Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces
UDC 517.968.2 By using the theory of pseudoinversion of operators and generalized inversion of integral operators, we obtain a criterion for the solvability of integro-ifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces.
Збережено в:
| Дата: | 2023 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7394 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512669282336768 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Бойчук, О. A. Журавльов, В. П. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Бойчук, О. A. Журавльов, В. П. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-02-25T14:21:55Z |
| description | UDC 517.968.2
By using the theory of pseudoinversion of operators and generalized inversion of integral operators, we obtain a criterion for the solvability of integro-ifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i1.7394 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i1.7394
УДК 517.968.2
О. A. Бойчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
В. П. Журавльов1 (Полiс. нац. ун-т, Житомир)
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З НЕВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ У ГIЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ
By using the theory of pseudoinversion of operators and generalized inversion of integral operators, we obtain a criterion
for the solvability of integro-ifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces.
Iз використанням теорiї псевдообернення операторiв i узагальненого обернення iнтегральних операторiв отримано
критерiй розв’язностi iнтегро-диференцiальних рiвнянь з невиродженим ядром у гiльбертових просторах.
Ця робота є продовженням дослiджень, якi були розпочатi в [1], з вивчення умов розв’язностi
та побудови загальних розв’язкiв iнтегро-диференцiальних рiвнянь з виродженим ядром у ба-
нахових просторах.
Встановлення умов розв’язностi не скрiзь розв’язних операторних рiвнянь у банахових
просторах є достатньо нетривiальною задачею. Загальнi пiдходи до дослiдження таких рiвнянь
розроблено у багатьох роботах (див., наприклад, [2 – 4].
Iнтегро-диференцiальнi рiвняння належать саме до такого типу рiвнянь, оскiльки iнтегро-
диференцiальний оператор не має оберненого [5, 6]. Такi рiвняння в евклiдових просторах
розглядалися в роботах [6, 7].
У роботi [1] з використанням теорiї узагальненого обернення операторiв i узагальненого
обернення iнтегральних операторiв [4, 8] отримано умови розв’язностi та загальний вигляд
розв’язкiв iнтегро-диференцiальних рiвнянь у банахових просторах. Цi результати застосовано
для отримання критерiю розв’язностi та загального вигляду розв’язкiв лiнiйних крайових задач
для iнтегро-диференцiальних рiвнянь з виродженим ядром у банахових просторах [9].
Дослiдження iнтегро-диференцiальних рiвнянь з невиродженим ядром у гiльбертових про-
сторах авторам невiдомi, тому iз застосуванням ортопроєкторiв та псевдообернених операторiв
у роботi отримано умови iснування та загальний вигляд розв’язкiв iнтегро-диференцiальних
рiвнянь у гiльбертових просторах.
Постановка задачi. Нехай \bfH — дiйсний гiльбертовий простiр зi скалярним добутком
(x, y)\bfH , \scrI = [a, b] — скiнченний промiжок, z(t) — функцiя зi значеннями у гiльбертовому про-
сторi \bfH . На множинi таких функцiй визначимо скалярний добуток (z(t), g(t)) =
\int b
a
z(t)\ast g(t)dt,
де \ast — операцiя транспонування. Таким чином визначено гiльбертовий простiр \bfL 2(\scrI ,\bfH ), норма
в якому визначається через скалярний добуток | | z(t)| | \bfL 2(\scrI ,\bfH ) =
\sqrt{}
(z(t), z(t))\bfH =
=
\sqrt{} \int b
a
| | z(t)| | 2\bfH dt.
Розглянемо iнтегро-диференцiальне рiвняння
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: vfz2008@ukr.net.
c\bigcirc О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ, 2023
52 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 53
\.z(t) -
b\int
a
[K1(t, s)z(s) +K2(t, s) \.z(s)]ds = f(t), (1)
де ядра K1(t, s), K2(t, s) сумовнi з квадратом в областi \scrI \times \scrI та дiють iз гiльбертового простору
\bfH у \bfH по кожнiй змiннiй, функцiя f(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfH ).
Розв’язок будемо шукати у класi таких функцiй z(t), що z(t) \in \bfD 2(\scrI ,\bfH ), \.z(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfH ),
де \bfD 2(\scrI ,\bfH ) — простiр абсолютно неперервних функцiй. Iндекс 2 вказує на його зв’язок з
простором \bfL 2(\scrI ,\bfH ) у тому сенсi, що похiднi функцiй з \bfD 2(\scrI ,\bfH ) належать простору \bfL 2(\scrI ,\bfH ).
Ставиться задача отримати умову розв’язностi та знайти структуру розв’язкiв рiвняння (1).
Розв’язок iнтегро-диференцiального рiвняння у гiльбертовому просторi. У рiвняннi (1)
виконаємо замiну \.z(t) = y(t) або
z(t) =
t\int
a
y(s)ds+ c0, c0 \in \bfH . (2)
Тодi рiвняння (1) зведеться до iнтегрального рiвняння
y(t) -
b\int
a
\left\{ K1(t, s)
\left[ s\int
a
y(\tau )d\tau + c0
\right] +K2(t, s)y(s)
\right\} ds = f(t). (3)
Змiнивши в iнтегралi
\int b
a
K1(t, s)
\int s
a
y(\tau )d\tau ds порядок iнтегрування, з (3) отримаємо iнте-
гральне рiвняння
y(t) -
b\int
a
K(t, s)y(s)ds = g(t), (4)
де
K(t, s) =
b\int
s
K1(t, \tau )d\tau +K2(t, s), g(t) = f(t) +
b\int
a
K1(t, s)ds c0.
Застосуємо до розв’язання iнтегрального рiвняння (4) методику з [10, c. 260].
Нехай \{ \varphi i(t)\} \infty i=1 — базис Шаудера гiльбертового простору \bfL 2(\scrI ,\bfH ) [11]. Складемо з ба-
зисних функцiй \varphi i(t), i = 1,\infty , злiченновимiрний вектор
\Phi (t) = (\varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi i(t), . . .).
Тодi будь-яку функцiю y(t) з простору \bfL 2(\scrI ,\bfH ) можна записати у виглядi
y(t) = \Phi (t)\=y,
де \=y — вектор-стовпець, компоненти якого \=yi = (\varphi i(t) \cdot y(t)) =
\int b
a
\varphi i(t)y(t)dt, i = 1,\infty , є
коефiцiєнтами Фур’є вектор-функцiї y(t) за базисом \{ \varphi i(t)\} \infty i=1, тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
54 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
\=y =
b\int
a
\Phi \ast (t)y(t)dt.
Врахувавши вищевикладене, утворимо коефiцiєнти Фур’є функцiй y(t), f(t) та сталi c0
[10, с. 266; 12]
\=y =
b\int
a
\Phi \ast (t)y(t)dt, \=f =
b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt, \=c0 =
b\int
a
\Phi \ast (t)c0dt. (5)
Далi утворимо коефiцiєнти Фур’є ядер K(t, s) i K1(t, s) як функцiй змiнної s
K(t) =
b\int
a
\Phi \ast (s)K(t, s)ds, W (t) =
b\int
a
\Phi \ast (s)K1(t, s)ds,
а потiм коефiцiєнти Фур’є отриманих функцiй за змiнною t
K =
b\int
a
b\int
a
\Phi \ast (s)K(t, s)\Phi (t)dsdt, W =
b\int
a
b\int
a
\Phi \ast (s)K1(t, s)\Phi (t)dsdt. (6)
Застосовуючи вирази (5), (6) до iнтегрального рiвняння (4), отримуємо злiченну систему алге-
браїчних рiвнянь
\=y - K\=y = \=f +W \=c0, (7)
або
D\=y = \=f +W \=c0, (8)
де оператор D = \{ dij\} \infty i,j=1 = I - K.
Пiд розв’язком системи (8) будемо розумiти послiдовнiсть чисел \{ \=y(j)\} \infty j=1, при пiдстановцi
яких у рiвняння (8) усi ряди
\sum \infty
j=1
dij \=y
(j) будуть збiжними, а їхнi суми будуть збiгатися з
вiльними членами правої частини [11]. Очевидно, що оператор D є лiнiйним.
Нехай D : \bfH \rightarrow \bfH — обмежений нормально розв’язний оператор.
Нормальна розв’язнiсть оператора D означає, що вiн псевдооборотний i iснують обме-
женi ортопроєктори PN(D), PN(D\ast ) на нуль-простiр N(D) i нуль-простiр N(D\ast ) спряженого
оператора D\ast та обмежений псевдообернений оператор D+ до оператора D [4].
Вiдомо [4], що при виконаннi умови
PN(D\ast )
\bigl\{
\=f +W \=c0
\bigr\}
= 0, (9)
i лише при нiй, операторне рiвняння (8) має сiм’ю розв’язкiв
\=y = PN(D)\~y +D+\{ f +W \=c0\} , (10)
де \~y — довiльний вектор гiльбертового простору \bfH .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 55
З умови (9) знайдемо значення \=c0 \in \bfH , при якому рiвняння (8) буде мати розв’язок. Пiсля
перетворень (9) отримаємо операторне рiвняння
S\=c0 = b, (11)
де
S = PN(D\ast )W, b = - PN(D\ast )
\=f.
Нехай оператор S : \bfH \rightarrow \bfH нормально розв’язний. Тодi iснують обмеженi ортопроєктори
PN(S) : \bfH \rightarrow N(S) i PN(S\ast ) : \bfH \rightarrow N(S\ast ) та обмежений псевдообернений оператор S+ :
\bfH \rightarrow \bfH до оператора S. Операторне рiвняння (11) розв’язне тодi й лише тодi, коли виконується
умова [13]
PN(S\ast )b = PN(S\ast )PN(D\ast )
\=f = 0, (12)
при виконаннi якої воно має сiм’ю розв’язкiв
\=c0 = PN(S)\~c+ S+b, (13)
де \~c — довiльний елемент гiльбертового простору \bfH .
Пiдставивши знайдене \=c0 у (10), отримаємо розв’язок рiвняння (8):
\=y = PN(D)\~y +D+
\bigl\{
\=f +W [PN(S)\~c+ S+b]
\bigr\}
=
= PN(D)\~y +D+WPN(S)\~c+D+ \=f - D+WS+PN(D\ast )
\=f.
Позначивши D = D+ - D+WS+PN(D\ast ), остаточно матимемо
\=y = PN(D)\~y +D+WPN(S)\~c+D \=f =
=
\bigl[
PN(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+D \=f.
Таким чином, справедливою є така теорема.
Теорема 1. Нехай оператори D : \bfH \rightarrow \bfH i S : \bfH \rightarrow \bfH нормально розв’язнi. Тодi однорiдна
система (8) має сiм’ю розв’язкiв
\=y =
\bigl[
PN(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
,
де \~y \in \bfH , \~c \in \bfH — довiльнi сталi.
Неоднорiдна система (8) є розв’язною для тих i лише тих \=f, якi задовольняють умову (12),
i має сiм’ю розв’язкiв
\=y =
\bigl[
PN(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+D \=f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
56 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
Таким чином за теоремою Рiса – Фiшера iснує такий елемент y(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfH ), що коорди-
нати вектора \=y є його коефiцiєнтами Фур’є i має мiсце зображення
y(t) = \Phi (t)\=y =
\bigl[
\Phi (t)PN(D), \Phi (t)D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+ \Phi (t)D \=f. (14)
Використовуючи методику з [12, с. 266], можна показати, що множина елементiв y(t), якi
визначаються спiввiдношенням (14), є шуканою сiм’єю розв’язкiв iнтегрального рiвняння (4).
Враховуючи (13), замiну (2) i той факт, що c0 = \Phi (t)\=c0, отримуємо загальний розв’язок
iнтегро-диференцiального рiвняння (1):
z(t) =
t\int
a
y(s)ds+ \Phi (t)\=c0 =
=
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)PN(D), \widetilde \Phi (t)D+WPN(S)
\Bigr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+ \widetilde \Phi (t)D \=f + \Phi (t)PN(S)\~c - \Phi (t)S+PN(D\ast )
\=f =
=
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PN(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+ F (t),
де
\widetilde \Phi (t) = t\int
a
\Phi (s)ds, F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S+PN(D\ast )
\Bigr]
\=f.
Таким чином, для iнтегро-диференцiального рiвняння (1) справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай оператори D : \bfH \rightarrow \bfH i S : \bfH \rightarrow \bfH нормально розв’язнi. Тодi вiдпо-
вiдне (1) однорiдне iнтегро-диференцiальне рiвняння має сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PN(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
.
Неоднорiдне iнтегро-диференцiальне рiвняння (1) розв’язне для тих i лише тих f(t) \in
\in \bfL 2(\scrI ,\bfH ), якi задовольняють умову
PN(S\ast )PN(D\ast )
b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt = 0, (15)
i при цьому має сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PN(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~y
\~c
\biggr]
+ F (t), (16)
де \~y \in \bfH , \~c \in \bfH — довiльнi сталi,
F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S+PN(D\ast )
\Bigr] b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 57
Зауваження 1. Якщо оператор D оборотний, то умова (15) буде завжди виконуватись i
iнтегро-диференцiальне рiвняння буде мати сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)D - 1W + \Phi (t)
\Biggr]
\~c+ \widetilde \Phi (t)D - 1
b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt. (17)
Справдi у цьому випадку ортопроєктори PN(D) = 0, PN(D\ast ) = 0 i, як наслiдок, оператор
S = PN(D\ast )W = 0. Тодi PN(S) = I\bfH , PN(S\ast ) = I\bfH i з (16) будемо мати (17).
Зауваження 2. Якщо оператор S оборотний, то ортопроєктори PN(S) = 0 i PN(S\ast ) = 0.
У цьому випадку умова (15) буде завжди виконуватись, iнтегро-диференцiальне рiвняння буде
завжди розв’язним i матиме сiм’ю розв’язкiв
z(t) = \widetilde \Phi (t)PN(D)\~y + F (t),
де \~y \in \bfH — довiльна стала,
F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S - 1PN(D\ast )
\Bigr] b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt,
D = D+ - D+WS - 1PN(D\ast ).
Iнтегро-диференцiальнi рiвняння у скiнченновимiрних гiльбертових просторах. При
розглядi iнтегро-диференцiальних рiвнянь у скiнченновимiрних гiльбертових просторах запро-
поновану методику дослiдження можна уточнити та конкретизувати.
Розглянемо рiвняння
\.z(t) -
b\int
a
[K1(t, s)z(s) +K2(t, s) \.z(s)]ds = f(t), (18)
де ядра K1(t, s) i K2(t, s) — сумовнi з квадратом (n \times n)-вимiрнi матрицi, f(t) — (n \times 1)-
вимiрний вектор-стовпець, елементи яких належать простору \bfL 2(\scrI ,\bfH ). Розв’язок будемо шу-
кати у класi функцiй z(t) таких, що z(t) \in \bfD 2(\scrI ,\bfR n), \.z(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfR n).
Виконавши замiну z(t) =
\int t
a
y(s)ds + c0, c0 \in \bfR n, пiсля перетворень з (18) отримаємо
iнтегральне рiвняння
y(t) -
b\int
a
K(t, s)y(s)ds = g(t), (19)
де
K(t, s) =
b\int
s
K1(t, \tau )d\tau +K2(t, s), g(t) = f(t) +
b\int
a
K1(t, s)ds c0.
Нехай, як i ранiше, \{ \varphi i(t)\} \infty i=1 — повний ортонормований базис простору \bfL 2(\scrI ,\bfR n). Скла-
демо з базисних векторiв \varphi i(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(\varphi
(1)
i (t), \varphi
(2)
i (t), . . . , \varphi
(n)
i (t)), i = 1,\infty , (n \times \infty )-вимiрну
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
58 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
матрицю
\Phi (t) = (\varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi i(t), . . .).
Як i ранiше, введемо до розгляду величини
\=y =
b\int
a
\Phi \ast (t)y(t)dt, \=f =
b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt \=c0 =
b\int
a
\Phi \ast (t)c0dt. (20)
Далi утворимо коефiцiєнти Фур’є ядер K(t, s) i K1(t, s) як функцiй змiнної s, а потiм як
функцiй змiнної t:
K =
b\int
a
b\int
a
\Phi \ast (t)K(t, s)\Phi (s)dtds, W =
b\int
a
b\int
a
\Phi \ast (t)K1(t, s)\Phi (s)dtds. (21)
Застосувавши вирази (20), (21) до iнтегрального рiвняння (18), отримаємо злiченну систему
алгебраїчних рiвнянь
\=y - K\=y = \=f +W \=c0,
або
D\=y = \=f +W \=c0, (22)
де оператор D = \{ dij\} \infty i,j=1 = I - K — (\infty \times \infty )-злiченновимiрна матриця.
У цьому випадку оператор K : \bfl 2 \rightarrow \bfl 2 (21) є компактним оператором. Тодi за вiдомою
теоремою С. М. Нiкольського [14] оператор D = I\bfl 2 - K буде фредгольмовим.
Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D\ast = r. Позначимо через PNr(D) (\infty \times r)-вимiрну матрицю, яку
складено з r лiнiйно незалежних стовпцiв (\infty \times \infty )-вимiрної матрицi-ортопроєктора PN(D), а
через PNr(D\ast ) (r\times \infty )-вимiрну матрицю, яку складено з r лiнiйно незалежних рядкiв (\infty \times \infty )-
вимiрної матрицi-ортопроєктора PN(D\ast ).
Тодi рiвняння (22) має розв’язок для тих i лише тих правих частин, якi задовольняють r
лiнiйно незалежних умов
PNr(D\ast )
\bigl\{
\=f +W \=c0
\bigr\}
= 0, (23)
при виконаннi яких воно має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
\=y = PNr(D)\~yr +D+\{ f +W \=c0\} , (24)
де \~yr — довiльний елемент евклiдового простору \bfR r, D+ — псевдообернена за Муром –
Пенроузом матриця до матрицi D [3, 4].
Нехай S = PNr(D\ast )W — (r \times \infty )-вимiрна матриця, b = - PNr(D\ast )
\=f — r-вимiрний вектор-
стовпець. Тодi з умови (23) отримаємо алгебраїчне рiвняння
S\=c0 = b (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 59
для знаходження значення \=c0 \in \bfl 2, при якому рiвняння (18) буде розв’язним.
Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S = d \leq r. Це означає, що оператор S є d-нормальним. Позначимо через
PN(S) (\infty \times \infty )-вимiрну матрицю-ортопроєктор, а через PNd(S\ast ) (d \times \infty )-вимiрну матрицю,
яку складено з d лiнiйно незалежних рядкiв (r \times r)-вимiрної матрицi-ортопроєктора PN(S\ast ),
S+ — псевдообернений оператор до оператора S.
Рiвняння (25) розв’язне тодi й лише тодi, коли виконується умова [13]
PNd(S\ast )b = PNd(S\ast )PNr(D\ast )
\=f = 0, (26)
при виконаннi якої рiвняння (11) має сiм’ю розв’язкiв
\=c0 = PN(S)\~c+ S+b,
де \~c \in \bfl 2 — довiльний елемент.
Умова (26) складається з d лiнiйно незалежних умов, оскiльки матрицi PNd(S\ast ), PNr(D\ast )
мають повнi ранги: \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNd(S\ast ) = d, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNr(D\ast ) = r, d \leq r, i з нерiвностi Сiльвестра
[15, c. 31] маємо
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNd(S\ast ) + \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNr(D\ast ) - r \leq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl(
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl(
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNd(S\ast ), \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}PNr(D\ast )
\bigr)
,
або
d+ r - r \leq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl(
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
\bigr)
\leq d.
Звiдси випливає, що \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl(
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
\bigr)
= d.
Пiдставивши знайдене \=c0 у (24), отримаємо загальний розв’язок рiвняння (22):
\=y = PNr(D)\~yr +D+
\bigl\{
\=f +W [PN(S)\~c+ S+b]
\bigr\}
=
= PNr(D)\~y +D+WPN(S)\~c+D+ \=f - D+WS+PNr(D\ast )
\=f.
Позначивши D = D+ - D+WS+PNr(D\ast ), остаточно матимемо
\=y = PNr(D)\~yr +D+WPN(S)\~c+D \=f =
=
\bigl[
PNr(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+D \=f.
Справедливою є така теорема.
Теорема 3. Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D = r, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S = d \leq r. Тодi однорiдна система (8) має сiм’ю
розв’язкiв \=y \in \bfl 2,
\=y =
\bigl[
PNr(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
,
де \~yr \in \bfR r, \~c \in \bfl 2 — довiльнi сталi.
Неоднорiдна система (8) є розв’язною для тих i лише тих \=f, якi задовольняють d лiнiйно
незалежних умов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
60 О. A. БОЙЧУК, В. П. ЖУРАВЛЬОВ
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
\=f = 0,
i при цьому має сiм’ю розв’язкiв
\=y =
\bigl[
PNr(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+D \=f.
Отже за теоремою Рiса – Фiшера iснує такий елемент y(t) \in \bfL 2(\scrI ,\bfR n), що координати
вектора \=y є його коефiцiєнтами Фур’є i має мiсце зображення
y(t) = \Phi (t)\=y = \Phi (t)
\bigl[
PNr(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+ \Phi (t)D \=f. (27)
Аналогiчно [10, с. 266] можна показати, що множина елементiв y(t) (27) є шуканою сiм’єю
розв’язкiв iнтегрального рiвняння (19).
Враховуючи замiну z(t) =
\int t
a
y(s)ds+ c0, де c0 = \Phi (t)\=c0, отримуємо загальний розв’язок
iнтегро-диференцiального рiвняння (18):
z(t) =
t\int
a
y(s)ds+ \Phi (t)\=c0 =
= \widetilde \Phi (t)\bigl[ PNr(D), D+WPN(S)
\bigr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+ \widetilde \Phi (t)D \=f + \Phi (t)PN(S)\~c - \Phi (t)S+PNr(D\ast )
\=f =
=
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PNr(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+ F (t),
де
\widetilde \Phi (t) = t\int
a
\Phi (s)ds, F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S+PNr(D\ast )
\Bigr]
\=f.
Таким чином, для iнтегро-диференцiального рiвняння (18) справедливою є така теорема.
Теорема 4. Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}D = r, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S = d. Тодi iнтегро-диференцiальне рiвняння (18)
має розв’язки для тих i лише тих f(t) \in \bfR n, якi задовольняють d лiнiйно незалежних умов
PNd(S\ast )PNr(D\ast )
b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt = 0,
при виконаннi яких воно має сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PNr(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+ F (t),
де \~yr \in \bfR r, \~c \in \bfl 2 — довiльнi сталi,
F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S+PNr(D\ast )
\Bigr] b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 61
Зауваження 3. Якщо \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S = r, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S\ast = 0 i ортопроєктор PN(S\ast ) = 0. У цьому
випадку умова (26) буде завжди виконуватись, iнтегро-диференцiальне рiвняння буде завжди
розв’язним i матиме сiм’ю розв’язкiв
z(t) =
\Biggl[ \widetilde \Phi (t)PNr(D),
\bigl( \widetilde \Phi (t)D+WPN(S) + \Phi (t)PN(S)
\bigr) \Biggr] \biggl[ \~yr
\~c
\biggr]
+ F (t),
де \~yr \in \bfR r, \~c \in \bfl 2 — довiльнi сталi,
F (t) =
\Bigl[ \widetilde \Phi (t)D - \Phi (t)S+
r PNr(D\ast )
\Bigr] b\int
a
\Phi \ast (t)f(t)dt,
D = D+ - D+WS+
r PNr(D\ast ), S
+
r — правий псевдообернений оператор до оператора S [4, c. 103].
Лiтература
1. A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Solvability criterion of integro-differential equations with degenerate kernel in
Banach spaces, Nonlinear Dyn. and Syst. Theory, 18, № 4, 331 – 341 (2018).
2. A. M. Samoilenko, A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Linear boundary value problems for normally solvable operator
equations in a Banach space, Different. Equat., 50, № 3, 1 – 11 (2014).
3. A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2-nd ed.
Inverse and Ill-Posed Probl. Ser., 59 (2016).
4. А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко, Нормально разрешимые краевые задачи, Наук. думка, Киев,
(2019).
5. Ю. К. Ландо, Об индексе и нормальной разрешимости интегро-дифференциальных операторов, Диференц.
рiвняння, 4, № 6, 1112 – 1126 (1968).
6. А. М. Самойленко, О. А. Бойчук, С. А. Кривошея, Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних
рiвнянь з виродженим ядром, Укр. мат. журн., 48, № 11, 1576 – 1579 (1996).
7. О. А. Бойчук, I. А. Головацька, Крайовi задачi для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь, Нелiнiйнi коли-
вання, 16, № 4, 460 – 474 (2013).
8. V. P. Zhuravl’ov, Generalized inversion of Fredholm integral operators with degenerate kernels in Banach spaces, J.
Math. Sci., 212, № 3, 275 – 289 (2016).
9. A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, Solvability criterion for linear boundary-value problems for integrodifferential
Fredholm equations with degenerate kernels in Banach spaces, Ukrainian Math. J., 72, № 11, 1695 – 1714 (2021).
10. Д. Гильберт, Избранные труды, т. 2, Факториал, Москва (1998).
11. Б. З. Вулих, Введение в функциональный анализ, Наука, Москва (1967).
12. О. А. Бойчук, Н. О. Козлова, В. А. Ферук, Слабкозбуренi iнтегральнi рiвняння, Нелiнiйнi коливання, 19, № 2,
151 – 160 (2016).
13. A. A. Boichuk, V. F. Zhuravlev, A. A. Pokutnyi, Conditions of solvability and representation of the solutions of
equations with operator matrices, Ukrainian Math. J., 65, № 2, 179 – 192 (2013).
14. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, Москва (1980).
15. В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов, Матрицы и вычисления, Наука, Москва (1984).
Одержано 28.11.22
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-7394 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:28Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/3ec3f99f2a1fdce3ccecedb166a5e10e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-73942023-02-25T14:21:55Z Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces Розв'язність лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з невиродженим ядром у гільбертових просторах Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Бойчук, О. A. Журавльов, В. П. узагальнено обернений оператор, інтегро-диференціальне рівняння банаховий простір UDC 517.968.2 By using the theory of pseudoinversion of operators and generalized inversion of integral operators, we obtain a criterion for the solvability of integro-ifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces. УДК 517.968.2 Із використанням теорії псевдообернення операторів і узагальненого обернення інтегральних операторів отримано критерій розв'язності інтегро-диференціальних рівнянь з невиродженим ядром у гільбертових просторах.  Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-02-05 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7394 10.37863/umzh.v75i1.7394 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 1 (2023); 52 - 61 Український математичний журнал; Том 75 № 1 (2023); 52 - 61 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7394/9351 Copyright (c) 2023 Олександр Бойчук, Валерій Журавльов |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Zhuravlev, V. F. Бойчук, О. A. Журавльов, В. П. Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title | Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title_alt | Розв'язність лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з невиродженим ядром у гільбертових просторах |
| title_full | Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title_fullStr | Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title_full_unstemmed | Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title_short | Solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in Hilbert spaces |
| title_sort | solvability of integrodifferential equations with nondegenerate kernel in hilbert spaces |
| topic_facet | узагальнено обернений оператор, інтегро-диференціальне рівняння банаховий простір |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7394 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa solvabilityofintegrodifferentialequationswithnondegeneratekernelinhilbertspaces AT zhuravlevvf solvabilityofintegrodifferentialequationswithnondegeneratekernelinhilbertspaces AT bojčukoa solvabilityofintegrodifferentialequationswithnondegeneratekernelinhilbertspaces AT žuravlʹovvp solvabilityofintegrodifferentialequationswithnondegeneratekernelinhilbertspaces AT boichukoa rozv039âznístʹlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹznevirodženimâdromugílʹbertovihprostorah AT zhuravlevvf rozv039âznístʹlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹznevirodženimâdromugílʹbertovihprostorah AT bojčukoa rozv039âznístʹlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹznevirodženimâdromugílʹbertovihprostorah AT žuravlʹovvp rozv039âznístʹlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹznevirodženimâdromugílʹbertovihprostorah |