On the nilpotency of some modules over group rings
UDC 512.553 We study $RG$-modules that do not contain nonzero $G$-perfect factors. In particular, it is shown that if a group $G$ is finite and $R$ is a Dedekind domain with some additional restrictions, then these $RG$-modules are $G$-nilpotent.
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2023
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7555 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860512689104617472 |
|---|---|
| author | Kurdachenko, L. Pypka, O. Subbotin, I. Курдаченко, Леонід Пипка, Олександр Субботін, Ігор |
| author_facet | Kurdachenko, L. Pypka, O. Subbotin, I. Курдаченко, Леонід Пипка, Олександр Субботін, Ігор |
| author_sort | Kurdachenko, L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-06-19T00:34:49Z |
| description |
UDC 512.553
We study $RG$-modules that do not contain nonzero $G$-perfect factors. In particular, it is shown that if a group $G$ is finite and $R$ is a Dedekind domain with some additional restrictions, then these $RG$-modules are $G$-nilpotent. |
| doi_str_mv | 10.3842/umzh.v75i10.7555 |
| first_indexed | 2026-03-24T03:32:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.3842/umzh.v75i10.7555
УДК 512.553
Леонiд Курдаченко, Олександр Пипка1 (Днiпровський нацiональний унiверситет iменi Олеся Гончара),
Iгор Субботiн (Нацiональний унiверситет, Лос-Анджелес, США)
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ
НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ
We study RG-modules that do not contain nonzero G-perfect factors. In particular, it is shown that if a group G is finite
and R is a Dedekind domain with some additional restrictions, then these RG-modules are G-nilpotent.
Дослiджено RG-модулi, якi не мiстять ненульових G-досконалих факторiв. Зокрема, доведено, що коли група G
скiнченна, а R є дедекiндовою областю з деякими додатковими обмеженнями, то такi RG-модулi G-нiльпотентнi.
1. Вступ. Нехай G — група, R — кiльце, A — RG-модуль. Покладемо
\zeta G(A) = \{ a| a \in A та ax = a для всiх елементiв x \in G\} .
Очевидно, пiдмножина \zeta G(A) є RG-пiдмодулем модуля A, який називають G-центром моду-
ля A.
Починаючи з G-центра, можна побудувати верхнiй G-центральний ряд модуля A
\langle 0\rangle = C0 \leq C1 \leq . . . C\alpha \leq C\alpha +1 \leq . . . C\gamma ,
де C1 = \zeta G(A), C\alpha +1/C\alpha = \zeta G(A/C\alpha ) для всiх порядкових чисел \alpha i C\lambda =
\bigcup
\mu <\lambda
C\mu для всiх
граничних порядкових чисел \lambda , \zeta G(A/C\gamma ) = \langle 0\rangle . Останнiй член цього ряду називають верхнiм
G-гiперцентром модуля A.
RG-модуль A називатимемо G-гiперцентральним, якщо C\gamma = A, i G-нiльпотентним, якщо
\gamma скiнченне i C\gamma = A.
Теорiя модулiв над груповими кiльцями тiсно пов’язана з теорiєю груп. У теорiї груп модулi
над груповими кiльцями виникають таким чином.
Нехай G — група, A — нормальна абелева пiдгрупа групи G, H = G/B, де B — G-
iнварiантна пiдгрупа з CG(A). Розглянемо групове кiльце \BbbZ H групи H над кiльцем \BbbZ цiлих
чисел. Кожен елемент x \in \BbbZ H має вигляд x = k1h1 + . . . + knhn, де k1, . . . , kn — цiлi числа,
h1 = y1B, . . . , hn = ynB, y1, . . . , yn \in G. Якщо a \in A, то покладемо
ax = (ak1)y1 + . . .+ (akn)yn .
Легко переконатися, що за такого визначення A є (правим) \BbbZ H -модулем.
Нормальну абелеву пiдгрупу A групи G називають гiперцентрально зануреною в G, якщо
верхнiй гiперцентр групи G мiстить A.
Нормальну абелеву пiдгрупу A групи G називають G-нiльпотентно зануреною в G, якщо
верхнiй гiперцентр групи G, який має скiнченний порядковий номер, мiстить A.
1 Вiдповiдальний за листування, e-mail: sasha.pypka@gmail.com.
c\bigcirc ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН, 2023
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10 1387
1388 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Можна переконатися в тому, що нормальна абелева пiдгрупа A групи G гiперцентрально за-
нурена (вiдповiдно, G-нiльпотентно занурена) в G, якщо \BbbZ H -модуль A є G-гiперцентральним
(вiдповiдно, G-нiльпотентним), де H = CG(A).
Цей факт iлюструє, що застосування технiки теорiї модулiв над груповими кiльцями дає
можливiсть отримати критерiї (узагальненої) нiльпотентностi груп. Iснує багато прикладiв
ефективностi такого пiдходу (див., наприклад, монографiї [10] (розд. 13) i [13] (розд. 4, 7,
8), а також статтi [2, 4 – 6, 8]).
Нехай G — група, H,K — такi пiдгрупи групи G, що H \leq K. Тодi фактор-групу K/H
називатимемо секцiєю групи G. Якщо обидвi пiдгрупи H,K нормальнi в G, то K/H називають
фактором групи G. Нагадаємо, що групу G називають досконалою, якщо G = [G,G].
Якщо група G розв’язна, то кожна секцiя групи G не є досконалою. Групи, секцiї яких не є
досконалими, розглянуто у статтi [3]. Якщо група G нiльпотентна, то її фактори задовольняють
наступну сильнiшу умову.
Фактор K/H називатимемо G-досконалим, якщо [K/H,G] = K/H. В iншому випадку
говоритимемо, що K/H не є G-досконалим.
Якщо група G нiльпотентна, то кожен фактор групи G не є G-досконалим. I навiть бiль-
ше, очевидно, що якщо G — скiнченна група, всi фактори якої не є G-досконалими, то G
нiльпотентна.
Фактор K/H називатимемо центральним (конкретнiше, G-центральним), якщо
[K,G] \leq H.
Природно виникає протилежне питання: що можна сказати про групи, якi не мають G-
досконалих факторiв?
Одним iз важливих етапiв тут є з’ясування того, яким чином абелевi нормальнi пiдгрупи
занурюються в групу. Конкретнiше, яким чином нормальна абелева пiдгрупа A групи G G-
нiльпотентно занурюється в G? Отже, ми приходимо до такої задачi про модулi: коли \BbbZ G-
модуль A є G-нiльпотентним? Саме цiй задачi i присвячено цю статтю. Перший природний
етап — розгляд випадку, коли група G скiнченна. Ми не будемо обмежуватись випадком модулiв
над цiлочисловим груповим кiльцем \BbbZ G, а будемо розглядати випадок, коли кiльце скалярiв є
деякою дедекiндовою областю.
2. Деякi попереднi результати. Нехай A — RG-модуль. Позначимо через [A,G] RG-
пiдмодуль модуля A, породжений елементами a(g - 1), де a \in A, g \in G. Iнакше кажучи,
[A,G] = A\=\omega (RG), де \=\omega (RG) — фундаментальний iдеал групового кiльця RG.
Якщо B — RG-пiдмодуль модуля A, то покладемо
[A/B,G] = ([A,G] +B)/B.
Нехай B,C — такi RG-пiдмодулi з A, що B \leq C. Тодi C/B називатимемо G-фактором
модуля A. Фактор C/B називають G-досконалим, якщо [C/B,G] = C/B. В iншому випадку
говорять, що фактор C/B не є G-досконалим.
Фактор C/B називатимемо G-центральним, якщо [C,G] \leq B. В iншому випадку говори-
тимемо, що фактор C/B не є G-центральним.
Дуальним по вiдношенню до верхнього центрального ряду модулiв є нижнiй центральний
ряд.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1389
Покладемо \gamma 1(A) = A, \gamma 2(A) = [A,G], \gamma \alpha +1(A) = [\gamma \alpha (A), G] для всiх порядкових чисел \alpha
i \gamma \lambda (A) =
\bigcap
\mu <\lambda
\gamma \mu (A) для всiх граничних порядкових чисел \lambda . Ряд
A = \gamma 1(A) \geq \gamma 2(A) \geq . . . \gamma \alpha (A) \geq \gamma \alpha +1(A) \geq . . . \gamma \delta (A)
називають нижнiм G-центральним рядом модуля A. Члени цього ряду називають G-гiпоцент-
рами. Вони є RG-пiдмодулями модуля A, а останнiй член \gamma \delta (A) називають нижнiм G-
гiпоцентром, \gamma \delta (A) = [\gamma \delta (A), G].
Скiнченний ряд RG-пiдмодулiв
\langle 0\rangle = B0 \leq B1 \leq . . . \leq Bk - 1 \leq Bk = A
називають G-центральним рядом модуля A, якщо кожен фактор цього ряду G-центральний.
Як i для груп, RG-модуль A є G-нiльпотентним, якщо A має скiнченний G-центральний
ряд. Довжина верхнього G-центрального ряду G-нiльпотентного модуля збiгається з довжи-
ною нижнього G-центрального ряду. При цьому обидва ряди є скiнченними G-центральними
рядами найменшої довжини.
Легко показати, що кожен фактор-модуль G-гiперцентрального (вiдповiдно, G-нiльпотент-
ного) RG-модуля є G-гiперцентральним (G-нiльпотентним). Це означає, що якщо A — G-
нiльпотентний модуль, то кожен фактор модуля A не є G-досконалим. Обернене твердження
також має мiсце.
Твердження 2.1. Нехай G — група, R — кiльце, A — RG-модуль, який має скiнченний
RG-композицiйний ряд. Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є G-
нiльпотентним.
Доведення. Розглянемо RG-композицiйний ряд
\langle 0\rangle = S0 \leq S1 \leq . . . \leq Sk - 1 \leq Sk = A
модуля A. Оскiльки [Sj/Sj - 1, G] — RG-пiдмодуль Sj/Sj - 1 i [Sj/Sj - 1, G] \not = [Sj/Sj - 1, G], то
[Sj , G] \leq Sj - 1, 1 \leq j \leq k. Це означає, що наведений вище ряд G-центральний.
Нехай R — кiльце, A — модуль над кiльцем R. Анулятором пiдмножини S \subseteq R назвемо
множину
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}A(S) = \{ a \in A | ax = 0 для кожного елемента x \in S\} .
Легко показати, що якщо кiльце R комутативне, то анулятор кожної пiдмножини S кiльця R є
R-пiдмодулем модуля A.
Анулятором пiдмножини B \subseteq A в R назвемо множину
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(B) = \{ x \in R | bx = 0 для кожного елемента b \in B\} .
Легко показати, що якщо кiльце R комутативне, то анулятор кожної пiдмножини B модуля A
є iдеалом кiльця R.
Твердження 2.2. Нехай G — скiнченна p-група порядку m = ps, p — просте число, R —
кiльце, A — RG-модуль. Припустимо, що B — такий RG-пiдмодуль з A, що
\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(B)) = t = pk для деякого натурального числа k. Тодi член верхнього G-
центрального ряду модуля A, який має порядковий номер kps, мiстить B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1390 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Доведення. Нехай b — довiльний елемент з B. Тодi bR \sim =R R/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(b). Включення
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A) \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(a) показує, що pkb = 0. Це означає, що адитивна група модуля A є p-
групою. I навiть бiльше, порядок кожного елемента з A є дiльником числа pk.
Нехай B1 = \langle bg| g \in G\rangle . Оскiльки G скiнченна, то B1 також скiнченна. I навiть бiльше,
| B1| \leq (pk)m = pkm, де m = | G| . Природний напiвпрямий добуток B1 \leftthreetimes G є скiнченною p-
групою. Це означає, що група B1\leftthreetimes G нiльпотентна. З того факту, що | B1| \leq pkm, випливає, що
B1 має G-центральний ряд, довжина якого не перевищує km. Це означає, що член верхнього
G-центрального ряду модуля A, який має порядковий номер km, мiстить B1. Оскiльки це
має мiсце для кожного елемента b \in B, то член верхнього G-центрального ряду модуля A з
порядковим номером km мiстить B.
Як наслiдок, отримуємо такий вiдомий результат.
Наслiдок 2.1. Нехай G — p-група, p — просте число. Припустимо, що G мiстить таку
нiльпотентну нормальну пiдгрупу S, що G/S скiнченна. Якщо порядки елементiв з S обмеженi,
то G нiльпотентна.
Доведення. Нехай A = S/[S, S]. Тодi A можна розглядати як \BbbZ H -модуль, де H = G/S —
скiнченна p-група. Оскiльки порядки елементiв з A обмеженi, то \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (A/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\BbbZ (A)) = pk для
деякого натурального числа k. Згiдно з твердженням 2.2 A є H -нiльпотентним модулем. Це
означає, що фактор-група G/[S, S] нiльпотентна. Тодi за теоремою 7 [7] G також нiльпотентна.
Наслiдок 2.2. Нехай G — скiнченна p-група, p — просте число, R — область цiлiсностi, A
— RG-модуль. Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R) = p. Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих
факторiв, то A є G-нiльпотентним модулем.
Цей результат безпосередньо випливає з твердження 2.2.
Твердження 2.3. Нехай G — скiнченна p-група, p — просте число, R — нетерове кiльце,
A — RG-модуль. Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R) = q — таке просте число, що q \not = p. Якщо A не
мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є тривiальним модулем.
Доведення. Оскiльки кiльце R нетерове, а група G скiнченна, то групове кiльце RG також
нетерове. Нехай a — довiльний елемент модуля A. Тодi aR \sim =R R/\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(a). Зокрема, це
означає, що a має порядок q, звiдки випливає, що адитивна група модуля A є елементарною
абелевою q-групою.
Нехай C — RG-пiдмодуль, породжений елементом a. Тодi C — нетеровий RG-пiдмодуль,
який мiстить максимальний RG-пiдмодуль D. Фактор C/D є RG-головним, а оскiльки
[C/D,G] \not = C/D, то [C,G] \leq D. Зокрема, [C,G] \not = C.
Припустимо, що RG-пiдмодуль [C,G] ненульовий. Зауважимо, що цей пiдмодуль нете-
ровий, а тому вiн мiстить максимальний RG-пiдмодуль E. За допомогою аналогiчних мiр-
кувань отримуємо, що [[C,G], G] \leq E, зокрема [[C,G], G] \not = [C,G]. Фактор C/[[C,G], G]
є G-нiльпотентним. Оскiльки адитивна група фактора C/[[C,G], G] є q-групою, а G — p-
групою, то C/[[C,G], G] — тривiальний RG-модуль. Iнакше кажучи, [C,G] \leq [[C,G], G], тобто
[C,G] = [[C,G], G], що неможливо. Ця суперечнiсть показує, що [C,G] = \langle 0\rangle . Це означає, що
ag = a. Оскiльки це має мiсце для кожного елемента a \in A, то A — тривiальний RG-модуль.
Наступним природним кроком є розгляд ситуацiї, коли \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R) = 0. Ми розглядатимемо
цей випадок, коли R є деякою специфiчною дедекiндовою областю.
Нагадаємо, що кiльце R називають дедекiндовою областю, якщо R є нетеровою областю,
в якiй кожен ненульовий простий iдеал максимальний.
Для R-модуля A розглянемо перетин \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{n}R(A) усiх ненульових R-пiдмодулiв модуля A.
R-пiдмодуль \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{n}R(A) називають R-монолiтом модуля A. R-модуль A називатимемо R-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1391
монолiтичним, якщо його R-монолiт ненульовий. У цьому випадку R-монолiт модуля A є
єдиним простим R-пiдмодулем в A.
Нехай R — дедекiндова область характеристики 0, A — RG-модуль, де G — скiнченна група.
Припустимо, що A — RG-монолiтичний модуль. Позначимо через M RG-монолiт модуля A.
Оскiльки група G скiнченна, то A = D1 \oplus . . . \oplus Dk, де D1, . . . , Dk — простi R-модулi (див.,
наприклад, [11], теорема 5.5). I навiть бiльше, Dj
\sim =R R/Sj , де Sj — максимальний iдеал
з R, 1 \leq j \leq k. Очевидно, що Sj = Sm для всiх j,m. Це означає, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = S є
максимальним iдеалом кiльця R. Зауважимо також, що розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/S(M) скiнченна.
Нехай R — область цiлiсностi, A — модуль над кiльцем R. Покладемо
\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) = \{ a \in A| \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(a) \not = \langle 0\rangle \} .
Можна показати, що \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) є R-пiдмодулем модуля A. Цей пiдмодуль називають R-перiодич-
ною частиною модуля A.
R-модуль A називатимемо R-перiодичним, якщо A = \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A). R-модуль A називатимемо
вiльним вiд R-скруту, якщо \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) = \langle 0\rangle .
Визначимо R-ассасинатор модуля A за правилом
\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A) = \{ P | P — такий iдеал з R, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}A(P ) \not = \langle 0\rangle \} .
Якщо U є iдеалом з R, то покладемо
AU = \{ a \in A| aUn = \langle 0\rangle для деякого натурального n\} .
Легко показати, що AU є R-пiдмодулем модуля A.
R-пiдмодуль AU називають U -компонентою модуля A. Якщо A = AU , то A називають
U -модулем. Крiм того, нехай
\Omega U,k(A) = \{ a \in A| aUk = \langle 0\rangle для фiксованого k\} .
Легко показати, що \Omega U,k(A) є R-пiдмодулем i
\Omega U,1(A) \leq \Omega U,2(A) \leq . . . \leq \Omega U,k(A) \leq . . . , AU =
\bigcup
k\in \BbbN
\Omega U,k(A).
Якщо A — (адитивна) абелева група, p — просте число, то \Omega p\BbbZ ,k(A) — пiдгрупа \{ a \in A | | a| \leq
pk\} .
Якщо D є дедекiндовою областю, а A — D-перiодичним модулем, отримуємо канонiчний
розклад A =
\bigoplus
P\in \pi AP , де \pi = \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}D(A). I навiть бiльше, якщо B є D-пiдмодулем модуля
A, то (A/B)P = (AP +B)/B для кожного P \in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}D(A) та A/B =
\bigoplus
P\in \pi (AP +B)/B (див.,
наприклад, [12], наслiдок 3.8).
Лема 2.1. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — монолiтичний RG-
модуль, M — RG-монолiт модуля A. Припустимо також, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = P — максимальний
iдеал з R. Тодi \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) є P -модулем i розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (\Omega P,1(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A))) скiнченна.
Доведення. Як було зазначено вище, \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) =
\bigoplus
Q\in \pi AQ, де AQ — Q-компонента модуля
A, \pi = \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A). Очевидно, що AQ є RG-пiдмодулем модуля A для кожного Q \in \pi . Iз
включення M \leq AP та того факту, що модуль A є RG-монолiтичним, випливає, що \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) =
AP . Як було зазначено вище, розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (M) скiнченна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1392 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Покладемо D = \Omega P,1(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A)) i припустимо, що D має нескiнченну розмiрнiсть над полем
R/P. Маємо розклад D = M \oplus B для деякого R-пiдмодуля B. Беручи до уваги R-iзоморфiзм
D = Dg = Mg \oplus Bg = M \oplus Bg, g \in G, отримуємо, що M \sim = D/B \sim =R/P D/Bg. Зокрема,
розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (M) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (D/Bg) скiнченна для кожного елемента g \in G.
Нехай G = \{ 1 = g1, . . . , gn\} , C = Bg1 \cap . . . \cap Bgn. Тодi C є RG-пiдмодулем модуля A, а
розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (D/C) скiнченна. Зокрема, пiдмодуль C ненульовий. З вибору C випливає,
що C \cap M = \langle 0\rangle , що неможливо. Ця суперечнiсть доводить результат.
Наслiдок 2.3. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — монолiтичний
RG-модуль, M — RG-монолiт модуля A. Припустимо також, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = P — макси-
мальний iдеал з R. Тодi \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) є артиновим R-модулем.
Це випливає з леми 2.1 та наслiдку 7.12 з монографiї [12].
Нехай R — область цiлiсностi, A — R-модуль, 0 \not = x \in R. Говоритимемо, що A є x-
подiльним, якщо для кожного елемента a \in A iснує такий елемент c \in A, що cx = a. Iншими
словами, A = Ax.
Модуль A називають R-подiльним, якщо вiн x-подiльний для кожного 0 \not = x \in R.
Нехай R — дедекiндова область, A — простий R-модуль. Тодi A \sim = D/P для деякого
максимального iдеалу P. Зауважимо, що R/P k i P/P k+1 iзоморфнi як R-модулi для кожного
k \in \BbbN (див., наприклад, [12], наслiдок 1.28). Зокрема, R-модуль R/P k занурюється в R-модуль
R/P k+1, k \in \BbbN . Тому можна розглядати iн’єктивну межу CP\infty сiм’ї R-модулiв \{ R/P k| k \in \BbbN \} .
R-модуль CP\infty називають прюферовим P -модулем.
З визначення випливає, що CP\infty є P -модулем, i навiть бiльше, \Omega P,k(CP\infty ) \sim =R R/P k,
k \in \BbbN . Крiм того,
\Omega P,k+1(CP\infty )/\Omega P,k(CP\infty ) \sim = (R/P k+1)/(P/P k+1) \sim = R/P.
Отже, якщо C є власним R-пiдмодулем з CP\infty , то C = \Omega P,k(CP\infty ) для деякого натурального
числа k. Аналогiчно, якщо b \not \in \Omega P,k - 1(CP\infty ), то C = bR.
Зазначимо також, що прюферовий P -модуль монолiтичний, а його монолiт збiгається з
\Omega P,1(CP\infty ). Крiм того, прюферовий P -модуль подiльний. I навiть бiльше, кожен подiльний
P -модуль є прямою сумою прюферових P -модулiв (див., наприклад, [12], лема 5.20 i теоре-
ма 5.26).
Наслiдок 2.4. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — монолiтичний
RG-модуль, M — RG-монолiт модуля A. Припустимо також, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = P — мак-
симальний iдеал з R. Тодi \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) є прямою сумою скiнченної кiлькостi прюферових P -
пiдмодулiв та скiнченнопородженого P -пiдмодуля.
Це випливає з наслiдку 2.3 та теореми 7.13 iз монографiї [12].
Лема 2.2. Нехай G — скiнченна група, R — кiльце, A — RG-модуль. Припустимо, що X —
клас R-модулiв, замкнений щодо взяття скiнченних прямих сум та R-пiдмодулiв. Якщо D —
такий R-пiдмодуль з A, що A/D \in X, то A мiстить такий RG-пiдмодуль C, що C \leq D i
A/C \in X.
Доведення. Для кожного елемента g \in G маємо iзоморфiзм A/Dg = Ag/Dg \sim =R A/D, який
показує, що A/Dg \in X. Оскiльки група G скiнченна, то сiм’я \{ Dg| g \in G\} також скiнченна.
Нехай \{ Dg| g \in G\} = \{ D1, . . . , Dn\} . Покладемо C = D1 \cap . . .\cap Dn. Згiдно з теоремою Ремака
отримуємо занурення A/C в A/D1\oplus . . .\oplus A/Dn. Оскiльки A/Dj \in X, 1 \leq j \leq n, то A/C \in X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1393
Наслiдок 2.5. Нехай G — скiнченна група, R — кiльце, A — RG-модуль. Якщо S є таким
R-пiдмодулем модуля A, що R-модуль A/D артиновий, то A мiстить такий RG-пiдмодуль
C, що C \leq S i A/C є артиновим R-модулем.
Лема 2.3. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — монолiтичний RG-
модуль, M — RG-монолiт модуля A. Припустимо, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = P — максимальний iдеал
з R. Тодi A є R-перiодичним модулем.
Доведення. Припустимо протилежне, нехай A \not = \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A). Згiдно з наслiдком 2.4
\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) = D \oplus C, де D — подiльний R-пiдмодуль, C — скiнченнопороджений R-пiдмодуль.
З того факту, що пiдмодуль C є R-перiодичним, випливає, що анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(C) ненульо-
вий. Тодi A = \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A) \oplus B для деякого R-пiдмодуля B (див., наприклад, [12], теорема 5.13
i твердження 8.9). Беручи до уваги R-iзоморфiзм A/B \sim =R \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A), отримуємо, що A/B
— артиновий P -модуль. З наслiдку 2.5 випливає, що A мiстить такий RG-пiдмодуль E, що
E \leq B та A/E — артиновий P -модуль. Зокрема, модуль A/E R-перiодичний. Оскiльки A
не є R-перiодичним, то пiдмодуль E ненульовий. З iншого боку, включення M \leq \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}R(A)
показує, що M \cap E = \langle 0\rangle , що неможливо. Отримана суперечнiсть показує, що модуль A є
R-перiодичним.
Лема 2.4. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — монолiтичний RG-
модуль, M — RG-монолiт модуля A. Припустимо, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(M) = P — максимальний iдеал
з R. Тодi A є або скiнченнопородженим R-модулем, або артиновим R-подiльним модулем.
Доведення. Згiдно з лемою 2.3 модуль A є R-перiодичним. I навiть бiльше, за лемою 2.1 i
наслiдком 2.3 A — артиновий P -модуль.
Нехай y \in P\setminus P 2, a — довiльний елемент з M. Припустимо, що iснує таке натуральне число
n, що рiвняння xyn = a має розв’язок в A, а рiвняння xyn+1 = a не має розв’язку. Якщо b
— довiльний ненульовий елемент з A, то RG-пiдмодуль bRG має ненульовий перетин з M, i
навiть бiльше, bRG мiстить M. Це означає, що iснує такий елемент u \in RG, що bu = a \not = 0.
Припустимо, що iснує такий елемент c, що cyn+1 = b. Тодi a = bu = (cyn+1)u = (cu)yn+1,
що неможливо.
Як було зазначено ранiше, A =
\bigcup
k\in \BbbN
\Omega P,k(A). Припустимо, що \Omega P,n+2(A) \not = \Omega P,n+1(A).
Це означає, що \Omega P,n+2(A)Pn+1 \not = \langle 0\rangle . Тодi AP k = Ayk для всiх натуральних чисел k (див.,
наприклад, [12], твердження 6.2). Таким чином, iснує такий елемент d \in A, що dyn+1 = e \not = 0.
Але в цьому випадку рiвняння xyn+1 = e має розв’язок, що неможливо. Ця суперечнiсть
показує, що \Omega P,n+2(A) = \Omega P,n+1(A) i тому A = \Omega P,n+1(A). З леми 2.3 i наслiдку 2.4 випливає,
що модуль A скiнченнопороджений як R-модуль.
Припустимо тепер, що для кожного елемента a з M рiвняння xyn = a має розв’язок в
A для всiх натуральних чисел n. Якщо b — довiльний ненульовий елемент з M, то iснує
такий елемент u \in RG, що bu = a \not = 0. Нехай c — такий елемент з A, що cyn = a. Тодi
(cu)yn = (cyn)u = au = b. Це означає, що A = Ayn для кожного натурального числа n.
Оскiльки A є P -модулем, це означає, що модуль A є R-подiльним (див., наприклад, [12],
твердження 6.1).
3. Модулi з перiодично необмеженими кiльцями скалярiв. Нехай R — дедекiндова
область характеристики 0. Говоритимемо, що R перiодично необмежена, якщо для кожного
максимального iдеалу S поле R/S має просту характеристику, а порядки елементiв адитивної
групи фактор-кiльця R/Sn не обмеженi для всiх n \in \BbbN .
Нехай p = \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/S). Iзоморфiзм R/Sk \sim =R S/Sk+1 (див., наприклад, [12], наслiдок 1.28)
показує, що адитивна група фактор-кiльця S/S2 є елементарною абелевою. Це означає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1394 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
порядок кожного елемента з R/S2 не бiльший за p2. Використовуючи аналогiчнi мiркування
та iндукцiю, можна показати, що порядок кожного елемента з R/Sk не бiльший за pk, k \in \BbbN .
Якщо A є R-модулем, то це означає, що порядок кожного елемента з \Omega S,k(A) не бiльший за
pk, k \in \BbbN . З iншого боку, припустимо, що A \not = \Omega S,k(A) для кожного k \in \BbbN . У цьому випадку
\Omega S,k(A) мiстить такий елемент a, що a \not \in \Omega S,k - 1(A). Тодi aR \sim =R R/Sn. Це означає, що
порядки елементiв адитивної групи модуля A не обмеженi.
Нехай G — група, R — кiльце, A — RG-модуль. A називатимемо RG-квазiскiнченним,
якщо A не має скiнченної композицiйної довжини, але кожен власний RG-пiдмодуль з A має
скiнченну композицiйну довжину. Очевидно, що кожен RG-квазiскiнченний модуль артиновий.
I навiть бiльше, або A мiстить такий власний RG-пiдмодуль C, що A/C є простим RG-
модулем, або A є об’єднанням своїх власних пiдмодулiв.
Навпаки, якщо A — артиновий RG-модуль, то розглянемо сiм’ю
\frakM = \{ B| B - RG-пiдмодуль з A,
який має нескiнченний зростаючий RG-ряд, фактори якого простi\} .
Оскiльки модуль A артиновий, впорядкована за включенням сiм’я \frakM має мiнiмальний елемент
C. Очевидно, що C — квазiскiнченний RG-пiдмодуль.
Лема 3.1. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова область,
A — квазiскiнченний RG-модуль. Якщо A \not = [A,G], то A є тривiальним RG-модулем.
Доведення. Як було зазначено вище, A є артиновим RG-модулем. Оскiльки група G скiн-
ченна, модуль A артиновий як R-модуль (див., наприклад, [11], теорема 5.2). Тодi A є R-
перiодичним (див., наприклад, [12], теорема 7.13). Маємо розклад A =
\bigoplus
Q\in \pi AQ, де AQ —
Q-компонента модуля A, \pi = \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A). З того факту, що модуль A артиновий, випливає,
що множина \pi скiнченна. Якщо припустити, що AQ є власним пiдмодулем модуля A, то A
має RG-композицiйний ряд. Отже, A = AP . Iнакше кажучи, A є P -модулем для деякого
максимального iдеалу P. Маємо розклад
A = D \oplus B,
де D — подiльний пiдмодуль, D — пряма сума скiнченної кiлькостi прюферових P -модулiв,
а B — скiнченнопороджений пiдмодуль. Оскiльки D є подiльною частиною модуля A, то D
— RG-модуль. Очевидно, що D не має скiнченного RG-композицiйного ряду. Це означає, що
D = A.
Нехай C = [A,G]. Оскiльки C є власним RG-пiдмодулем, то вiн має скiнченний RG-
композицiйний ряд. Зокрема, C \leq \Omega P,n(A) для деякого натурального числа n. Як зазначено
вище, порядки елементiв адитивної групи пiдмодуля C обмеженi. Для кожного елемента g \in G
вiдображення \phi : A \rightarrow C, визначене за правилом \phi (a) = a(g - 1), a \in A, є R-ендоморфiзмом.
Тодi \mathrm{I}\mathrm{m} (\phi ) = A(g - 1) \sim =R A/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (\phi ) = CA(g). Якщо припустити, що \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (\phi ) є ненульовим
R-пiдмодулем, то A/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (\phi ) — ненульовий подiльний R-модуль. Як зазначено вище, у цьому
випадку порядки елементiв адитивної групи модуля A/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (\phi ) не є обмеженими. З iншого
боку, порядки елементiв адитивної групи пiдмодуля C обмеженi, що неможливо. Отримана
суперечнiсть показує, що CA(g) = A. Це має мiсце для всiх g \in G, A = CA(G).
Лема 3.2. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова область, A
— артиновий R-подiльний RG-модуль. Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв,
то A є тривiальним RG-модулем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1395
Доведення. Маємо розклад A = B1 \oplus . . . \oplus Bk, де Bj — прюферовий P -модуль [12]
(теорема 7.13), а число k = aR(A) є iнварiантом модуля A. Як зазначено ранiше, оскiльки
модуль A артиновий, то A мiстить квазiскiнченний RG-пiдмодуль C. Легко показати, що C
є R-подiльним пiдмодулем. Якщо C = A, то результат випливає з леми 3.1. Припустимо,
що A \not = C. Маємо розклад A = C \oplus D для деякого ненульового R-пiдмодуля D (див.,
наприклад, [11], теорема 5.13). Зокрема, aR(D) < aR(A). Це означає, що aR(A/C) < aR(A).
Використовуючи цей факт та iндукцiю, отримуємо, що A має скiнченний ряд
C = C1 \leq C2 \leq . . . \leq Cn = A
таких RG-пiдмодулiв, що Cj+1/Cj є RG-квазiскiнченними, 1 \leq j \leq n. Згiдно з лемою 3.1
фактор C2/C1 тривiальний. Iншими словами, [C2, G] \leq C1. Розглянемо для кожного елемента
g \in G вiдображення \phi : C2 \rightarrow C1, визначене за правилом \phi (a) = a(g - 1), a \in C2. Воно
є R-ендоморфiзмом, i тому \mathrm{I}\mathrm{m} (\phi ) = C2(g - 1) \sim =R C2/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} (\phi ) = CC2(g). Маємо рiвнiсть
ag = a+ cg, де cg = a(g - 1). Тодi
ag2 = (ag)g = (a+ cg)g = ag + cgg = a+ cg + cg = a+ 2cg.
Скориставшись iндукцiєю, переконаємося, що agn = a + ncg, n \in \BbbN . Нехай s = | G| . Тодi
gs = 1 i a = ags = a + scg. Це означає, що 0 = scg = sa(g - 1). Iнакше кажучи, порядки
елементiв адитивної групи модуля C2(g - 1) обмеженi. Використовуючи мiркування з доведення
леми 3.1, отримуємо, що C2(g - 1) = \langle 0\rangle . Оскiльки це має мiсце для кожного елемента g \in G,
то [C2, G] = \langle 0\rangle . Провiвши аналогiчнi мiркування, пiсля скiнченної кiлькостi крокiв отримаємо,
що [A,G] = \langle 0\rangle .
Лема 3.3. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова область,
A — RG-модуль, який є P -модулем для деякого максимального iдеалу P. Припустимо, що A
мiстить такий R-модуль B, що A/B — подiльний артиновий модуль. Якщо A не мiстить
ненульових G-досконалих факторiв, то A/[G,A] \not = \Omega P,k(A/[G,A]) для кожного k \in \BbbN .
Доведення. Покладемо C =
\bigcap
g\in G
Bg. Згiдно з наслiдком 2.5 C є RG-пiдмодулем, а
A/C — артиновим R-модулем. Тодi A/C є прямою сумою скiнченної кiлькостi прюферових
P -модулiв та скiнченнопородженого пiдмодуля D/C (див., наприклад, [12], теорема 7.13).
Оскiльки пiдмодуль D/C скiнченнопороджений i R-перiодичний, то D/C = \Omega P,k(D/C)
для деякого натурального числа k. З цього факту випливає, що A мiстить таку G-iнварiантну
пiдгрупу E, що E/C = \Omega P,k(A/C) — RG-пiдмодуль, який є скiнченнопородженим R-пiдмо-
дулем. Це означає, що (A/C)/(E/C) \sim = A/E є ненульовим артиновим подiльним модулем.
Згiдно з лемою 3.2 A/E — тривiальний RG-модуль, тобто [G,A] \leq E. Оскiльки модуль A/E
R-подiльний, то A/E \not = \Omega P,k(A/E) для всiх k \in \BbbN . Це означає, що A/[G,A] \not = \Omega P,k(A/[G,A])
для всiх k \in \BbbN .
Нехай R — дедекiндова область, A — R-модуль, x \in R. Пiдмодуль B з A називають
x-сервантним, якщо Bx = B \cap Ax.
Якщо L — iдеал з R, а B — x-сервантний пiдмодуль з A для кожного x \in L, то B
називатимемо L-сервантним пiдмодулем. Пiдмодуль B називають сервантним, якщо вiн є
R-сервантним.
Наслiдок 3.1. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова область,
A — RG-модуль, який є P -модулем для деякого максимального iдеалу P. Припустимо, що
A \not = \Omega P,k(A) для кожного k \in \BbbN . Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то
A/[G,A] \not = \Omega P,k(A/[G,A]) для кожного k \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1396 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Доведення. Припустимо спочатку, що A розкладається у пряму суму циклiчних пiдмодулiв.
Використавши той факт, що A \not = \Omega P,k(A) для кожного k \in \BbbN , можна показати, що A мiстить
такий R-пiдмодуль C, що
A/C =
\bigoplus
n\in \BbbN
dnR,
де \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(dn) = Pn, n \in \BbbN . Нехай y \in P\setminus P 2. Розглянемо R-пiдмодуль B/C з A/C, породже-
ний елементами dn - dny, n \in \BbbN . Справджуються рiвностi
(d1 +B)y = d1y +B,
(d2 +B)y = d2y +B = d2y + d1 - d2y +B = d1 +B
i
(dn+1 +B)y = dn+1y +B = dn+1y + dn - dn+1y +B = dn +B, n \in \BbbN .
Цi рiвностi показують, що A/B є прюферовим P -модулем.
Припустимо тепер, що A не має розкладу у пряму суму циклiчних пiдмодулiв. Тодi A
мiстить R-пiдмодуль D, який задовольняє такi умови: D — пряма сума циклiчних пiдмодулiв,
D — сервантний пiдмодуль модуля A, A/D — R-подiльний модуль (див., наприклад, [12],
роздiл 9). Оскiльки A/D є подiльним P -модулем, то A/D — пряма сума прюферових P -
пiдмодулiв (див., наприклад, [12], теорема 5.26). Тодi A/D має такий пiдмодуль B/D, що
A/B є прюферовим P -модулем. Тепер можемо застосувати лему 3.3.
Твердження 3.1. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова
область, A — RG-модуль, який є P -модулем для деякого максимального iдеалу P. Припустимо,
що A \not = \Omega P,k(A) для кожного k \in \BbbN . Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв,
то анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R([G,A]) ненульовий.
Доведення. Припустимо протилежне. Нехай \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R([G,A]) = \langle 0\rangle . Це означає, що
\Omega P,k([G,A]) \not = [G,A] для кожного k \in \BbbN . Використовуючи аргументи з доведення наслiдку 3.1,
отримуємо, що [G,A] мiстить такий R-пiдмодуль B, що [G,A]/B є прюферовим P -модулем.
Виберемо такий елемент a \in [G,A], що a \not \in B i (aR + B)/B = \Omega P,1([G,A]/B). З того факту,
що [G,A]/B є R-подiльним модулем, випливає, що A/B мiстить такий R-пiдмодуль C/B,
що A/B = ([G,A]/B) \oplus (C/B) (див., наприклад, [12], теорема 5.13 i твердження 8.9). Тодi
A/C \sim =R (A/B)/(C/B) \sim =R [G,A]/B є прюферовим P -модулем i C \cap [G,A] = B. Згiдно з
наслiдком 2.5 C мiстить такий RG-пiдмодуль E, що A/E — артиновий R-модуль. Згiдно з
таким вибором a \not \in E. Нехай D — такий RG-пiдмодуль з A, що E \leq D й a \not \in D. Тодi A/D є
RG-монолiтичним RG-пiдмодулем. Згiдно з таким вибором A/D не є скiнченнопородженим
як R-модуль. Тодi за лемою 2.4 A/D є подiльним артиновим R-модулем. З леми 3.2 випливає,
що [G,A] \leq D. З iншого боку, a \not \in D та a \in [G,A], що неможливо. Отримана суперечнiсть
показує, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R([G,A]) \not = \langle 0\rangle .
Наслiдок 3.2. Нехай G — скiнченна p-група, R — перiодично необмежена дедекiндова
область, A — такий RG-модуль, який є P -модулем для деякого максимального iдеалу P,
що p = \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/P ). Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є G-
нiльпотентним модулем.
Доведення. Якщо A = \Omega P,k(A) для деякого натурального k, то P k \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A). Як за-
значено вище, порядок кожного елемента з R/P k не перевищує pk. Згiдно з твердженням 2.2
A збiгається з членом верхнього G-центрального ряду модуля A, який має скiнченний номер.
Iнакше кажучи, A є G-нiльпотентним модулем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1397
Припустимо тепер, що A \not = \Omega P,k(A) для кожного натурального k. Тодi з твердження 3.1
випливає, що анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R([G,A]) ненульовий. З того факту, що A є P -модулем, випливає,
що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R([G,A]) = P s для деякого натурального s. Знову використовуючи твердження 2.2,
переконуємося, що член верхнього G-центрального ряду модуля A, який має скiнченний номер,
мiстить [G,A]. Це означає, що A є G-нiльпотентним модулем.
Лема 3.4. Нехай G — скiнченна p-група, R — дедекiндова область, A — RG-модуль, який
є Q-модулем для деякого максимального iдеалу Q. Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/Q) = q \not = p. Якщо
A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є тривiальним RG-модулем.
Доведення. Справджується рiвнiсть
A =
\bigcup
k\in \BbbN
\Omega Q,k(A).
З рiвностi \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(\Omega Q,k+1(A)/\Omega Q,k(A)) = Q та твердження 2.3 випливає, що кожен фактор
\Omega Q,k+1(A)/\Omega Q,k(A) є G-центральним. Нехай a \in \Omega Q,2(A), g \in G. Тодi a(g - 1) = a1 \in \Omega Q,1(A)
i ag = a+ a1. Окрiм того,
ag2 = (ag)g = (a+ a1)g = ag + a1g = a+ a1 + a1 = a+ 2a1,
i аналогiчно agn = a + na1 для всiх n \in \BbbN . Якщо | G| = ps, то отримуємо, що psa1 =
0. З iншого боку, порядок кожного елемента з \Omega Q,k(A) дiлить qk. Це означає, що a1 = 0.
Отже, G-центр модуля A мiстить \Omega Q,2(A). Використовуючи аналогiчнi мiркування та iндукцiю,
переконуємося, що A є тривiальним модулем.
Лема 3.5. Нехай G — скiнченна p-група, R — перiодично необмежена дедекiндова область,
A — RG-модуль, який є перiодичним як R-модуль. Припустимо, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/P ) = p для
кожного P \in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A). Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є
G-нiльпотентним модулем.
Доведення. Нехай P \in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A) = \pi . З того факту, що \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/P ) = p, випливає, що ади-
тивна група поля R/P є елементарною абелевою p-групою. Це означає, що P = p(a + P ) =
pa+P, а отже, pa \in P для кожного елемента a \in R. Iнакше кажучи, pR \leq P. Таке включення
має мiсце для кожного iдеалу P \in \pi , тому pR \leq
\bigcap
P\in \pi
P = L. Кожен iдеал P \in \pi анулює P -
компоненту модуля A, а тому їх перетин анулює весь модуль A. Отже, L \leq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A). Оскiльки
\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R) = 0, то pR \not = \langle 0\rangle . З доведеного вище випливає, що iдеал L ненульовий, а отже, й
анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A) також ненульовий. Оскiльки R є дедекiндовою областю, то \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}R(A) є
добутком скiнченної кiлькостi максимальних iдеалiв. Це означає, що множина \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A) скiн-
ченна. Отже, модуль A розкладається у пряму суму скiнченної множини своїх P -компонент.
З наслiдку 3.2 випливає, що кожна P -компонента модуля A є G-нiльпотентною. З того факту,
що множина \pi скiнченна, випливає, що A також є G-нiльпотентним модулем.
Наслiдок 3.3. Нехай G — скiнченна p-група, R — перiодично необмежена дедекiндова
область, A — RG-модуль, який є перiодичним як R-модуль. Якщо A не мiстить ненульових
G-досконалих факторiв, то A є G-нiльпотентним модулем.
Доведення. Маємо розклад A =
\bigoplus
P\in \pi AP , де \pi = \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A). Нехай
\sigma = \{ P | P \in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A) i \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/P ) = p\} ,
\tau = \pi \setminus \sigma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1398 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Для модуля A маємо розклад A = B \oplus C, де B =
\bigoplus
P\in \sigma AP , C =
\bigoplus
P\in \tau AP . Як було видно
ранiше, множина \sigma скiнченна. Згiдно з лемою 3.5 RG-пiдмодуль B є G-нiльпотентним. З
леми 3.4 випливає, що кожна Q-компонента AQ є тривiальною для всiх Q \in \tau . Це означає, що
G-центр модуля A мiстить C. Отже, A є G-нiльпотентним модулем.
Наслiдок 3.4. Нехай G — скiнченна нiльпотентна група, R — перiодично необмежена
дедекiндова область, A — RG-модуль, який є перiодичним як R-модуль. Якщо A не мiстить
ненульових G-досконалих факторiв, то A є G-нiльпотентним модулем.
Доведення. Маємо розклад
G = Drp\in \Pi (G)Sp,
де Sp — силовська p-пiдгрупа групи G, p \in \Pi (G). Застосуємо iндукцiю за порядком | \Pi (G)| .
Якщо \Pi (G) = p, то результат випливає з наслiдку 3.3. Припустимо тепер, що | \Pi (G)| > 1.
Нехай p \in \Pi (G). Покладемо
\theta = \Pi (G)\setminus p, \sigma = \{ P | P \in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}R(A) i \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/P ) = p\} , \tau = \pi \setminus \sigma .
Маємо розклад A = B \oplus C, де B =
\bigoplus
P\in \sigma AP , C =
\bigoplus
Q\in \tau AQ. Зауважимо, що адитивна
група пiдмодуля AQ є q-групою, де q = \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r} (R/Q), Q \in \theta . Це означає, що адитивна група
пiдмодуля C є p\prime -групою. Маємо рiвнiсть C = CC(Sp) \times [Sp, C] (див., наприклад, [1], твер-
дження 2.12). I навiть бiльше, [Sp, [Sp, C]] = [Sp, C]. Очевидно, що [Sp, C] є RG-пiдмодулем.
Якщо припустити, що пiдмодуль [Sp, C] ненульовий, то з рiвностi [Sp, [Sp, C]] = [Sp, C] ви-
пливає [Sp, C] = [G, [Sp, C]], що неможливо. Ця суперечнiсть доводить, що [Sp, C] = \langle 0\rangle або
CC(Sp) = C. Отже, можемо розглядати C як R(G/Sp)-модуль. Згiдно з iндуктивним припу-
щенням деякий G-гiперцентр модуля A, який має скiнченний номер, мiстить C.
Покладемо H = Drq\in \theta Sq. Використовуючи аналогiчнi мiркування, отримуємо CB(H) = B.
Отже, можемо розглядати B як R(G/H)-модуль. Згiдно з лемою 3.5 деякий G-гiперцентр
модуля A, який має скiнченний номер, мiстить B. Обидва цi факти вказують на те, що A є
G-нiльпотентним модулем.
Лема 3.6. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, A — RG-модуль, який є
перiодичним як R-модуль. Якщо A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то фактор-
група G/CG(A) нiльпотентна.
Доведення. Нехай L — нiльпотентний резидуал групи G. Виберемо довiльний скiнченнопо-
роджений R-пiдмодуль K з A. Нехай S — RG-пiдмодуль модуля A, породжений K. Оскiльки
група G скiнченна, то S є скiнченнопородженим як R-модуль. Зауважимо, що кожен скiн-
ченнопороджений R-перiодичний модуль має скiнченний R-головний ряд (див., наприклад,
[12], теорема 7.8). Тодi S має скiнченний RG-композицiйний ряд. З твердження 2.1 випливає,
що S є G-нiльпотентним модулем. Це означає, що фактор-група G/CG(S) нiльпотентна [9], i
тому L \leq CG(S). Оскiльки це має мiсце для кожного скiнченнопородженого RG-пiдмодуля,
то L \leq CG(A), а фактор-група G/CG(A) нiльпотентна.
Твердження 3.2. Нехай G — група, R — дедекiндова область, A — RG-модуль, який є
вiльним вiд R-скруту. Тодi кожен член верхнього G-центрального ряду модуля A є сервантним
RG-пiдмодулем.
Доведення. Розглянемо верхнiй G-центральний ряд
\langle 0\rangle = C0 \leq C1 \leq . . . C\alpha \leq C\alpha +1 \leq . . . C\gamma
модуля A, i нехай a — такий елемент з A, що ax \in C1 для деякого елемента x \in R. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1399
0 = ax(g - 1) = axg - ax = agx - ax = (ag - a)x.
Оскiльки модуль A вiльний вiд R-скруту, то ag - a = 0, i тому a(g - 1) = 0. Це означає,
що a \in C1. Використовуючи трансфiнiтну iндукцiю, переконуємося, що кожен пiдмодуль C\alpha
є сервантним.
Твердження 3.3. Нехай G — група, R — дедекiндова область, A — RG-модуль, який
є вiльним вiд R-скруту. Припустимо, що модуль A G-гiперцентральний. Якщо B — RG-
пiдмодуль модуля A, який має скiнченний R-ранг n, то член верхнього G-центрального ряду
модуля A з номером n мiстить B.
Доведення. Скористаємось iндукцiєю за R-рангом пiдмодуля B. Розглянемо верхнiй G-
центральний ряд
\langle 0\rangle = C0 \leq C1 \leq . . . C\alpha \leq C\alpha +1 \leq . . . C\gamma = A
модуля A. З того факту, що A є G-гiперцентральним модулем, випливає, що B1 = B\cap C1 \not = \langle 0\rangle .
Якщо B1 = B, то все доведено. Припустимо, що B1 \not = B. Згiдно з твердженням 3.2 фактор-
модуль A/C1 є вiльним вiд R-скруту. Його RG-пiдмодуль
(B + C1/C1) \sim =R (B/(B \cap C1) = B/B1
має R-ранг, який менший за R-ранг пiдмодуля B. Згiдно з iндуктивним припущенням отри-
муємо, що гiперцентр фактор-модуля A/C1, який має номер n - 1, мiстить (B +C1/C1). Тодi
гiперцентр модуля A з номером n мiстить B.
Лема 3.7. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, яка має нескiнченну
множину простих iдеалiв, A — RG-модуль, який є вiльним вiд скруту як R-модуль. Якщо
A не мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є G-гiперцентральним модулем, а
фактор-група G/CG(A) нiльпотентна.
Доведення. Нехай L — нiльпотентний резидуал групи G. Виберемо довiльний скiнченно-
породжений R-пiдмодуль K з A, i нехай S — RG-пiдмодуль з A, породжений K. Оскiльки
група G скiнченна, то S є скiнченнопородженим як R-модуль. Тодi
S = D1 \oplus . . .\oplus Dn - 1 \oplus Dn,
де Dj
\sim =R R, 1 \leq j \leq n - 1, Dn iзоморфний деякому iдеалу з R (див., наприклад, [12], тео-
рема 7.8). Нехай P — довiльний максимальний iдеал з R. Розглядатимемо S/SP як векторний
простiр над полем R/P. Цей векторний простiр має розмiрнiсть n. Тодi S/SP має скiнченний
G-композицiйний ряд. З твердження 2.1 випливає, що S/SP є G-нiльпотентним. З того факту,
що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R/P (S/SP ) = n, випливає, що S/SP має скiнченний G-центральний ряд, довжина
якого не перевищує n. Це означає, що [G,n S] \leq SP.
Нехай
\sigma = \{ P | P — максимальний iдеал з R\} .
Оскiльки множина \sigma нескiнченна, то
\bigcap
P\in \sigma
P = \langle 0\rangle . Ця рiвнiсть разом з рiвнiстю SP =
D1P \oplus . . . \oplus Dn - 1P \oplus DnP показують, що
\bigcap
P\in \sigma
SP = \langle 0\rangle . Таким чином, отримуємо, що
[G,n S] \leq
\bigcap
P\in \sigma SP = \langle 0\rangle , i тому G-гiперцентр з номером n мiстить S. Зокрема, S є G-
нiльпотентним модулем. Крiм того, це означає, що фактор-група G/CG(S) нiльпотентна [9], i
тому L \leq CG(S). Оскiльки це має мiсце для кожного скiнченнопородженого RG-пiдмодуля, то
A є G-гiперцентральним модулем, L \leq CG(A), зокрема фактор-група G/CG(A) нiльпотентна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
1400 ЛЕОНIД КУРДАЧЕНКО, ОЛЕКСАНДР ПИПКА, IГОР СУББОТIН
Теорема 3.1. Нехай G — скiнченна група, R — дедекiндова область, яка має нескiнченну
множину простих iдеалiв, A — RG-модуль, який вiльний вiд скруту як R-модуль. Якщо A не
мiстить ненульових G-досконалих факторiв, то A є G-нiльпотентним модулем, а фактор-
група G/CG(A) нiльпотентна.
Доведення. Згiдно з лемою 3.7 A є G-гiперцентральним модулем. Нехай a — довiльний
елемент з A, | G| = k. Тодi RG-пiдмодуль S, породжений aR, має не бiльше нiж k породжу-
ючих. Оскiльки група G скiнченна, то S — скiнченнопороджений R-модуль k елементами. Це
означає, що S має R-ранг n, який не бiльший нiж k. Тодi
S = D1 \oplus . . .\oplus Dn - 1 \oplus Dn,
де Dj
\sim =R R, 1 \leq j \leq n - 1, Dn iзоморфний деякому iдеалу з R (див., наприклад, [12],
теорема 7.8). Згiдно з твердженням 3.3 G-гiперцентр модуля A з номером n мiстить S. Оскiльки
a — довiльний елемент з A, то A збiгається з G-гiперцентром, який має номер n. Зокрема, A
є G-нiльпотентним модулем. Це означає, що фактор-група G/CG(A) нiльпотентна [9].
Теорема 3.2. Нехай G — скiнченна група, R — перiодично необмежена дедекiндова область,
яка має нескiнченну множину простих iдеалiв, A — RG-модуль. Якщо A не мiстить ненульо-
вих G-досконалих факторiв, то A є G-нiльпотентним модулем, а фактор-група G/CG(A)
нiльпотентна.
Доведення. Нехай T — R-перiодична частина модуля A. Тодi очевидно, що T є таким
RG-пiдмодулем з A, що A/T вiльний вiд R-скруту. Згiдно з теоремою 3.1 фактор-модуль A/T
G-нiльпотентний.
Нехай M — максимальна R-незалежна пiдмножина з A i B — R-пiдмодуль модуля A,
породжений M. Тодi B вiльний вiд скруту й A/B є R-перiодичним. Згiдно з лемою 2.2 B
мiстить такий RG-пiдмодуль C, що A/C є R-перiодичним. Iз включення C \leq B випливає, що
C є вiльним вiд R-скруту. Зокрема, C \cap T = \langle 0\rangle . Застосовуючи теорему Ремака, отримуємо,
що A занурюється в A/C \times A/T. З наслiдку 3.4 i леми 3.6 видно, що A/C є G-нiльпотентним
модулем. Таким чином, модуль A G-нiльпотентний. Це означає, що фактор-група G/CG(A)
нiльпотентна [9].
Теорема 3.3. Нехай G — група. Припустимо, що G мiстить таку нiльпотентну нормальну
пiдгрупу S, що G/S скiнченна. Якщо G не мiстить нетривiальних G-досконалих факторiв,
то G нiльпотентна.
Доведення. Оскiльки G/S є скiнченною групою без нетривiальних досконалих факторiв,
то G/S нiльпотентна. Нехай
A = S/[S, S].
Можемо розглядати A як \BbbZ H -модуль, де H = G/S — скiнченна нiльпотентна група. Очевидно,
що кiльце цiлих чисел є перiодично необмеженою дедекiндовою областю, яка має нескiнчен-
ну множину простих iдеалiв. Тодi згiдно з теоремою 3.2 \BbbZ H -модуль A є H -нiльпотентним.
Це означає, що фактор-група G/[S, S] нiльпотентна. Застосовуючи теорему 7 з роботи [7],
отримуємо, що G також нiльпотентна.
Леонiд Курдаченко вдячний за пiдтримку, надану Iнститутом математики Iсаака Ньютона та
Единбурзьким унiверситетом у рамках програми LMS Solidarity Supplementary Grant Program.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
ПРО НIЛЬПОТЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ МОДУЛIВ НАД ГРУПОВИМИ КIЛЬЦЯМИ 1401
Вiд iменi всiх авторiв вiдповiдальний за листування заявляє про вiдсутнiсть конфлiкту
iнтересiв.
Лiтература
1. A. Ballester-Bolinches, L. A. Kurdachenko, J. Otal, T. Pedraza, Infinite groups with many permutable subgroups,
Rev. Mat. Iberoam., 24, № 3, 745 – 764 (2008).
2. J. C. Beidleman, D. J. S. Robinson, On the structure of the normal subgroups of a group: nilpotency, Forum Math.,
3, 581 – 593 (1991); DOI:10.1515/ form.1991.3.581.
3. C. J. B. Brookes, Groups with every subgroup subnormal, Bull. Lond. Math. Soc., 15, № 3, 235 – 238 (1983);
DOI:10.1112/blms/15.3.235.
4. C. J. B. Brookes, Abelian subgroups and Engel elements of soluble groups, J. Lond. Math. Soc. (2), 32, № 3, 467 – 476
(1985); DOI:10.1112/jlms/s2-32.3.467.
5. C. J. B. Brookes, Engel elements of soluble groups, Bull. Lond. Math. Soc., 18, № 1, 7 – 10 (1986);
DOI:10.1112/blms/18.1.7.
6. K. W. Gruenberg, The upper central series in soluble groups, Illinois J. Math., 5, № 3, 436 – 466 (1961);
DOI:10.1215/ijm/1255630890.
7. P. Hall, Some sufficient conditions for a group to be nilpotent, Illinois J. Math., 2, № 4B, 787 – 801 (1958);
DOI:10.1215/ijm/1255448649.
8. P. Hall, The Frattini subgroup of finitely generated groups, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 11, № 1, 327 – 352 (1961);
DOI:10.1112/plms/s3-11.1.327.
9. L. A. Kaloujnine, Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen, Bericht Math.
Tagung Berlin, 4, 164 – 172 (1953).
10. L. A. Kurdachenko, J. Otal, I. Ya. Subbotin, Groups with prescribed quotient groups and associated module theory,
World Sci., New Jersey (2002).
11. L. A. Kurdachenko, J. Otal, I. Ya. Subbotin, Artinian modules over group rings, Front. Math., Birkhäuser, Basel
(2007).
12. L. A. Kurdachenko, N. N. Semko, I. Ya. Subbotin, Insight into modules over Dedekind domains, Institute of
Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv (2008).
13. J. C. Lennox, D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Clarendon Press, Oxford (2004).
Одержано 08.04.23
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2023, т. 75, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-7555 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T03:32:46Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/820dc578fc847e02ccebd4fa18fded39.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-75552024-06-19T00:34:49Z On the nilpotency of some modules over group rings Про нільпотентність деяких модулів над груповими кільцями Kurdachenko, L. Pypka, O. Subbotin, I. Курдаченко, Леонід Пипка, Олександр Субботін, Ігор RG-module G-perfect factor periodically unlimited Dedekind domain G-nilpotency RG-модуль G-досконалий фактор періодично необмежена дедекіндова область G-нільпотентність UDC 512.553 We study $RG$-modules that do not contain nonzero $G$-perfect factors.&nbsp;In particular, it is shown that if a group $G$ is finite and $R$ is a Dedekind domain with some additional restrictions, then these $RG$-modules are $G$-nilpotent. УДК 512.553 Досліджено $RG$-модулі, які не містять ненульових $G$-досконалих факторів. Зокрема, доведено, що коли група $G$ скінченна, а $R$ є дедекіндовою областю з деякими додатковими обмеженнями, то такі $RG$-модулі $G$-нільпотентні. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2023-10-24 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7555 10.3842/umzh.v75i10.7555 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 75 No. 10 (2023); 1387 - 1401 Український математичний журнал; Том 75 № 10 (2023); 1387 - 1401 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7555/9531 Copyright (c) 2023 Oleksandr Pypka |
| spellingShingle | Kurdachenko, L. Pypka, O. Subbotin, I. Курдаченко, Леонід Пипка, Олександр Субботін, Ігор On the nilpotency of some modules over group rings |
| title | On the nilpotency of some modules over group rings |
| title_alt | Про нільпотентність деяких модулів над груповими кільцями |
| title_full | On the nilpotency of some modules over group rings |
| title_fullStr | On the nilpotency of some modules over group rings |
| title_full_unstemmed | On the nilpotency of some modules over group rings |
| title_short | On the nilpotency of some modules over group rings |
| title_sort | on the nilpotency of some modules over group rings |
| topic_facet | RG-module G-perfect factor periodically unlimited Dedekind domain G-nilpotency RG-модуль G-досконалий фактор періодично необмежена дедекіндова область G-нільпотентність |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/7555 |
| work_keys_str_mv | AT kurdachenkol onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT pypkao onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT subbotini onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT kurdačenkoleoníd onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT pipkaoleksandr onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT subbotínígor onthenilpotencyofsomemodulesovergrouprings AT kurdachenkol pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi AT pypkao pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi AT subbotini pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi AT kurdačenkoleoníd pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi AT pipkaoleksandr pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi AT subbotínígor pronílʹpotentnístʹdeâkihmodulívnadgrupovimikílʹcâmi |