Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series
UDC 511.7 We examine the representation of real numbers by the Perron series ($P$-representation) given by $$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{r_0 r_1\ldots r_n}{(p_1-1)p_1\ldots(p_n-1)p_n p_{n+1}}=\Delta^P_{p_1 p_2\ldots},\quad\mbox{where}\quad r_n,p_n\in\mathbb{N},\quad p_{n+1}\geq r_n+1,...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7503 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512684324159488 |
|---|---|
| author | Moroz, M. Мороз, Микола |
| author_facet | Moroz, M. Мороз, Микола |
| author_sort | Moroz, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2023-08-15T15:57:32Z |
| description | UDC 511.7
We examine the representation of real numbers by the Perron series ($P$-representation) given by $$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{r_0 r_1\ldots r_n}{(p_1-1)p_1\ldots(p_n-1)p_n p_{n+1}}=\Delta^P_{p_1 p_2\ldots},\quad\mbox{where}\quad r_n,p_n\in\mathbb{N},\quad p_{n+1}\geq r_n+1,$$ and its transcoding ($\overline{P}$-representation) $$x=\Delta^{\overline{P}}_{g_1 g_2\ldots},\quad\mbox{where}\quad g_n=p_n-r_{n-1}.$$ We establish the properties of $\overline{P}$-representations typical of almost all numbers with respect to the Lebesgue measure (normal properties of the representations of numbers). We also examine the conditions of existence of the frequency of a digit $i$ in the $\overline{P}$-representation of a number $x=\Delta^{\overline{P}}_{g_1 g_2\ldots g_n\ldots}$ defined by the equality $$\nu_i^{\overline{P}}(x)=\lim\limits_{k\to\infty} \frac{N^{\overline{P}}_i(x,k)}{k},$$ where $N^{\overline{P}}_i(x,k)$ denotes the amount of numbers $n$ such that $g_n=i$ and $n\leq k.$ In particular, we establish conditions under which the frequency $\nu_i^{\overline{P}}(x)$ exists and is constant for almost all $x\in(0;1].$ In addition, we also determine the conditions under which the digits in $\overline{P}$-representations are encountered finitely or infinitely many times for almost all numbers from $(0;1].$ |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v75i7.7503 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v75i7.7503
УДК 511.7
Микола Мороз1 (Iнститут математики НАН України, Київ)
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ
У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА
We examine the representation of real numbers by the Perron series (P -representation) given by
(0; 1] \ni x =
\infty \sum
n=0
r0r1 . . . rn
(p1 - 1)p1 . . . (pn - 1)pnpn+1
= \Delta P
p1p2..., where rn, pn \in \BbbN , pn+1 \geq rn + 1,
and its transcoding (P -representation)
x = \Delta P
g1g2..., where gn = pn - rn - 1.
We establish the properties of P -representations typical of almost all numbers with respect to the Lebesgue measure
(normal properties of the representations of numbers). We also examine the conditions of existence of the frequency of a
digit i in the P -representation of a number x = \Delta P
g1g2...gn... defined by the equality
\nu P
i (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
NP
i (x, k)
k
,
where NP
i (x, k) denotes the amount of numbers n such that gn = i and n \leq k. In particular, we establish conditions
under which the frequency \nu P
i (x) exists and is constant for almost all x \in (0; 1]. In addition, we also determine the
conditions under which the digits in P -representations are encountered finitely or infinitely many times for almost all
numbers from (0; 1].
Вивчаються зображення чисел рядами Перрона (P -зображення)
(0; 1] \ni x =
\infty \sum
n=0
r0r1 . . . rn
(p1 - 1)p1 . . . (pn - 1)pnpn+1
= \Delta P
p1p2..., де rn, pn \in \BbbN , pn+1 \geq rn + 1,
та його перекодування (P -зображення)
x = \Delta P
g1g2..., де gn = pn - rn - 1.
Знайдено властивостi P -зображення, якi мають майже всi в розумiннi мiри Лебега числа (нормальнi властивостi
зображень чисел). Вивчаються умови iснування у P -зображеннi числа x = \Delta P
g1g2...gn... частоти цифри i, яка
означується рiвнiстю
\nu P
i (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
NP
i (x, k)
k
,
де NP
i (x, k) — кiлькiсть номерiв n таких, що gn = i та n \leq k. Зокрема, встановлено умови, за яких частота \nu P
i (x)
iснує й однакова для майже всiх x \in (0; 1]. Також знайдено умови, за яких цифри у P -зображеннi зустрiчаються
скiнченну (нескiнченну) кiлькiсть разiв для майже всiх чисел з (0; 1].
1. Вступ. Ряди Перрона, \bfitP -зображення чисел. Сьогоднi в математицi та її застосуваннях
використовуються рiзнi моделi дiйсного числа: у формi ряду, ланцюгового дробу, нескiнчен-
ного добутку тощо. Кожна з форм iснування числа має свої переваги у певному аспектi, а
в сукупностi вони є взаємодоповнюючими i складають потужний арсенал засобiв задання та
вивчення математичних об’єктiв зi складною локальною тополого-метричною структурою i
фрактальними властивостями.
1 E-mail: moroznik22@gmail.com.
c\bigcirc МИКОЛА МОРОЗ, 2023
920 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 921
У теорiї сингулярних функцiй та розподiлiв iмовiрностей, теорiї фракталiв, метричнiй те-
орiї динамiчних систем, рiзних теорiях хаосу важливу роль вiдiграють нормальнi властивостi
зображення чисел у тiй чи iншiй системi зображення чисел. Класичними в цьому вiдношеннi
є результати Бореля [6] для s-кового зображення дiйсних чисел та Хiнчина [4] для зображення
чисел елементарними ланцюговими дробами.
Як виявилось, зображення чисел одиничного промiжку рядами Люрота [9 – 12, 15], Енге-
ля [1, 3, 5, 7, 13], Сильвестера [8, 14] мають багато спiльного, до того ж iснує загальна модель,
частковими випадками якої вони є. Саме їй присвячено цю статтю.
Означення 1 [2]. Рядом Перрона будемо називати числовий ряд вигляду
\infty \sum
n=0
r0r1 . . . rn
(p1 - 1)p1(p2 - 1)p2 . . . (pn - 1)pnpn+1
, (1)
де (rn)
\infty
n=0 — довiльна послiдовнiсть натуральних чисел, pn \in \BbbN , pn \geq rn - 1 + 1 для кожно-
го n \in \BbbN .
Зауваження 1. Далi пiд дробом
r0r1 . . . rn
(p1 - 1)p1(p2 - 1)p2 . . . (pn - 1)pnpn+1
при умовi n = 0
будемо розумiти дрiб
r0
p1
.
Лема 1 [2]. Ряд Перрона (1) є збiжним, до того ж його сума є числом з (0; 1].
Нехай функцiї \varphi n(x1, . . . , xn) : \BbbN n \rightarrow \BbbN для кожного n \in \BbbN , \varphi 0 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \in \BbbN . Через P
позначатимемо фiксовану послiдовнiсть функцiй (\varphi n)
\infty
n=0.
Означення 2 [2]. Нехай число x \in (0; 1] є сумою ряду (1), до того ж r0 = \varphi 0 i rn =
\varphi n(p1, . . . , pn) для кожного n \in \BbbN . Тодi розклад числа x у ряд (1) будемо називати його P -
поданням, скорочений запис \Delta P
p1p2...pn... — його P -зображенням, а число pi — i-ю цифрою його
P -зображення.
Теорема 1 [2]. При довiльнiй послiдовностi P функцiй \varphi i кожен x \in (0; 1] має єдине
P -подання, тобто iснує єдина послiдовнiсть натуральних чисел (pn)
\infty
n=1 така, що
x =
\infty \sum
n=0
r0r1 . . . rn
(p1 - 1)p1 . . . (pn - 1)pnpn+1
\equiv \Delta P
p1...pn...,
де r0 = \varphi 0, rn = \varphi n(p1, . . . , pn) i pn \geq rn - 1 + 1 для кожного n \in \BbbN .
Означення 3 [2]. P -цилiндром рангу k з основою c1 . . . ck будемо називати непорожню
множину \Delta P
c1...ck
чисел з (0; 1], для яких iснує P -зображення вигляду \Delta P
c1...ckpk+1...
, тобто
\Delta P
c1...ck
=
\Bigl\{
x : x \in (0; 1], x = \Delta P
c1...ckpk+1pk+2...
\Bigr\}
.
Означення 4 [2]. Рiзницевим поданням ряду Перрона будемо називати запис ряду (1) у
виглядi
\infty \sum
n=0
r0r1 . . . rn
(r0 + g1 - 1)(r0 + g1) . . . (rn - 1 + gn - 1)(rn - 1 + gn)(rn + gn+1)
, (2)
де gn = pn - rn - 1 i gn \in \BbbN для всiх n \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
922 МИКОЛА МОРОЗ
Нехай P — послiдовнiсть функцiй (\varphi n)
\infty
n=0. Розглянемо функцiї \varphi n такi, що \varphi 0 = \varphi 0 =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \in \BbbN i
\varphi n(g1, . . . , gn) = \varphi n(p1, . . . , pn),
де r0 = \varphi 0, pn = rn - 1 + gn, rn = \varphi n(p1, . . . , pn) для кожного n \in \BbbN . Послiдовнiсть функцiй
(\varphi n)
\infty
n=0 позначимо як P .
Означення 5 [2]. Нехай число x \in (0; 1] є сумою ряду (2), до того ж r0 = \varphi 0 i rn =
\varphi n(g1, . . . , gn) для кожного n \in \BbbN . Тодi розклад числа x у ряд (2) будемо називати його P -
поданням, скорочений запис \Delta P
g1g2...gn... ряду (2) — P -зображенням числа x, а число gi — i-ю
цифрою його P -зображення.
Означення 6 [2]. P -цилiндром рангу k з основою c1 . . . ck будемо називати множину
\Delta P
c1...ck
всiх чисел з (0; 1], для яких iснує P -зображення вигляду \Delta P
c1...ckgk+1...
, тобто
\Delta P
c1...ck
=
\Bigl\{
x : x \in (0; 1], x = \Delta P
c1...ckgk+1gk+2...
\Bigr\}
.
Як i кожен P -цилiндр, всi P -цилiндри є числовими промiжками вигляду (a; b]. Довжину
P -цилiндра \Delta P
c1...ck
будемо позначати
\bigm| \bigm| \Delta P
c1...ck
\bigm| \bigm| . Всi властивостi P -зображення та P -цилiндрiв
аналогiчнi вiдповiдним властивостям P -зображення [2] та безпосередньо випливають з них, а
всi рiвностi лише змiнюють свою форму запису завдяки пiдстановцi pn = rn - 1 + gn.
Таким чином, для P -цилiндрiв справджуються рiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
c1...ck
\bigm| \bigm| \bigm| = r0r1 . . . rk - 1
(r0 + c1 - 1)(r0 + c1) . . . (rk - 1 + ck - 1)(rk - 1 + ck)
, (3)
(0; 1] =
\infty \bigcup
i=1
\Delta P
i , \Delta P
c1...ck
=
\infty \bigcup
i=1
\Delta P
c1...cki
, (4)
\infty \sum
i=1
| \Delta P
i | = 1,
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
c1...ck
\bigm| \bigm| \bigm| = \infty \sum
i=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
c1...cki
\bigm| \bigm| \bigm| , (5)
в яких r0 = \varphi 0 та rn = \varphi n(c1, . . . , cn) для кожного n = 1, . . . , k.
Лема 2 [2] (основне метричне вiдношення).\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
c1...cki
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
c1...ck
\bigm| \bigm| \bigm| =
rk
(rk + i - 1)(rk + i)
,
де rk = \varphi k(c1, . . . , ck).
Лема 3 [2]. Якщо \Delta P
b1...bn
i \Delta P
c1...cm — два рiзнi P -цилiндри, то можливi лише два випадки
їх взаємного розмiщення:
\Delta P
b1...bn
\cap \Delta P
c1...cm = \varnothing , якщо iснує натуральне k \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ n,m\} таке, що bi = ci для всiх
i < k та bk \not = ck;
\Delta P
b1...bn
\subset \Delta P
c1...cm , якщо n > m i bi = ci для всiх i \leq m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 923
2. Нормальнi властивостi чисел, що пов’язанi з кiлькiстю рiзних цифр у їхньому \bfitP -
зображеннi. Розглянемо P -зображення, що визначене послiдовнiстю функцiй (\varphi n)
\infty
n=0.
Теорема 2. Якщо ряд
\sum \infty
n=0
1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi n
збiжний, то для майже всiх чисел з (0; 1] кожна
цифра в їхнiх P -зображеннях зустрiчається скiнченну кiлькiсть разiв.
Доведення. Використаємо ймовiрнiсний пiдхiд, скориставшись лемою Бореля – Кантеллi.
Для цього розглянемо ймовiрнiсний простiр (\Omega ,\scrF , \lambda ), де \Omega = (0; 1], \scrF — \sigma -алгебра вимiрних
за Лебегом пiдмножин множини \Omega , \lambda — мiра Лебега.
Нехай Ai
k = \{ x : gk(x) = i\} . Подiю Ai
k можна подати у виглядi
Ai
k =
\infty \bigcup
g1=1
. . .
\infty \bigcup
gk - 1=1
\Delta P
g1...gk - 1i
.
Оскiльки P -цилiндри \Delta P
g1...gk - 1i
попарно не перетинаються, то
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1i
\bigm| \bigm| \bigm| .
Iз рiвностi (3) випливає, що для кожного i \in \BbbN виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1i
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 11
\bigm| \bigm| \bigm| . Тодi, враховуючи лему 2, отримуємо
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
\leq \lambda
\bigl(
A1
k
\bigr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 11
\bigm| \bigm| \bigm| = \infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\left( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 11
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm|
\right)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k - 1(g1, . . . , gk - 1) + 1
\biggr)
\leq
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k - 1 + 1
\biggr)
=
1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k - 1 + 1
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| = 1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k - 1 + 1
<
1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k - 1
.
Якщо ряд
\sum \infty
k=1
1
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi k - 1
збiжний, то згiдно з ознакою порiвняння ряд
\sum \infty
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
також
є збiжним.
Нехай Ai = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\rightarrow \infty
Ai
k =
\infty \bigcap
n=1
\biggl( \infty \bigcup
k=n
Ai
k
\biggr)
. Зрозумiло, що множина Ai мiстить тi й ли-
ше тi числа, P -зображення яких мiстять цифру i нескiнченну кiлькiсть разiв. Оскiльки ряд\sum \infty
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
збiжний, то згiдно з лемою Бореля – Кантеллi \lambda
\bigl(
Ai
\bigr)
= 0. Тому кожна цифра i
зустрiчається скiнченну кiлькiсть разiв у P -зображеннях майже всiх чисел з (0; 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
924 МИКОЛА МОРОЗ
Наслiдок 1. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Тодi якщо ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
збiжний, то для майже всiх чисел з (0; 1] кожна
цифра в їхнiх P -зображеннях зустрiчається скiнченну кiлькiсть разiв.
Лема 4. Якщо для деякого k \in \BbbN функцiя \varphi k - 1 є сталою, то
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
=
\varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) . (6)
Доведення. Оскiльки Ai
k =
\infty \bigcup
g1=1
. . .
\infty \bigcup
gk - 1=1
\Delta P
g1...gk - 1i
, то
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1i
\bigm| \bigm| \bigm| = \infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\left( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm|
\right)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) \Biggr)
=
\varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) \infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| = \varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) .
Теорема 3. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Тодi для кожного i \in \BbbN випадковi подiї Ai
k = \{ x : gk(x) = i\} , де k \geq n0 + 1,
незалежнi в сукупностi.
Доведення. Нехай n0 \in \BbbN таке, що \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} для всiх k \geq n0. Розглянемо довiльний
скiнченний набiр випадкових подiй Ai
kj
, де j \in \{ 1, . . . , n\} , kj \geq n0+1. Згiдно з лемою 4 маємо
\lambda
\bigl(
Ai
kj
\bigr)
=
\varphi kj - 1\bigl(
\varphi kj - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi kj - 1 + i
\bigr) .
Знайдемо вираз для \lambda
\bigl(
Ai
k1
\cap . . . \cap Ai
kn
\bigr)
. Нехай t1, . . . , ts — зростаюча послiдовнiсть всiх тих
номерiв, що меншi за kn i не збiгаються з жодним iз номерiв kj . Тодi мiра Лебега P -цилiндра
\Delta P
g1...gkn
рангу kn, де gkj = i при всiх j \in \{ 1, . . . , n\} , має вигляд
\lambda
\Bigl(
\Delta P
g1...gkn
\Bigr)
=
n\prod
j=1
rkj - 1
(rkj - 1 + i - 1) (rkj - 1 + i)
s\prod
j=1
rtj - 1
(rtj - 1 + gtj - 1)(rtj - 1 + gtj )
=
n\prod
j=1
\lambda
\bigl(
Ai
kj
\bigr) s\prod
j=1
rtj - 1
(rtj - 1 + gtj - 1)(rtj - 1 + gtj )
,
rn = \varphi n(g1, . . . , gn), r0 = \varphi 0. Тому
\lambda
\bigl(
Ai
k1 \cap . . . \cap Ai
kn
\bigr)
=
\infty \sum
gt1=1
. . .
\infty \sum
gts=1
\left( n\prod
j=1
\lambda
\bigl(
Ai
kj
\bigr) s\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr)
\right)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 925
=
n\prod
j=1
\lambda
\bigl(
Ai
kj
\bigr) \infty \sum
gt1=1
. . .
\infty \sum
gts=1
\left( s\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr)
\right) .
Зауважимо, що
\infty \sum
gts=1
\left( s\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr)
\right) =
s - 1\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr)
\times
\infty \sum
gts=1
\varphi ts - 1\bigl(
\varphi ts - 1 + gts - 1
\bigr) \bigl(
\varphi ts - 1 + gts
\bigr) =
s - 1\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr) .
Виконавши s таких перетворень, отримаємо рiвнiсть
\infty \sum
gt1=1
. . .
\infty \sum
gts=1
\left( s\prod
j=1
\varphi tj - 1\bigl(
\varphi tj - 1 + gtj - 1
\bigr) \bigl(
\varphi tj - 1 + gtj
\bigr)
\right) = 1.
Таким чином, \lambda
\bigl(
Ai
k1
\cap . . . \cap Ai
kn
\bigr)
=
\prod n
j=1
\lambda
\bigl(
Ai
kj
\bigr)
, а тому випадковi подiї Ai
k незалежнi в
сукупностi.
Теорема 4. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Для того щоб для майже всiх чисел x \in (0; 1] кожна цифра i в їхнiх
P -зображеннях зустрiчалася нескiнченну кiлькiсть разiв, необхiдно та достатньо, щоб ряд\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
був розбiжним.
Доведення. Необхiднiсть. Припустимо, що за умов теореми ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
є збiжним.
Тодi згiдно з наслiдком 1 для майже всiх чисел x \in (0; 1] рiвнiсть gn(x) = i виконується для
скiнченної кiлькостi номерiв n. Тому необхiдно, щоб ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
був розбiжним.
Достатнiсть. Нехай виконуються умови теореми. Тодi на пiдставi леми 4 для всiх k \geq
n0 + 1 справджується рiвнiсть
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
=
\varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) .
Нехай Ai = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\rightarrow \infty
Ai
k =
\infty \bigcap
n=1
\biggl( \infty \bigcup
k=n
Ai
k
\biggr)
. Множина Ai мiстить тi й лише тi числа, P -зображення
яких мiстять цифру i нескiнченну кiлькiсть разiв. Подiї Ai
k, k \geq n0+1, незалежнi в сукупностi
(теорема 3). Тому, згiдно з лемою Бореля – Кантеллi, для того, щоб \lambda
\bigl(
Ai
\bigr)
= 1, достатньо, щоб
ряд
\infty \sum
k=n0+1
\varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + i - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + i
\bigr) =
\infty \sum
k=n0
\varphi k
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
був розбiжним.
Покажемо, що цей ряд розбiжний тодi й лише тодi, коли розбiжним є ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
. Для
цього розглянемо два випадки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
926 МИКОЛА МОРОЗ
Якщо \varphi n \not \rightarrow \infty , то загальнi члени обох цих рядiв не прямують до 0, а тому обидва ряди
розбiжнi.
Нехай \varphi n \rightarrow \infty . Знайдемо границю вiдношення членiв цих рядiв:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\biggl(
1
\varphi k
:
\varphi k
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
\biggr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
\varphi 2
k
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\biggl(
1 +
i - 1
\varphi k
\biggr) \biggl(
1 +
i
\varphi k
\biggr)
= 1.
Згiдно з граничною ознакою порiвняння рядiв цi ряди одночасно збiжнi або одночасно розбiжнi.
Отже, якщо ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
розбiжний, то ряд
\sum \infty
k=n0
\varphi k
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
також є розбiжним,
а отже \lambda
\bigl(
Ai
\bigr)
= 1. Звiдси маємо, що для майже всiх чисел x \in (0; 1] рiвнiсть gn(x) = i
виконується для нескiнченної кiлькостi номерiв n.
Наслiдок 2. Якщо \varphi n = 1 для всiх n \in \BbbN , тобто P -подання є рiзницевим поданням чисел
рядами Люрота, то для кожного i \in \BbbN рiвнiсть gn(x) = i виконується для нескiнченної
кiлькостi номерiв n для майже всiх x \in (0; 1].
Лема 5. Якщо P -зображення таке, що \varphi k(g1, . . . , gk) \geq \varphi k - 1(g1, . . . , gk - 1) + gk для до-
вiльного набору g1, . . . , gk, то \lambda
\bigl(
A1
k+1
\bigr)
\leq 1
2
\lambda
\bigl(
A1
k
\bigr)
.
Доведення. В доведеннi теореми 2 було показано, що
\lambda
\bigl(
A1
k
\bigr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k - 1(g1, . . . , gk - 1) + 1
\biggr)
.
Тодi виконується нерiвнiсть
\lambda
\bigl(
A1
k+1
\bigr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\infty \sum
gk=1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1gk
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k + 1
\biggr)
\leq
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\infty \sum
gk=1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1gk
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k - 1 + gk + 1
\biggr)
=
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\infty \sum
gk=1
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + gk - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk + 1
\bigr) \Biggr) .
Знайдемо „внутрiшню” суму для довiльного фiксованого набору g1, . . . , gk - 1 :
\infty \sum
gk=1
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi k - 1\bigl(
\varphi k - 1 + gk - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk + 1
\bigr) \Biggr)
=
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi k - 1
\infty \sum
gk=1
\Biggl(
1\bigl(
\varphi k - 1 + gk - 1
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk
\bigr) \bigl(
\varphi k - 1 + gk + 1
\bigr) \Biggr)
=
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi k - 1
1
2\varphi k - 1
\bigl(
\varphi k - 1 + 1
\bigr) =
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k - 1 + 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 927
Таким чином, отримуємо нерiвнiсть
\lambda
\bigl(
A1
k+1
\bigr)
\leq
\infty \sum
g1=1
. . .
\infty \sum
gk - 1=1
\biggl(
1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \Delta P
g1...gk - 1
\bigm| \bigm| \bigm| 1
\varphi k - 1 + 1
\biggr)
=
1
2
\lambda
\bigl(
A1
k
\bigr)
.
Теорема 5. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, для всiх k \geq
n0 нерiвнiсть \varphi k(g1, . . . , gk) \geq \varphi k - 1(g1, . . . , gk - 1) + gk виконується для довiльного набору
g1, . . . , gk. Тодi для кожного i \in \BbbN рiвнiсть gn(x) = i для майже всiх x \in (0; 1] справджується
для скiнченної кiлькостi номерiв n.
Доведення. Нехай виконуються умови теореми. Тодi
\lambda
\bigl(
Ai
k+1
\bigr)
\leq \lambda
\bigl(
A1
k+1
\bigr)
\leq 1
2
\lambda
\bigl(
A1
k
\bigr)
,
\infty \sum
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
=
n0\sum
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
+
\infty \sum
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
n0+k
\bigr)
\leq
n0\sum
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
1
2k
\lambda
\bigl(
A1
n0
\bigr) \biggr)
=
n0\sum
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
+ \lambda
\bigl(
A1
n0
\bigr)
.
Отже, ряд
\sum \infty
k=1
\lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
збiжний, а тому \lambda
\bigl(
Ai
\bigr)
= 0. Таким чином, для кожного i \in \BbbN рiвнiсть
gn(x) = i для майже всiх x \in (0; 1] виконується для скiнченної кiлькостi номерiв n.
Наслiдок 3. Якщо \varphi n = \varphi n - 1 + gn для всiх n \in \BbbN , тобто P -зображення є рiзницевою
формою зображення чисел модифiкованими рядами Енгеля, то для кожного i \in \BbbN рiвнiсть
gn(x) = i справджується для скiнченної кiлькостi номерiв n для майже всiх x \in (0; 1].
Наслiдок 4. Якщо \varphi n =
\bigl(
\varphi n - 1 + gn - 1
\bigr) \bigl(
\varphi n - 1 + gn
\bigr)
для всiх n \in \BbbN , тобто P -зображення
є рiзницевою формою зображення чисел рядами Сильвестера, то для кожного i \in \BbbN рiвнiсть
gn(x) = i справджується для скiнченної кiлькостi номерiв n для майже всiх x \in (0; 1].
3. Нормальнi властивостi чисел, що пов’язанi з асимптотичною частотою цифр у їхньо-
му \bfitP -зображеннi. Нехай x = \Delta P
g1g2...gn.... Через NP
i (x, k) позначимо кiлькiсть номерiв n
таких, що gn = i та n \leq k.
Означення 7. Якщо для числа x iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
NP
i (x, k)
k
= \nu Pi (x),
то число \nu Pi (x) називають асимптотичною частотою цифри i в P -зображеннi числа x.
Якщо цифра i зустрiчається скiнченну кiлькiсть разiв у P -зображеннi числа x, то \nu Pi (x) =
0. Тому цiкавим є лише той випадок, коли цифра i в P -зображеннi числа зустрiчається нескiн-
ченну кiлькiсть разiв.
Розглянемо ймовiрнiсний простiр (\Omega ,\scrF , \lambda ), де \Omega = (0; 1], \scrF — \sigma -алгебра вимiрних за
Лебегом пiдмножин множини \Omega , \lambda — мiра Лебега.
Нехай випадковi величини \xi ik такi, що
\xi ik(x) =
\left\{ 0, якщо gk(x) \not = i,
1, якщо gk(x) = i.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
928 МИКОЛА МОРОЗ
Лема 6. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Тодi для послiдовностi випадкових величин
\bigl\{
\xi ik, k \geq n0 + 1
\bigr\}
виконується
посилений закон великих чисел.
Доведення. З теореми 3 випливає, що випадковi величини \xi ik незалежнi в сукупностi. Тодi,
згiдно з теоремою Колмогорова про посилений закон великих чисел, достатньо показати, що
\mathrm{D}\xi ik < \infty i ряд
\sum \infty
n=1
D\xi in+n0
n2
є збiжним.
Зрозумiло, що математичне сподiвання \mathrm{M}\xi ik випадкової величини \xi ik обчислюється за фор-
мулою \mathrm{M}\xi ik = \lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr)
. Звiдси безпосередньо випливає, що для дисперсiї \mathrm{D}\xi ik випадкової вели-
чини \xi ik має мiсце спiввiдношення
\mathrm{D}\xi ik = \lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr) \bigl(
1 - \lambda
\bigl(
Ai
k
\bigr) \bigr)
< 1 < \infty .
Як наслiдок, ряд
\sum \infty
n=1
\mathrm{D}\xi in+n0
n2
є збiжним.
Отже, для послiдовностi випадкових величин
\bigl\{
\xi ik, k \geq n0 + 1
\bigr\}
виконується посилений
закон великих чисел.
Теорема 6. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Тодi якщо iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Biggl(
1
k
k - 1\sum
n=n0
\varphi n
(\varphi n + i - 1)(\varphi n + i)
\Biggr)
= \nu i, (7)
то для майже всiх чисел x \in (0; 1] iснує, до того ж одна й та ж сама, асимптотична частота
цифри i, що дорiвнює \nu i.
Доведення. Для випадкових величин
\bigl\{
\xi ik, k \geq n0 + 1
\bigr\}
виконується посилений закон вели-
ких чисел, тобто для майже всiх чисел x \in (0; 1]
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\left(
\sum k
n=n0+1
\xi in(x)
k - n0
-
\mathrm{M}
\biggl( \sum k
n=n0+1
\xi in
\biggr)
k - n0
\right) = 0.
Оскiльки
k\sum
n=n0+1
\xi in(x) = NP
i (x, k) - NP
i (x, n0)
i
\mathrm{M}
\Biggl(
k\sum
n=n0+1
\xi in
\Biggr)
=
k\sum
n=n0+1
\mathrm{M}\xi in =
k\sum
n=n0+1
\lambda
\bigl(
Ai
n
\bigr)
=
k - 1\sum
n=n0
\varphi n
(\varphi n + i - 1)(\varphi n + i)
,
то цю границю можна записати таким чином:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Biggl(
NP
i (x, k)
k - n0
- NP
i (x, n0)
k - n0
- 1
k - n0
k - 1\sum
n=n0
\varphi n
(\varphi n + i - 1)(\varphi n + i)
\Biggr)
= 0.
Зрозумiло, що
NP
i (x, n0)
k - n0
\rightarrow 0 при k \rightarrow \infty , а замiна знаменника k - n0 на k не впливає на
значення границi. Тому для майже всiх чисел x \in (0; 1]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 929
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Biggl(
NP
i (x, k)
k
- 1
k
k - 1\sum
n=n0
\varphi n
(\varphi n + i - 1)(\varphi n + i)
\Biggr)
= 0.
Тодi, якщо iснує границя (7), для майже всiх чисел x \in (0; 1] справджується рiвнiсть
\nu Pi (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
NP
i (x, k)
k
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Biggl(
1
k
k - 1\sum
n=n0
\varphi n
(\varphi n + i - 1)(\varphi n + i)
\Biggr)
= \nu i.
Наслiдок 5. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
для всiх k \geq n0. Тодi якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\varphi k = \infty , то для майже всiх чисел x \in (0; 1] i кожного i \in \BbbN
справжується рiвнiсть \nu Pi (x) = 0.
Доведення. З теореми Штольца випливає, що для того, щоб iснувала границя (7), достатньо,
щоб iснувала границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\varphi k
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
. При цьому цi границi будуть рiвними мiж
собою. Тому якщо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\varphi k = \infty , то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\varphi k
(\varphi k + i - 1)(\varphi k + i)
= 0 для кожного натурального i.
Звiдси випливає, що для майже всiх чисел x \in (0; 1] i кожного i \in \BbbN має мiсце рiвнiсть
\nu Pi (x) = 0.
Зауваження 2. Нехай P -зображення таке, що, починаючи з деякого номера n0, \varphi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\varphi k = \infty для всiх k \geq n0, але при цьому ряд
\sum \infty
k=n0
1
\varphi k
розбiжний. Тодi для майже всiх
чисел x \in (0; 1] кожна цифра i зустрiчається нескiнченну кiлькiсть разiв у P -зображеннi числа
x, але при цьому має нульову асимптотичну частоту.
Наслiдок 6. Якщо функцiї \varphi k такi, що починаючи з деякого номера, \varphi k \equiv r, то для майже
всiх чисел x \in (0; 1] i кожного i \in \BbbN справджується рiвнiсть
\nu Pi (x) =
r
(r + i - 1)(r + i)
.
Наслiдок 7. Якщо \varphi k \equiv 1 для всiх k \in \BbbN , тобто P -зображення є рiзницевою формою
зображення чисел рядами Люрота, то для майже всiх чисел x \in (0; 1] та кожного i \in \BbbN
справджується рiвнiсть
\nu Pi (x) =
1
i(i+ 1)
.
Означення 8. Нехай (an)
\infty
n=1 — послiдовнiсть елементiв деякої множини X, a\ast — деякий
елемент цiєї множини, Na\ast (k) — кiлькiсть номерiв n \leq k таких, що an = a\ast . Якщо для
послiдовностi (an)\infty n=1 та елемента a\ast iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
Na\ast (k)
k
= \theta (a\ast ),
то число \theta (a\ast ) називатимемо асимптотичною частотою елемента a\ast в послiдовностi (an)\infty n=1.
Теорема 7. Нехай функцiї \varphi k такi, що, починаючи з деякого номера k0, їхнi значення
залежать тiльки вiд номера k, \theta (n) — асимптотична частота числа n \in \BbbN в послiдовностi
(\varphi \prime
k)
\infty
k=1, де \varphi \prime
k = \varphi k+k0 - 1, до того ж
\sum \infty
n=1
\theta (n) = 1. Тодi для майже всiх чисел x \in (0; 1]
та кожного i \in \BbbN справджується рiвнiсть
\nu Pi (x) =
\infty \sum
n=1
\biggl(
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
930 МИКОЛА МОРОЗ
Доведення. Згiдно з теоремою 6, якщо iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\left( 1
k
k - 1\sum
m=k0
\varphi m
(\varphi m + i - 1)(\varphi m + i)
\right) = \nu i,
то для майже всiх чисел x \in (0; 1] iснує, до того ж одна й та ж сама, асимптотична частота
цифри i, що дорiвнює \nu i. Нехай послiдовнiсть (\varphi \prime
k)
\infty
k=1 така, що для кожного числа n \in \BbbN
iснує його асимптотична частота \theta (n) в цiй послiдовностi, а Nn(k) — кiлькiсть разiв, якi число
n зустрiчається в цiй послiдовностi до k-го мiсця включно. Тодi одночасно iснують та рiвнi
(або не iснують) такi границi:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
1
k
k - 1\sum
m=k0
\varphi m
(\varphi m + i - 1)(\varphi m + i)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
1
k
k\sum
m=1
\varphi \prime
m
(\varphi \prime
m + i - 1)(\varphi \prime
m + i)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
1
k
\infty \sum
n=1
Nn(k)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\infty \sum
n=1
Nn(k)
k
n
(n+ i - 1)(n+ i)
.
Покажемо, що остання границя iснує, до того ж справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\infty \sum
n=1
Nn(k)
k
n
(n+ i - 1)(n+ i)
=
\infty \sum
n=1
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
.
Звiдси безпосередньо буде випливати iснування границi (7).
Оскiльки ряд
\sum \infty
n=1
\theta (n) збiжний, то для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке t \in \BbbN , що
\infty \sum
n=t+1
\theta (n) < \varepsilon .
Оскiльки \theta (n) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
Nn(k)
k
, то iснує таке K > t, що для всiх k \geq K та всiх n \leq t виконується
нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \theta (n) - Nn(k)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon
t
.
Тодi для всiх k \geq K маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\sum
n=1
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
-
\infty \sum
n=1
Nn(k)
k
n
(n+ i - 1)(n+ i)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
<
t\sum
n=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \theta (n) - Nn(k)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n
(n+ i - 1)(n+ i)
+
k\sum
n=t+1
\theta (n) +
\infty \sum
n=t+1
Nn(k)
k
<
t\sum
n=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \theta (n) - Nn(k)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \varepsilon +
\infty \sum
n=t+1
Nn(k)
k
<
\varepsilon
t
t+ \varepsilon +
\infty \sum
n=t+1
Nn(k)
k
= 2\varepsilon +
\infty \sum
n=t+1
Nn(k)
k
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
НОРМАЛЬНI ВЛАСТИВОСТI ЧИСЕЛ У ТЕРМIНАХ ЇХНЬОГО ЗОБРАЖЕННЯ РЯДАМИ ПЕРРОНА 931
Оцiнимо значення суми
\sum \infty
n=t+1
Nn(k)
k
. Оскiльки для всiх k \geq K i всiх n \leq t виконується
нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \theta (n) - Nn(k)
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \varepsilon
t
, то
Nn(k)
k
> \theta (n) - \varepsilon
t
. Звiдси випливає, що
t\sum
n=1
Nn(k)
k
>
t\sum
n=1
\theta (n) - \varepsilon .
Тодi
\infty \sum
n=t+1
Nn(k)
k
= 1 -
t\sum
n=1
Nn(k)
k
< 1 -
t\sum
n=1
\theta (n) + \varepsilon =
\infty \sum
n=t+1
\theta (n) + \varepsilon < 2\varepsilon .
Таким чином, для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке K, що для кожного k \geq K виконується
нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
k\sum
n=1
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
-
\infty \sum
n=1
Nn(k)
k
n
(n+ i - 1)(n+ i)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 4\varepsilon .
Оскiльки, згiдно з ознакою порiвняння, ряд
\sum \infty
n=1
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
збiжний, то з остан-
ньої нерiвностi випливає, що iснує також границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\infty \sum
n=1
Nn(k)
k
n
(n+ i - 1)(n+ i)
=
\infty \sum
n=1
\theta (n)
n
(n+ i - 1)(n+ i)
.
Звiдси безпосередньо випливає твердження теореми.
Лема 7. Нехай послiдовнiсть (xk)
\infty
k=1 елементiв деякої множини перiодична, починаючи
з деякого номера k0, до того ж цей перiод складається з чисел c1, . . . , cj , що мiстяться в
ньому h1, . . . , hj разiв вiдповiдно. Тодi iснує асимптотична частота елементiв c1, . . . , cj в
данiй послiдовностi, до того ж
\theta (cn) =
hn
h1 + . . .+ hj
.
Доведення. Нехай h = h1 + . . . + hj , k > k0, до того ж k = (k0 - 1) + hd + t, де d —
кiлькiсть повних перiодiв до номера k включно, t \in \{ 0, . . . , h - 1\} . Тодi має мiсце така оцiнка
числа Ncn(k), де Ncn(k) — кiлькiсть чисел cn в послiдовностi (xk)\infty k=1 до k-го мiсця включно:
Ncn(k0 - 1) + hnd \leq Ncn(k) \leq Ncn(k0 - 1) + hn(d+ 1).
Звiдси випливає, що
\theta (cn) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
Ncn(k)
k
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
hnd
k
=
hn
h
=
hn
h1 + . . .+ hj
.
Наслiдок 8. Нехай функцiї \varphi k такi, що, починаючи з деякого номера n0, їхнi значення
залежать тiльки вiд номера k. Також нехай послiдовнiсть (\varphi k)
\infty
k=n0
перiодична, починаючи з
деякого номера, до того ж цей перiод складається з чисел c1, . . . , cj , що мiстяться в ньому
h1, . . . , hj разiв вiдповiдно. Тодi для майже всiх чисел x \in (0; 1] та для кожної цифри i
справджується рiвнiсть
\nu Pi (x) =
j\sum
n=1
\biggl(
hn
h1 + . . .+ hj
cn
(cn + i - 1)(cn + i)
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
932 МИКОЛА МОРОЗ
4. Приклади. Наведемо приклади кiлькох P -зображень, що вiдмiннi вiд згаданих зобра-
жень рядами Енгеля, Люрота i Сильвестера, та визначимо їхнi нормальнi властивостi згiдно з
доведеними вище теоремами.
Приклад 1. Нехай P -зображення таке, що \varphi 0 = 1 i \varphi n = n, n \in \BbbN . Тодi у P -зображеннях
майже всiх чисел з (0; 1] кожна цифра зустрiчається нескiнченну кiлькiсть разiв з нульовою
асимптотичною частотою.
Приклад 2. Нехай P -зображення таке, що \varphi 0 = 1 i \varphi n = rg1+...+gn , r \geq 2, n \in \BbbN . Тодi у
P -зображеннях майже всiх чисел з (0; 1] кожна цифра зустрiчається скiнченну кiлькiсть разiв.
Приклад 3. Нехай P -зображення таке, що \varphi 3n = 1, \varphi 3n+1 = 1 i \varphi 3n+2 = 2, n \geq 0. Тодi
у P -зображеннях майже всiх чисел з (0; 1] кожна цифра зустрiчається нескiнченну кiлькiсть
разiв з асимптотичною частотою
\nu Pi =
4
3i(i+ 2)
.
Автор заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту iнтересiв.
Лiтература
1. О. М. Барановський, М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман, Порiвняльний аналiз метричних теорiй представлень
чисел рядами Енгеля i Остроградського та ланцюговими дробами, Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова, Сер. 1, Фiз.-мат. науки, № 12, 130 – 139 (2011).
2. М. П. Мороз, Зображення дiйсних чисел рядами Перрона, їхня геометрiя та деякi застосування, Нелiнiйнi
коливання, 26, № 2, 247 – 260 (2023).
3. М. В. Працьовитий, Б. I. Гетьман, Ряди Енгеля та їх застосування, Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова, Сер. 1, Фiз.-мат. науки, № 7, 105 – 116 (2006).
4. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, Наука, Москва (1978).
5. O. Baranovskyi, M. Pratsiovytyi, One class of continuous functions with complicated local properties related to
Engel series, Funct. Approx. Comment. Math. Adv. Publ., 1 – 20 (2022).
6. M. É. Borel, Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, Rend. Circ. Mat. Palermo (1884-
1940), 27, 247 – 271 (1909).
7. F. Engel, Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen, Verhandl. d. 52 Versammlung deutscher Philologen und
Schulmänner in Marburg, vol. 29, September bis 3. Oktober (1913), Leipzig, 190 – 191 (1914).
8. P. Erdős, A. Rényi, P. Szüsz, On Engel’s and Sylvester’s series, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 1, 7 – 32
(1958).
9. J. Lüroth, Über eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine unendliche Reihe, Math. Ann., 21, 411 – 423 (1883).
10. O. Perron, Irrationalzahlen, Walter de Gruyter & Co., Berlin (1960).
11. M. Pratsiovytyi, Yu. Khvorostina, Topological and metric properties of distributions of random variables represented
by the alternating Lüroth series with independent elements, Random Oper. and Stoch. Equat., 21, № 4, 385 – 401
(2013).
12. M. V. Pratsiovytyi, Yu. V. Khvorostina, A random variable whose digits in the \widetilde L-representation have the Markovian
dependence, Theor. Probab. and Math. Statist., № 91, 157 – 168 (2015).
13. A. Rényi, A new approach to the theory of Engel’s series, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 5, 25 – 32 (1962).
14. J. J. Sylvester, On a point in the theory of vulgar fractions, Amer. J. Math., 3, № 4, 332 – 335 (1880).
15. Yu. Zhykharyeva, M. Pratsiovytyi, Expansions of numbers in positive Lüroth series and their applications to metric,
probabilistic and fractal theories of numbers, Algebra and Discrete Math., 14, № 1, 145 – 160 (2012).
Одержано 24.02.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-7503 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:42Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/6bc3f57e50ec4ceeb394448d7a7a9cd0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75032023-08-15T15:57:32Z Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series Нормальні властивості чисел у термінах їхнього зображення рядами Перрона Moroz, M. Мороз, Микола Ряд Перрона, $P$--зображення чисел, $\overline{P}$--зображення чисел, ряд Енгеля, ряд Люрота, ряд Сильвестера, нормальні властивості чисел, метрична теорія чисел, асимптотична частота цифри Метрична теорія чисел UDC 511.7 We examine the representation of real numbers by the Perron series ($P$-representation) given by $$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{r_0 r_1\ldots r_n}{(p_1-1)p_1\ldots(p_n-1)p_n p_{n+1}}=\Delta^P_{p_1 p_2\ldots},\quad\mbox{where}\quad r_n,p_n\in\mathbb{N},\quad p_{n+1}\geq r_n+1,$$ and its transcoding ($\overline{P}$-representation) $$x=\Delta^{\overline{P}}_{g_1 g_2\ldots},\quad\mbox{where}\quad g_n=p_n-r_{n-1}.$$ We establish the properties of $\overline{P}$-representations typical of almost all numbers with respect to the Lebesgue measure (normal properties of the representations of numbers). We also examine the conditions of existence of the frequency of a digit $i$ in the $\overline{P}$-representation of a number $x=\Delta^{\overline{P}}_{g_1 g_2\ldots g_n\ldots}$ defined by the equality $$\nu_i^{\overline{P}}(x)=\lim\limits_{k\to\infty} \frac{N^{\overline{P}}_i(x,k)}{k},$$ where $N^{\overline{P}}_i(x,k)$ denotes the amount of numbers $n$ such that $g_n=i$ and $n\leq k.$ In particular, we establish conditions under which the frequency $\nu_i^{\overline{P}}(x)$ exists and is constant for almost all $x\in(0;1].$ In addition, we also determine the conditions under which the digits in $\overline{P}$-representations are encountered finitely or infinitely many times for almost all numbers from $(0;1].$ УДК 511.7 Вивчаються зображення чисел рядами Перрона ($P$-зображення) $$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{r_0 r_1\ldots r_n}{(p_1-1)p_1\ldots(p_n-1)p_n p_{n+1}}={\Delta}_{p_1 p_2\ldots}^P,\quad\mbox{де}\quad r_n,p_n\in\mathbb{N},\quad p_{n+1}\geq r_n+1,$$ та його перекодування ($\overline{P}$-зображення) $$x=\Delta_{ g_1 g_2 \ldots } ^{\overline{P}},\quad\mbox{де}\quad g_n=p_n-r_{n-1}.$$ Знайдено властивості $\overline{P}$-зображення, які мають майже всі в розумінні міри Лебега числа (нормальні властивості зображень чисел). Вивчаються умови існування у $\overline{P}$-зображенні числа $x=\Delta_{ g_1 g_2\ldots g_n\ldots}^{\overline{P}}$ частоти цифри $i,$ яка означується рівністю $$\nu_i^{\overline{P}}(x)=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{N^{\overline{P}}_i(x,k)}{k},$$ де $N^{\overline{P}}_i(x,k)$ – кількість номерів $n$ таких, що $g_n=i$ та $n\leq k.$ Зокрема, встановлено умови, за яких частота $\nu_i^{\overline{P}}(x)$ існує й однакова для майже всіх $x\in(0;1].$ Також знайдено умови, за яких цифри у $\overline{P}$-зображенні зустрічаються скінченну (нескінченну) кількість разів для майже всіх чисел з $(0;1].$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7503 10.37863/umzh.v75i7.7503 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 7 (2023); 920 - 932 Український математичний журнал; Том 75 № 7 (2023); 920 - 932 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7503/9417 Copyright (c) 2023 Микола Мороз |
| spellingShingle | Moroz, M. Мороз, Микола Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title | Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title_alt | Нормальні властивості чисел у термінах їхнього зображення рядами Перрона |
| title_full | Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title_fullStr | Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title_full_unstemmed | Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title_short | Normal properties of numbers in the terms of their representation by the Perron series |
| title_sort | normal properties of numbers in the terms of their representation by the perron series |
| topic_facet | Ряд Перрона $P$--зображення чисел $\overline{P}$--зображення чисел ряд Енгеля ряд Люрота ряд Сильвестера нормальні властивості чисел метрична теорія чисел асимптотична частота цифри Метрична теорія чисел |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7503 |
| work_keys_str_mv | AT morozm normalpropertiesofnumbersinthetermsoftheirrepresentationbytheperronseries AT morozmikola normalpropertiesofnumbersinthetermsoftheirrepresentationbytheperronseries AT morozm normalʹnívlastivostíčiselutermínahíhnʹogozobražennârâdamiperrona AT morozmikola normalʹnívlastivostíčiselutermínahíhnʹogozobražennârâdamiperrona |