23) одержуємо, пiдставляючи \varphi 0, \varphi 1,
\varphi 2 в (17). Для a4 \not = 0 або a5 \not = 0, отриманий розв’язок не є iнварiантним вiдносно однопара-
метричної групи з iнфiнiтезимальним генератором W1 = \partial t, а також однопараметричної групи
з генератором \alpha 1W1 + \alpha 2W2, де \alpha 1, \alpha 2 є довiльними сталими у випадку, коли a4 = a5 = 0.
Очевидно, ми можемо використовувати також оператори Лi – Беклунда звичайних диферен-
цiальних рiвнянь першого порядку. Розглянемо, наприклад, диференцiальне рiвняння
\psi x = u\psi 2 + v. (24)
Виявляється, що рiвняння (24) допускає оператор симетрiї Лi – Беклунда
Q =
\biggl(
- \psi t + \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\psi x - v
\psi 2
\biggr)
\cdot
\biggl(
\psi x - v
\psi 2
\biggr)
x
\psi 2 + \beta
\biggr)
\partial \psi ,
якщо u, v задовольняє наступну систему визначальних рiвнянь
ut = (euux)x, vt =
\biggl(
euuxv
u
\biggr)
x
. (25)
Як випливає з вищенаведеного, в даному випадку метод редукцiї може бути застосований до
нелiнiйного диференцiального рiвняння
\psi t = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
\psi x - v
\psi 2
\biggr)
\cdot
\biggl(
\psi x - v
\psi 2
\biggr)
x
\psi 2 +
euuxv
u
,
де u(t, x), v(t, x) є розв’язками системи (25).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
350 В. ЖЕШУТ, I. М. ЦИФРА, В. А. ВЛАДIМIРОВ
3. Висновки. В роботi знайдено розв’язки нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь, що описують
процеси дифузiї в нелiнiйних неоднорiдних середовищах за допомогою методу, запропоновано-
го в [10], який є узагальненням методу Свiрщевського [9]. Показано, що метод дає можливiсть
отримати розв’язки, якi не є iнварiантними в класичному сенсi С. Лi. Для цього використову-
ються оператори симетрiї Лi – Беклунда звичайних диференцiальних рiвнянь третього порядку.
Анзаци, якi є загальними розв’язками звичайних диференцiальних рiвнянь, редукують нелiнiй-
не дифузiйне рiвняння до системи трьох звичайних диференцiальних рiвнянь. Виявляється, що
розв’язки, отриманi в рамках даного пiдходу, не можуть бути отриманi за допомогою класи-
чного методу С. Лi тiльки в тому випадку, коли алгебра iнварiантностi дифузiйного рiвняння
є одно-, дво- або тривимiрною. Якщо ж алгебра є чотиривимiрною, то тодi знайденi розв’язки
можуть бути отриманi також класичним методом С. Лi, як показано в пп. 2.1. Цi результати
узгоджуються з результатами роботи [12], коли розв’язки знаходяться за допомогою методу
умовної точкової симетрiї.
Даний метод, очевидно, можна застосувати також для побудови iнших класiв дифузiйних
рiвнянь i їх розв’язкiв, використовуючи оператори симетрiї Лi – Беклунда iнших звичайних
диференцiальних рiвнянь.
Лiтература
1. P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd ed., Springer-Verlag, New York (1993).
2. G. Bluman, J. D. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 18, № 11, 1025 – 1042
(1969).
3. P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett., 114A, № 3,
107 – 112 (1986).
4. P. J. Olver, P. Rosenau, Group-invariant solutions of differential equations, SIAM J. Appl. Math., 47, № 2, 263 – 278
(1987).
5. W. I. Fushchych, I. M. Tsyfra, On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken symmetry, J.
Phys. A., 20, № 2, L45 – L48 (1987).
6. A. S. Fokas, Q. M. Liu, Nonlinear interaction of traveling waves of non-integrable equations, Phys. Rev. Letters, 72,
№ 21, 3293 – 3296 (1994).
7. R. Z. Zhdanov, Conditional Lie-Bäcklund symmetry and reduction of evolution equations, J. Phys. A: Math. Gen.,
28, 3841 – 3850 (1995).
8. C. Z. Qu, Exact solutions to nonlinear diffusion equations obtained by a generalized conditional symmetry method,
IMA J. Appl. Math., 62, 283 – 302 (1999).
9. S. R. Svirshchevskii, Lie – Bäcklund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear
equations, Phys. Lett. A, 199, 344 – 349 (1995).
10. I. M. Tsyfra, Symmetry reduction of nonlinear differential equations, Proc. Ins. Math., 50, 266 – 270 (2004).
11. M. Kunzinger, R. O. Popovych, Generalized conditional symmetry of evolution equations, J. Math. Anal. Appl., 379,
№ 1, 444 – 460 (2011).
12. I. M. Tsyfra, Conditional symmetry reduction and invariant solutions of nonlinear wave equations, Proc. Ins. Math.,
43, 229 – 233 (2002).
13. I. M. Tsyfra, W. Rzeszut, Lie – Backlund symmetry reduction of nonlinear and non-evolution equations, Proc. Ins.
Math., 16, № 1, 174 – 180 (2019).
14. I. Tsyfra, T. Czyzycki, Nonpoint symmetry and reduction of nonlinear evolution and wave type equations, Abstract
and Applied Anal., 2015, Article ID 181275 (2015).
Одержано 20.11.21
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2022, т. 74, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-7007 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:31:04Z |
| publishDate | 2022 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a6/9100719e511ccc03ee5a6cc98842a6a6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-70072025-03-31T08:44:52Z Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations Симметрия Ли-Беклунда, редукция и решения нелинейных эволюционных уравнений Симетрія Лі–Беклунда, редукція і розв’язки нелінійних еволюційних рівнянь Rzeszut, W. Tsyfra, I. M. Vladimirov, V. A. Жешут, В. Цифра, I. М. Владiмiров , В. А. Иван оператори симетрії Лі-Беклунда, звичайні диференціальні рівняння, рівняння з частинними похідними, редукція, інваріантні розвязки Lie-Backlund symmetry operators ordinary differential equations partial differential equations reduction, invariant solutions UDC 517.9 We study the symmetry reduction of nonlinear partial differential equations which are used for describing diffusion processes in a nonhomogeneous medium. We find ansatzes reducing partial differential equations to systems of ordinary differential equations. The ansatzes are constructed by using operators of Lie–Backlund symmetry of the third order ordinary differential equation. The method gives a possibility to find solutions which can not be obtained by virtue of the classical Lie method. Such solutions were constructed for nonlinear diffusion equations which are invariant with respect to one-parameter, two-parameter, and three-parameter Lie groups of point transformations. В работе изучается симметрийная редукция нелинейных уравнений, используемых для описания диффузионных процессов в неоднородных средах. Находятся анзацы, редуцирующие уравнения с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти анзацы строятся с использованием операторов Ли-Беклунда симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Метод позволяет найти решения, которые нельзя получить классическим методом С.Ли. Такие решения найдены для нелинейных диффузионных уравнений, инвариантных относительно однопараметрической, двухпараметрической и трехпараметрической группы Ли точечных преобразований. УДК 517.9 Вивчається симетрійна редукція нелінійних рівнянь, що використовуються для опису дифузійних процесів в неоднорідних середовищах. Знаходяться анзаци, які редукують рівняння з частинними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь. Ці анзаци будуються з використанням операторів Лі–Беклунда симетрії звичайних диференціальних рівнянь третього порядку. Метод дає можливість знайти розв'язки, які не можна отримати класичним методом С. Лі. Такі розв'язки знайдено для нелінійних дифузійних рівнянь, які є інваріантними відносно однопараметричної, двопараметричної і трипараметричної групи Лі точкових перетворень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2022-04-26 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7007 10.37863/umzh.v74i3.7007 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 74 No. 3 (2022); 342-350 Український математичний журнал; Том 74 № 3 (2022); 342-350 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7007/9202 Copyright (c) 2022 Іван Цифра |
| spellingShingle | Rzeszut, W. Tsyfra, I. M. Vladimirov, V. A. Жешут, В. Цифра, I. М. Владiмiров , В. А. Иван Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title | Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title_alt | Симметрия Ли-Беклунда, редукция и решения нелинейных эволюционных уравнений Симетрія Лі–Беклунда, редукція і розв’язки нелінійних еволюційних рівнянь |
| title_full | Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title_fullStr | Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title_full_unstemmed | Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title_short | Lie-Backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| title_sort | lie-backlund symmetry, reduction and solutions of nonlinear evolution equations |
| topic_facet | оператори симетрії Лі-Беклунда звичайні диференціальні рівняння рівняння з частинними похідними редукція інваріантні розвязки Lie-Backlund symmetry operators ordinary differential equations partial differential equations reduction invariant solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7007 |
| work_keys_str_mv | AT rzeszutw liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT tsyfraim liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT vladimirovva liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT žešutv liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT cifraim liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT vladimirovva liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT ivan liebacklundsymmetryreductionandsolutionsofnonlinearevolutionequations AT rzeszutw simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT tsyfraim simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT vladimirovva simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT žešutv simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT cifraim simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT vladimirovva simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT ivan simmetriâlibeklundaredukciâirešeniânelinejnyhévolûcionnyhuravnenij AT rzeszutw simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT tsyfraim simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT vladimirovva simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT žešutv simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT cifraim simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT vladimirovva simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ AT ivan simetríâlíbeklundaredukcíâírozvâzkinelíníjnihevolûcíjnihrívnânʹ |