METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS
Hydrocarbon deficit, increasing pressure on the environment and problems of resource availability are the major triggers for the transformation of energy industry worldwide. The development of small hydropower also should conform to the principles of rational use of water resources, river conservati...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/217 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103273498312704 |
|---|---|
| author | Ibragimova, M. |
| author_facet | Ibragimova, M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "M. Ibragimova",
"institution": "Institute for Renewable Energy of NASU, Kyiv, 20A, Hnata Khotkevycha Str., Phone\/fax: +38-044-206-28-09, e-mail: hydro@ive.org.ua"
}
] |
| author_sort | Ibragimova, M. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:13Z |
| description | Hydrocarbon deficit, increasing pressure on the environment and problems of resource availability are the major triggers for the transformation of energy industry worldwide. The development of small hydropower also should conform to the principles of rational use of water resources, river conservation and restoration, reducing the human impact, etc. The article focuses on a pressing issue of construction of small hydroelectric power plant with operation modes that comply sustainable water use taking into account environmental constraints on the use of water for electricity generation. The author presents the advantages of density function of probability distribution of river flow discharge over its cumulative probability as a means of analyzing performance indicators of small hydroelectric power plants. The review of previous studies of probability density function showed the absence of summarized results required for further practical applications of this function. There have been developed, for the first time, a method for the calculation of the probability density function of three-parameter Gamma distribution of river flow discharge at random coefficients of variation and asymmetry by cubic spline interpolation in the vicinity of the poles of Gamma function. The article contains the results of a study of probability Gamma distribution of river flow discharge in tabular form of relevant density function values.  These tables are recommended for hydropower engineering and design services when performing hydrological and hydrotechnical calculations. Ref. 18, tab. 3, fig. 3. |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2019.3(58).58-66 |
| first_indexed | 2025-07-17T11:37:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
© М.Р. Ібрагімова, 2019
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 58
УДК 621.311. 212 DOI: https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).58-66
МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ЩІЛЬНОСТІ ІМОВІРНІСНОГО
ТРИПАРАМЕТРИЧНОГО ГАММА-РОЗПОДІЛУ ВИТРАТ СТОКУ РІЧКИ В
ЗАДАЧАХ ГІДРОЕНЕРГЕТИКИ
М.Р. Ібрагімова
Інститут відновлюваної енергетики НАН України,
02094, м. Київ, вул. Гната Хоткевича, 20А
тел./факс +38-044-206-28-09, e-mail: hydro@ive.org.ua
Очікуваний у найближчому майбутньому дефіцит вуглеводнів, зростаючий тиск на екологію та ресурсозабезпечення
існування людства – основні тригери трансформації енергетичної галузі відповідно до ухвалених на Саміті ООН Цілей
сталого розвитку. Розвиток малої гідроенергетики також повинен відповідати раціональному використанню водного ре-
сурсу, збереженню та можливому відновленню річкової системи, мінімізації антропогенного впливу. Дана стаття спря-
мована на вирішення актуального питання створення малих гідроелектростанцій, технологічні режими роботи якої
відповідають принципам раціонального гідроенергетичного водокористування з врахуванням природоохоронних обмежень
на використання води для виробництва електроенергії. Автором приведено переваги використання функції диференційної
щільності імовірнісного розподілу витрат стоку річки над традиційно застосовуваною інтегральною функцією розподілу
при аналізі гідроенергетичних показників експлуатації малих ГЕС. Проведений аналіз попередніх досліджень диференційної
щільності засвідчив відсутність узагальнених результатів з визначення даної функції у вигляді, необхідному для подальших
практичних застосувань. Вперше розроблено прямий метод розрахунку функції диференційної щільності імовірнісного
трипараметричного гамма-розподілу витрат стоку річки за довільних значень коефіцієнтів варіації та асиметрії на ос-
нові застосування інтерполяції кубічними сплайнами в околі полюсів гамма-функції. Матеріали статті містять результа-
ти проведеного дослідження у вигляді таблиць значень функції диференційної щільності імовірнісного гамма-розподілу
витрат води. Зазначені таблиці рекомендуються до застосовування інженерними та проектними службами при виконанні
гідрологічних та гідротехнічних розрахунків в задачах гідроенергетики. Бібл. 18, табл. 3, рис. 3.
Ключові слова: витрати води, імовірність, інтерполяція, диференційна щільність, забезпеченість, розподіл.
METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF
THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE
RELATED TO HYDROPOWER TASKS
M. Ibragimova
Institute for Renewable Energy of NASU,
Kyiv, 20A, Hnata Khotkevycha Str.,
Phone/fax: +38-044-206-28-09, e-mail: hydro@ive.org.ua
Hydrocarbon deficit, increasing pressure on the environment and problems of resource availability are the major triggers for the
transformation of energy industry worldwide. The development of small hydropower also should conform to the principles of rational
use of water resources, river conservation and restoration, reducing the human impact, etc. The article focuses on a pressing issue of
construction of small hydroelectric power plant with operation modes that comply sustainable water use taking into account envi-
ronmental constraints on the use of water for electricity generation. The author presents the advantages of density function of proba-
bility distribution of river flow discharge over its cumulative probability as a means of analyzing performance indicators of small
hydroelectric power plants. The review of previous studies of probability density function showed the absence of summarized results
required for further practical applications of this function. There have been developed, for the first time, a method for the calculation
of the probability density function of three-parameter Gamma distribution of river flow discharge at random coefficients of variation
and asymmetry by cubic spline interpolation in the vicinity of the poles of Gamma function. The article contains the results of a study
of probability Gamma distribution of river flow discharge in tabular form of relevant density function values. These tables are rec-
ommended for hydropower engineering and design services when performing hydrological and hydrotechnical calculations. Ref. 18,
tab. 3, fig. 3.
Keywords: flow discharge, probability, interpolation, probability density function, availability, distribution.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).58-66
mailto:hydro@ive.org.ua
mailto:hydro@ive.org.ua
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 59
М.Р. Ібрагімова
M. Ibragimova
Відомості про автора: науковий співробітник
відділу гідроенергетики, Інститут відновлюваної
енергетики Національної академії наук України.
Освіта: НТУУ «Київський політехнічний інсти-
тут».
Спеціальність «Нетрадиційні і відновлювані дже-
рела енергії».
Наукова сфера: альтернативна енергетика, перетво-
рення відновлюваних видів енергії, мала гідроенерге-
тика, енергозбереження та енергоефективність.
Публікації: 20.
ORCID: 0000-0003-1732-4477.
e-mail: mariaibragimovar@gmail.com
Author information: junior research fellow at Hy-
dropower Department, Institute for Renewable Ener-
gy of National Academy of Sciences of Ukraine.
Education: National Technical University of
Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute»;
Specialty «Non-traditional and renewable energy
sources».
Research area: alternative energy, conversion of
renewable energy, small hydropower, energy con-
servation and efficiency.
Publications: 20.
ORCID: 0000-0003-1732-4477.
e-mail: mariaibragimovar@gmail.com
Перелік використаних позначень та скорочень:
ГЕС – гідроелектростанція; Qcp – середня багаторічна витрата води;
P – забезпеченість (імовірність перевищення) заданої
величини;
KP – модульний коефіцієнт витрат води стоку річки;
p – диференційна щільність імовірнісного розподілу; CV – коефіцієнт варіації витрат води;
,b – параметри ймовірнісного розподілу; CS – коефіцієнт асиметрії витрат води;
Q – витрата води; – гамма-функція.
Вступ. У довгостроковій перспективі розви-
тку енергетичної галузі відзначено необхідність
скорочення частки викопного та ядерного палива
і відповідно їх заміщення відновлюваними та
альтернативними джерелами енергії. З одного
боку, вже сьогодні створені певні механізми сти-
мулювання державою виробництва електроенер-
гії об’єктами відновлюваної енергетики: «зеле-
ний» тариф і надбавки за використання облад-
нання українського виробництва, пільги в опода-
ткуванні, пільговий режим приєднання до елект-
ричної мережі тощо. Перед малою гідроенерге-
тикою постає завдання створення малих гідрое-
лектростанцій (ГЕС) із врахуванням природоохо-
ронних вимог, що спрямовані на максимально
можливе збереження природного середовища
річки. У подальшому викладенні малу ГЕС, тех-
нологічні режими роботи якої відповідають
принципам раціонального гідроенергетичного
водокористування з врахуванням природоохо-
ронних обмежень на використання води для ви-
робництва електроенергії, будемо називати «зе-
леною» малою ГЕС. Створенню такої станції по-
винен передувати багатостадійний процес проек-
тування з теоретичним обґрунтування технічних
параметрів і експлуатаційних режимів функціо-
нування на основі застосування імовірнісних
розподілів витрат води стоку річки [1–6].
Постановка завдання. В задачах гідроенер-
гетики найбільшого поширення набув імовірніс-
ний трипараметричний розподіл витрат води сто-
ку річки [5–9]. Відомо, що вичерпною оцінкою
випадкової величини є її інтегральна або дифере-
нційна функції розподілу. Проте традиційно в
гідроенергетичних розрахунках застосовується
виключно інтегральна функція розподілу, яка
надає можливості для визначення параметрів гід-
рологічного режиму через оцінку імовірності за
рівнем забезпеченості витрат води стоку з метою
наступного обґрунтування проектних рішень.
Зокрема, гідротехнічні споруди з регулювання
стоку річки розраховуються саме по водності року
певної заданої забезпеченості (див. Таблицю 1),
що гарантує надійність та очікувану безвідмов-
ність роботи споруд. Для визначення гарантованої
та встановленої потужностей ГЕС традиційної
реалізації з акумулюванням водотоку у водосхо-
вищі також достатньо використання інтегральної
характеристики функції розподілу, або забезпече-
ності, як основи гідроенергетичних розрахунків.
Тому в спеціалізованих виданнях [9–11] наведені
табульовані значення ординат кривих забезпече-
ностей відповідних розподілів за фіксованих зна-
чень коефіцієнтів варіації та асиметрії.
Таблиця 1. Повторюваність і забезпеченість витрати води стоку річки характерних років [12].
Table 1. Frequency and availability of river flow discharge of of indicative years [12].
Характеристика водності року Повторюваність, 1 раз в n років n, років Забезпеченість, Р, %
Дуже багатоводний 100 1
Середній багатоводний 10 10
Помірно багатоводний 4 25
Середньої водності 2 50
Помірно маловодний 4 75
Середній маловодний 10 90
Дуже маловодний 33 97
Катастрофічно маловодний 100 100
mailto:mariaibragimovar@gmail.com
mailto:mariaibragimovar@gmail.com
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 60
Проте сучасні положення щодо будівництва
та наступної експлуатації малих ГЕС із дотри-
манням природоохоронних критеріїв функціону-
вання диктують потребу встановлення нових під-
ходів у проведенні гідроенергетичних розрахун-
ків, що враховуватимуть обмеження на викорис-
тання води для виробництва електроенергії: об-
меження на використання води у межень, повені
та паводки; санітарний попуск; оперативні захо-
ди з регулювання водного потоку через гідроспо-
руди; безперервне функціонування рибоходів;
регулювання потужності по водотоку [13]. За да-
них умов, спрямованих на збереження первісного
стану русла водотоку, визначальним фактором
оцінки проектних параметрів малої ГЕС є зна-
чення витрат води стоку, або, іншими словами,
надходження води до створу станції. Тому адек-
ватна методика аналізу гідроенергетичних показ-
ників експлуатації «зелених» малих ГЕС повинна
ґрунтуватись на застосуванні функції диферен-
ційної щільності імовірнісного розподілу витрат
стоку річки.
В загальному випадку, функція диференцій-
ної щільності імовірнісного розподілу дає змогу
визначити імовірність F попадання випадкової
величини X у будь-яку задану область [10], на-
приклад обмежену інтервалом 1 2a ,a :
2
1
a
1 2
a
F a X a p x dx, (1)
де р(x) – функція диференційної щільності імо-
вірнісного розподілу.
При цьому обчислення ординат кривих
забезпеченості розподілу виконується шляхом
визначення інтеграла від функції диференційної
щільності
Px
P
0
P x x 1 p x; ,b dx, (2)
де P ймовірність перевищення (забезпече-
ність) значення шуканої ординати
Px ; p x; ,b диференційна щільність ймовір-
ностей за параметрів розподілу x, ,b.
Проте варто зазначити, що в попередніх дос-
лідженнях відсутні узагальнені результати з ви-
значення функції диференційної щільності у ви-
гляді, необхідному для подальших практичних
застосувань, аналогічно інтегральним показни-
кам розподілу.
Рівняння диференційної щільності трипара-
метричного гамма-розподілу у функції витрат
води, рекомендованого нормативним документом
[11], має наступний вид:
1
1
1
0
bb
cp
cp cp
b
cp
b Q
p Q;Q ; ,b
b Q Q
bQ
exp , Q ,
Q
(3)
де Q – випадкова величина витрат води, м3/с; Qcp
– середня багаторічна витрата води, м3/с;
cp P
Q Q K – модульний коефіцієнт витрат води;
γ, b – параметри, яким відповідають певні зна-
чення коефіцієнта варіації CV та асиметрії CS ви-
трат води стоку річки.
Параметри розподілу γ і b можуть бути ви-
значені з системи рівнянь, що встановлює зв'язок
між параметрами γ і b та стандартними гідрологі-
чними параметрами стоку витрат води CV і CS:
1
2
2
2
3 2
3
2
2
2
1
3 3 2
2
2
1
V
S
b
C ,
b
b b
b b
C ,
b
b
(4)
де 2, b та ін. – гамма-функції відпо-
відних аргументів.
Після перетворень система (4) представля-
ється у вигляді:
12
22
2
3
2
b
K ,
b
b b
K ,
b
(5)
де
2
2 3 2 2
1 21 3 1 2 1V S V V VK C , K C C C C
ві-
домі для заданих значень CV і CS.
В логарифмічній формі рівняння набувають
остаточного виду, прийнятного для виконання
практичних розрахунків:
1 1
2 2
2 2 0
3 2 2 0
f ln ln b ln b lnK ,
f ln b ln b ln b lnK .
(6)
Результати. Сучасні програмні продукти
дають можливість виконувати складні та об’ємні
розрахунки аналізу і обробки даних. Числове ви-
рішення системи трансцендентних рівнянь (6)
було реалізовано за допомогою нелінійної опти-
мізації методом довірчих областей у програмно-
му пакеті MATLAB. Задача даного розрахунку
зводиться до ітераційного пошуку параметрів γ і
b, кожній комбінації яких відповідають задані
значення коефіцієнта варіації CV та асиметрії CS.
В якості першого наближення шуканих парамет-
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 61
рів були прийняті округлені до десятих значення
величин γ і b, наведених у [9].
Результати отримано для діапазону зміни кое-
фіцієнта CV від 0,1 до 2 включно, з кроком 0,1; а
коефіцієнт CS задано як відношення CV/CS, значення
якого відповідає діапазону від 1 до 4, з кроком 0,5.
Відомо, що в околі полюсів гамма-функції
( 0 30 3
V S V
C , ;C ·C ), ( 0 70 3 5
V S V
C , ;C , ·C ) і ( 1 00
V
C , ;
4
S V
C ·C ) параметр γ необмежено зростає, що зумо-
влює значне зниження точності обчислень і тим
самим унеможливлює отримання достовірних ре-
зультатів у цих областях. На рис.1 графічно зобра-
жено результат визначення параметра γ за довіль-
них значень коефіцієнтів варіації та асиметрії.
Рис. 1. Залежність параметра γ від CV та CV/CS .
Fig. 1. Dependence of γ parameter on CV and CV/CS .
З метою дослідження впливу зазначеної осо-
бливості гамма-функції на результат визначення
функції диференційної щільності виконано від-
повідний розрахунок для одного з характерних
випадків 4
S V
C C . На рис.2 графічно представ-
лено одержаний результат, а саме, множину зна-
чень функції диференційної щільності при
4
S V
C C . Встановлено, що за параметрів
0 9 11
V
, ,C функція p x невизначена.
Рис. 2. Множина значень диференційної функції трипараметричного гамма-розподілу
витрат води у модульних коефіцієнтах KP при CS/CV = 4.
Fig. 2. Values of probability density function of three-parameter Gamma distribution
of river flow discharge in coefficients KP at CS/CV = 4.
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 62
Для розв’язання задачі визначення функції
диференційної щільності у всьому діапазоні до-
вільних значень її аргументів, у тому числі в око-
лі полюсів гамма-функції, була застосована інте-
рполяційна процедура з використанням кубічних
сплайн-функцій двох змінних з неперервними
похідними до другого порядку включно в точках
інтерполяції. Наведемо найпростіший випадок
визначення простору сплайнів.
Нехай в прямокутній області
, ,c d g h задана сітка ліній
,
V PC K де
0 1
0 1
: ... ,
: ... ,
V m
P n
C V V V
K P P P
c C C C d
g K K K h
(7)
що ділить область на прямокутні комірки
1 1
, , , , ,
0,1, ..., ; 0,1, ..., .
i i j jij V P V V V P P PC K C C C K K K
i m j n
(8)
В такому випадку шукана поверхня значень
функції диференційної щільності ,
i jV Pp C K
формується кубічним інтерполяційним сплайном
двох змінних [14–16]:
3 3
0 0
, ,
i j
ij
V P V V P PS C K a C C K K
(9)
де
ija коефіцієнти сплайна.
При цьому існування сплайна вимагає вико-
нання наступної умови:
, 0,1,..., ; 0,1,..., .
i jV P ijS C K p i m j n (10)
а також граничних умов одного із чотирьох ти-
пів, наприклад умов І-го типу:
2
,
, , 0, , 0,1, ..., ,
, , 0,1, ..., , 0, ,
, , 0, , 0, ,
V
i j
P
i j
V P
i j
C
V P ij
V
K
V P ij
P
C K
V P ij
V
S
C K p i m j n
C
S
C K p i m j n
K
S
C K p i m j n
C
(11)
тобто в граничних вузлах сітки задаються зна-
чення перших часткових похідних по
VC і по
PK шуканої функції, а в кутових вузлах – зна-
чення 2-ої змішаної похідної [15].
З метою уникнення можливих спотворень в
областях максимума, де І-ша похідна досліджу-
ваної функції змінює свій знак, апроксимація об-
ластей виконувалась сплайном 1-го ступеня або
лінійною інтерполяцією. Для апроксимації решти
областей застосовано інтерполяцію кубічними
сплайнами.
За результатом програмної реалізації процесу
інтерполяції одержано множину значень дифере-
нційної функції імовірнісного розподілу витрат
води, заданих у модульних коефіцієнтах PK , ві-
дносно зміни коефіцієнта варіації
VC та заданого
значення 4.S VC C Дана множина значень дос-
ліджуваної функції візуалізована неперервною
поверхнею на рис.3 як результат доповнюючих
одне одну лінійної на сплайнової інтерполяції. В
таблиці 2 окремо представленні числові значення
функції диференційної щільності в області її не-
визначеності, одержані завдяки застосуванню
інтерполяції кубічними сплайнами в околі полю-
сів гамма-функції.
Рис. 3. Ординати диференційної функції імовірнісного розподілу витрат води
у модульних коефіцієнтах KP при CS/CV = 4.
Fig. 3. Ordinates of probability density function of river flow discharge in coefficients KP at CS/CV = 4.
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 63
Таблиця 2. Числовий результат сплайнової інтерполяції функції диференційної щільності імовірнісного трипарамет-
ричного гамма-розподілу при Cs/Cv = 4.
Table 2. Numerical result of spline interpolation of probability density function
for three-parameter Gamma distribution at Cs/Cv = 4.
КР, в.о.
Коефіцієнт варіації, CV
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
0,1 0,0446 0,1489 0,3108 0,5088 0,7215
0,2 0,3736 0,5680 0,7450 0,8951 1,0084
0,3 0,7282 0,8590 0,9402 0,9827 0,9975
0,4 0,9169 0,9519 0,9530 0,9314 0,8989
0,5 0,9590 0,9265 0,8826 0,8330 0,7836
0,6 0,9144 0,8476 0,7847 0,7267 0,6747
0,7 0,8291 0,7508 0,6842 0,6275 0,5788
0,75 0,7803 0,7018 0,6366 0,5823 0,5361
0,8 0,7304 0,6540 0,5915 0,5401 0,4968
0,85 0,6809 0,6081 0,5491 0,5010 0,4606
0,9 0,6327 0,5644 0,5095 0,4648 0,4274
0,95 0,5865 0,5233 0,4726 0,4314 0,3970
1 0,5428 0,4849 0,4384 0,4006 0,3690
1,05 0,5016 0,4492 0,4068 0,3723 0,3433
1,1 0,4631 0,4160 0,3777 0,3462 0,3197
1,15 0,4274 0,3853 0,3508 0,3222 0,2980
1,2 0,3942 0,3569 0,3259 0,3001 0,2781
1,3 0,3353 0,3064 0,2819 0,2609 0,2428
1,4 0,2853 0,2635 0,2444 0,2276 0,2128
1,5 0,2431 0,2271 0,2125 0,1992 0,1872
1,6 0,2075 0,1962 0,1853 0,1749 0,1652
1,7 0,1775 0,1700 0,1620 0,1540 0,1463
1,8 0,1522 0,1476 0,1421 0,1360 0,1300
1,9 0,1308 0,1285 0,1249 0,1205 0,1158
2 0,1127 0,1122 0,1101 0,1070 0,1035
2,5 0,0557 0,0590 0,0608 0,0614 0,0612
3 0,0292 0,0328 0,0354 0,0371 0,0382
Вищевикладені результати відповідають до-
слідженню функції диференційної щільності імо-
вірнісного трипараметричного гамма-розподілу
витрат води у випадку необмеженого зростання
параметра γ в околі полюса гамма-функції при
1,0; 4 .V S VC C C Аналогічно було дослідже-
но диференційну щільність в передбачуваних
областях невизначеності функції, а саме в околі
полюсів гамма-функції за комбінацій:
0,3; 3 , 0,7; 3,5 .V S V V S VC C C C C C
У кінцевому результаті, з використанням засо-
бів інженерної геометрії програмно реалізовано
визначення функції диференційної щільності
імовірнісного гамма-розподілу витрат води, за-
даних модульними коефіцієнтами PK у повному
діапазоні зміни коефіцієнта варіації VC та спів-
відношення .S VC C Для практичного викорис-
тання отриманих результатів дослідження сфор-
мовано таблиці значень функції диференційної
щільності імовірнісного гамма-розподілу витрат
води, заданих модульними коефіцієнтами ,PK за
зміни коефіцієнта варіації VC в діапазоні 0,1÷2 з
кроком 0,1 та 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4.S VC C Ці
таблиці можуть безпосередньо застосовуватись
інженерними та проектними службами при вико-
нанні гідрологічних та гідротехнічних розрахун-
ків річок з будь-якими гідрологічними парамет-
рами стоку. Необхідність отримання даних за
гідрологічних параметрів стоку, що не представ-
лені в таблицях, наприклад за 0,42VC і
1,95S VC C (відповідають параметрам р. Пів-
денний Буг) [17,18], передбачає виконання інтер-
поляції табличних значень. Нижче, як варіант,
представлено таблицю 3 значень функції дифе-
ренційної щільності імовірнісного гамма-
розподілу витрат води у модульних коефіцієнтах
PK за зміни коефіцієнта варіації VC в діапазоні
0,1÷2 з кроком 0,1 при 2S VC C (значення,
найбільш характерне для території України).
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 64
Таблиця 3. Значення функції диференційної щільності імовірнісного трипараметричного гамма-розподілу Cs/Cv = 2.
Table 3. Values of probability density function for three-parameter Gamma distribution at Cs/Cv = 2.
КР, в.о.
Коефіцієнт варіації, CV
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0063 0,0505 0,1682 0,3527 0,5674 0,7765
0,2 0,0000 0,0000 0,0001 0,0117 0,0894 0,2521 0,4483 0,6268 0,7651 0,8603
0,3 0,0000 0,0000 0,0070 0,0951 0,2905 0,4988 0,6584 0,7594 0,8127 0,8323
0,4 0,0000 0,0008 0,0694 0,3013 0,5415 0,6977 0,7750 0,7996 0,7931 0,7695
0,5 0,0000 0,0226 0,2776 0,5888 0,7599 0,8185 0,8164 0,7857 0,7433 0,6973
0,6 0,0001 0,1870 0,6444 0,8636 0,9015 0,8657 0,8061 0,7422 0,6812 0,6255
0,7 0,0197 0,6870 1,0493 1,0510 0,9593 0,8568 0,7639 0,6840 0,6160 0,5582
0,75 0,1227 1,0530 1,2151 1,1019 0,9607 0,8372 0,7355 0,6524 0,5839 0,5267
0,8 0,4924 1,4323 1,3364 1,1245 0,9473 0,8103 0,7042 0,6202 0,5525 0,4967
0,85 1,3410 1,7581 1,4065 1,1214 0,9217 0,7781 0,6709 0,5880 0,5220 0,4683
0,9 2,5912 1,9745 1,4250 1,0964 0,8866 0,7421 0,6366 0,5562 0,4928 0,4414
0,95 3,6869 2,0522 1,3969 1,0537 0,8445 0,7035 0,6019 0,5251 0,4648 0,4161
1 3,9861 1,9928 1,3304 0,9976 0,7975 0,6636 0,5675 0,4949 0,4380 0,3922
1,05 3,3637 1,8224 1,2355 0,9322 0,7475 0,6232 0,5336 0,4658 0,4126 0,3697
1,1 2,2671 1,5802 1,1219 0,8610 0,6961 0,5830 0,5006 0,4379 0,3885 0,3485
1,15 1,2451 1,3067 0,9988 0,7872 0,6444 0,5435 0,4688 0,4113 0,3657 0,3285
1,2 0,5670 1,0357 0,8737 0,7132 0,5935 0,5052 0,4383 0,3860 0,3441 0,3098
1,25 0,2174 0,7903 0,7523 0,6409 0,5442 0,4684 0,4091 0,3620 0,3238 0,2922
1,3 0,071139 0,5827 0,6387 0,5718 0,4969 0,4332 0,3814 0,3392 0,3046 0,2756
1,4 0,0050 0,2895 0,4437 0,4466 0,4100 0,3684 0,3304 0,2975 0,2695 0,2454
1,5 0,0002 0,1298 0,2957 0,3415 0,3343 0,3112 0,2852 0,2606 0,2384 0,2187
1,6 0,0000 0,0535 0,1904 0,2567 0,2700 0,2615 0,2456 0,2280 0,2109 0,1951
1,7 0,0000 0,0205 0,1192 0,1902 0,2164 0,2189 0,2110 0,1994 0,1867 0,1743
1,8 0,0000 0,0074 0,0729 0,1393 0,1724 0,1826 0,1811 0,1743 0,1653 0,1558
1,9 0,0000 0,0025 0,0437 0,1010 0,1366 0,1519 0,1552 0,1523 0,1465 0,1394
2 0,0000 0,0008 0,0258 0,0727 0,1078 0,1261 0,1329 0,1331 0,1299 0,1249
2,5 0,0000 0,0000 0,0016 0,0129 0,0317 0,0488 0,0609 0,0682 0,0719 0,0732
3 0,0000 0,0000 0,0001 0,0021 0,0090 0,0187 0,0280 0,0354 0,0406 0,0439
КР, в.о.
Коефіцієнт варіації, CV
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
0,1 0,9581 1,1032 1,2115 1,2865 1,3334 1,3576 1,3641 1,3570 1,3396 1,3147
0,2 0,9187 0,9485 0,9570 0,9506 0,9339 0,9103 0,8823 0,8517 0,8199 0,7875
0,3 0,8296 0,8130 0,7880 0,7582 0,7261 0,6932 0,6605 0,6286 0,5979 0,5685
0,4 0,7371 0,7010 0,6638 0,6271 0,5918 0,5583 0,5268 0,4973 0,4698 0,4441
0,5 0,6516 0,6082 0,5677 0,5303 0,4960 0,4645 0,4357 0,4092 0,3850 0,3627
0,6 0,5755 0,5308 0,4910 0,4554 0,4235 0,3949 0,3690 0,3455 0,3242 0,3048
0,7 0,5086 0,4657 0,4284 0,3956 0,3667 0,3409 0,3179 0,2972 0,2784 0,2615
0,75 0,4783 0,4370 0,4012 0,3700 0,3426 0,3182 0,2965 0,2770 0,2595 0,2436
0,8 0,4500 0,4104 0,3764 0,3468 0,3208 0,2978 0,2774 0,2591 0,2426 0,2277
0,85 0,4236 0,3859 0,3536 0,3256 0,3010 0,2794 0,2601 0,2429 0,2274 0,2134
0,9 0,3990 0,3632 0,3326 0,3061 0,2830 0,2626 0,2445 0,2283 0,2138 0,2006
0,95 0,3759 0,3421 0,3133 0,2883 0,2666 0,2474 0,2303 0,2151 0,2014 0,1890
1 0,3543 0,3225 0,2954 0,2719 0,2514 0,2334 0,2173 0,2030 0,1901 0,1784
1,05 0,3342 0,3043 0,2788 0,2568 0,2375 0,2205 0,2054 0,1919 0,1798 0,1688
1,1 0,3153 0,2874 0,2635 0,2428 0,2247 0,2087 0,1945 0,1817 0,1703 0,1599
1,15 0,2977 0,2716 0,2492 0,2298 0,2128 0,1977 0,1844 0,1724 0,1616 0,1518
1,2 0,2811 0,2568 0,2359 0,2177 0,2017 0,1876 0,1750 0,1637 0,1535 0,1443
1,25 0,2656 0,2430 0,2235 0,2065 0,1915 0,1782 0,1664 0,1557 0,1461 0,1374
1,3 0,2511 0,2301 0,2119 0,1960 0,1819 0,1695 0,1583 0,1482 0,1392 0,1309
1,4 0,2247 0,2067 0,1909 0,1770 0,1647 0,1537 0,1438 0,1348 0,1267 0,1193
1,5 0,2014 0,1861 0,1725 0,1604 0,1496 0,1399 0,1311 0,1231 0,1159 0,1093
1,6 0,1808 0,1679 0,1562 0,1458 0,1363 0,1277 0,1199 0,1128 0,1063 0,1004
1,7 0,1626 0,1517 0,1418 0,1328 0,1245 0,1170 0,1100 0,1037 0,0979 0,0925
1,8 0,1464 0,1374 0,1290 0,1212 0,1140 0,1074 0,1012 0,0956 0,0904 0,0856
1,9 0,1320 0,1247 0,1176 0,1109 0,1046 0,0988 0,0934 0,0883 0,0837 0,0793
2 0,1192 0,1133 0,1074 0,1017 0,0962 0,0911 0,0863 0,0818 0,0776 0,0737
2,5 0,0729 0,0716 0,0697 0,0674 0,0650 0,0624 0,0599 0,0574 0,0550 0,0526
3 0,0458 0,0466 0,0467 0,0462 0,0454 0,0443 0,0431 0,0418 0,0404 0,0390
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 65
Висновки. Розроблено метод розрахунку
функції диференційної щільності трипараметри-
чного імовірнісного розподілу витрат води стоку
річки на основі застосування інтерполяційної
процедури з використанням сплайнів в околі по-
люсів гамма-функції, який дозволяє виконувати
розрахунки за довільних значень коефіцієнтів
варіації та асиметрії для врахування природоохо-
ронних обмежень на використання води для ви-
робництва електроенергії.
З метою забезпечення можливості викорис-
тання результатів проведеного дослідження інже-
нерними та проектними службами при виконанні
гідрологічних та гідротехнічних розрахунків річок
з будь-якими гідрологічними параметрами стоку,
сформовано таблиці значень функції диференцій-
ної щільності імовірнісного трипараметричного
гамма-розподілу витрат води, заданих модульни-
ми коефіцієнтами ,PK за зміни коефіцієнта варіа-
ції VC в діапазоні 0,1÷2 з кроком 0,1 і
1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4.S VC C За необхідності
отримання даних при гідрологічних параметрів
стоку, що не представлені в таблицях, можливе
виконання інтерполяції табличних значень.
1. Васько П.Ф., Мороз А.В. Законодательные стимулы
и природоохранные ограничения использования гидроэнер-
гетических ресурсов малых рек Украины. Альтернативная
энергетика и экология (ISJAEE). 2014. № 15(155). С. 82-92.
ISSN 1608-8298.
2. Васько П.Ф. Сучасний стан, потенційні можливості
та передумови подальшого розвитку малої гідроенергетики
в Україні. Відновлювана енергетика. 2006. №1. С. 60-65.
3. Васько П.Ф., Мороз А.В. Потенціал використання
гідроенергетичних ресурсів основних малих річок України.
Відновлювана енергетика. 2016. № 3. С. 50-56.
4. Васько П.Ф., Ібрагімова М.Р. Основні положення
створення «зелених» малих ГЕС. Тези ІV міжнар. наук.-
практ. конф. «Оптимальне керування електроустановками –
ОКЕУ’2017». Вінниця. 2017. [Електронний ресурс]. URL:
https://conferences.vntu.edu.ua/ index.php/okeu/okeu/ pa-
per/viewFile/3520/2979 (дата звернення: 06.05.2019).
5. Васько П.Ф., Ибрагимова М.Р. Энергетическая эф-
фективность малой гидроэлектростанции при экологических
ограничениях на использование стока воды реки для произ-
водства электроэнергии. Альтернативная энергетика и эко-
логия (ISJAEE). 2017. № 04-06(216-218). С.103-115. ISSN
1608–8298.
6. Ібрагімова М.Р. Визначення проектних параметрів
малої ГЕС за регулювання потужності по водотоку. Віднов-
лювана енергетика. 2016. № 1. С. 55-60. ISSN 1819–8058.
7. Малинин Н.К. Теоретические основы гидроэнерге-
тики. Москва. Энергоатомиздат. 1985. 312 с.
8. Васько П.Ф., Бриль А.А., Мороз А.В., Озорин Д.Ф.
Расчет теоретического значения гидроэнергетического по-
тенциала малых рек с учетом обеспеченности стока воды.
Альтернативная энергетика и экология (ISJAEE). 2012. №
07(111). С .124-132. ISSN 1608–8298.
9. Блохинов Е.Г. Распределение вероятностей вели-
чин речного стока. Москва. Наука. 1974. 169 с.
10. Дружинин В.С., Сикан А.В. Методы статистиче-
ской обработки гидрометеорологической информации.
Учебное пособие. Направление «Гидрометеорология». Спе-
циальность «Гидрология». Санкт-Петербург. изд. РГГМУ.
2001. 170 с.
11. ДБН В.2.4-8:2014 Визначення розрахункових гід-
рологічних характеристик. Київ: Мінрегіон України. 2015.
107 с.
12. Речной сток и его характеристики. Ремонт Строи-
тельство Интерьер. 2015. [Електронний ресурс].
URL: http://industrial-wood.ru/transport-lesa/6199-
rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html (дата звернення:
06.05.2019).
13. Guiding Principles. Sustainable Hydropower Devel-
opment in the Danube Basin. International Commission for the
Protection of the Danube River. 2013. [Електронний ресурс].
URL: http://www.icpdr.org/main/activities-projects/hydropower
(дата звернення: 24.04.2019).
14. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л.
Методы сплайн-функций. Москва. Главная редакция физи-
ко-математической литературы. 1980. 352 с.
15. Шикин Е.В., Плис Л.И. Кривые и поверхности на
экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользова-
телей. Мщсква: ДИАЛОГ-МИФИ. 1996. 240 с.
16. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов Б.А.
Сплайны в инженергой геометрии. Москва. Машинострое-
ние. 1985. 224 с.
17. Яцик А.В., Бишовець Л.Б., Богатов Є.О. та ін. Ма-
лі річки України: Довідник За ред. А.В. Яцика. Київ. Уро-
жай. 1991. 296 с.
18. Справочник по водным ресурсам Под ред. Б.И.
Стрельца. Киев. Урожай. 1987. 304 с.
REFERENCES
1. Vasko P.F., Moroz A.V. Zakonodatelnye stimuly i
prirodookhrannye ogranicheniya ispolzovaniya
gidroenergeticheskikh resursov malykh rek Ukrainy. [Legislative
Incentives and Environmental Restrictions on the Use of
Hydropower Resources of Small Rivers of Ukraine].
International Scientific Journal for Alternative Energy and
Ecology (ISJAEE). 2014. No. 15. Pp.82-92. [in Russian].
2. Vasko P.F. Suchasnyi stan, potentsiini mozhlyvosti ta
peredumovy podalshoho rozvytku maloi hidroenerhetyky v
Ukraini. [Сurrent state, potential opportunities and prerequisites
for the further development to smallhydropower in Ukraine].
Vidnovluvana energetika. 2006. No. 1. Рр. 60-66. [in Ukrainian].
3. Vasko P.F., Moroz A.V. Potencial vykorystannja ghi-
droenerghetychnykh resursiv osnovnykh malykh richok
Ukrajiny. [The potential use of hydropower resources of main
small rivers of Ukraine]. Vidnovluvana energetika. 2016. No. 3.
Pp. 50-56. [in Ukrainian].
4. Vasko P.F., Ibragimova M.R. Osnovni polozhennja
stvorennja «zelenykh» malykh GhES. [Basic regulations for
construction of "green" small hydropower plants]. Abstracts of
IV Scientific-practical Conf. “Optimal Control of Electrical In-
stallations - OKEU'2017”. Vinnytsia. 2017. [Electronic re-
source]. URL: https://conferences.vntu.edu.ua/ in-
dex.php/okeu/okeu/ paper/viewFile/3520/2979 (Applying date:
06.05.2019). [in Ukrainian].
5. Vasko P.F., Ibragimova M.R. Jenergeticheskaja
jeffektivnost maloj gidrojelektrostancii pri jekologicheskih
ogranichenijah na ispolzovanie stoka vody reki dlja proizvodstva
jelektrojenergii. [Energy efficiency of small hydropower plant
through environmental restrictions on water use for power gen-
eration]. International Scientific Journal for Alternative Energy
and Ecology (ISJAEE). 2017. No. 04-06(216-218). Pp. 103-115.
https://conferences.vntu.edu.ua/%20index.php/okeu/okeu/%20paper/viewFile/3520/2979
https://conferences.vntu.edu.ua/%20index.php/okeu/okeu/%20paper/viewFile/3520/2979
http://industrial-wood.ru/transport-lesa/6199-rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html
http://industrial-wood.ru/transport-lesa/6199-rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html
http://www.icpdr.org/main/activities-projects/hydropower
https://conferences.vntu.edu.ua/%20index.php/okeu/okeu/%20paper/viewFile/3520/2979
https://conferences.vntu.edu.ua/%20index.php/okeu/okeu/%20paper/viewFile/3520/2979
ISSN 1819-8058 (Print)
ГІДРОЕНЕРГЕТИКА ISSN 2664-8172 (Online)
Відновлювана енергетика. 2019. № 3 66
ISSN 1608 – 8298. [in Russian].
6. Ibragimova M.R. Vyznachennja proektnykh
parametriv maloji GhES za reghuljuvannja potuzhnosti po
vodotoku. [Determination of design parameters of a small
hydroelectric power plant for capacity regulation by water flow].
Vidnovluvana energetika. 2016. No. 1. Pp. 55-60. [in Ukrainian].
7. Malynyn N.K. Teoretycheskye osnovы
ghydroэnerghetyky. [Theoretical basics of hydropower]. Mos-
cow. Energhoatomyzdat. 1985. 312 p. [in Russian].
8. Vasko P.F., Bril A.O., Moroz A.V., Ozorin D.F.
Raschet teoreticheskogo znacheniya gidroenergeticheskogo po-
tentsiala malykh rek s uchetom obespechennosti stoka vody.
[Calculation of the theoretical value of the hydropower potential
of small rivers, taking into account the availability of water
flow]. International Scientific Journal for Alternative Energy and
Ecology (ISJAEE). 2012. No. 7. Pp.126-132. [in Russian].
9. Blokhinov E.G. Raspredelenye verojatnostej velychyn
rechnogho stoka. [Probability distribution of river runoff values].
Moscow. Science. 1974. 169 p. [in Russian].
10. Druzhynyn V.S., Sykan A.V. Metody statystycheskoj
obrabotky ghydrometeorologhycheskoj ynformacyy. [Methods
of statistical processing of hydrometeorological information]. St.
Petersburg. RGGMU ed. 2001. 170 p. [in Russian].
11. DBN B.2.4-8:2014 Vyznachennja rozrakhunkovykh
ghidrologhichnykh kharakterystyk. [DBN B.2.4-8: 2014
Determination of calculated hydrological characteristics]. Kyiv.
Ministry of Regional Development of Ukraine. 2015. 107 p. [in
Ukrainian].
12. Rechnoj stok y egho kharakterystyky. [The river flow
and its characteristics]. Repair Construction Interior. 2015.
[Electronic resource]. URL: http://industrial-wood.ru/transport-
lesa/6199-rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html (Applying date:
06.05.2019). [in Russian].
13. Guiding Principles. Sustainable Hydropower Devel-
opment in the Danube Basin. International Commission for the
Protection of the Danube River, 2013. [Electronic resource].
URL: http://www.icpdr.org/main/activities-projects/hydropower
(Applying date: 24.04.2018). [in English].
14. Zavyalov Yu.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko V.L.
Metody splajn-funkcyj. [Methods of spline functions]. Moscow.
The main edition of the physical and mathematical literature.
1980. 352 p. [in Russian].
15. Shikin E.V., Plis L.I. Kryvye y poverkhnosty na ekrane
kompjjutera. Rukovodstvo po splajnam dlja poljzovatelej.
[Curves and surfaces on a computer screen. Spline guide for
users]. Moscow. DIALOGUE-MIFI. 1996. 240 p. [in Russian].
16. Zavyalov Yu.S., Leus V.A., Skorospelov B.A. Splajny v
ynzhenerghoj gheometryy. [Splines in engineering geometry].
Moscow. Engineering. 1985. 222 p. [in Russian].
17. Yatsik A.V., Byshovets L.B., Rich E.O. and others. Mali
richky Ukrajiny: Dovidnyk. [Small Rivers of Ukraine: Hand-
book]. Kyiv. Urozhaj. 1991. 296 p. [in Ukrainian].
18. Streljc B.Y. Spravochnyk po vodnym resursam.
[Handbook of Water Resources]. Kyiv. Urozhaj. 1987. 304 p. [in
Russian].
МЕТОД РАСЧЕТА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОИ
ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСНОГО
ТРИПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГАММА-
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАСХОДОВ СТОКА РЕКИ В
ЗАДАЧАХ ГИДРОЭНЕРГЕТИКИ
М.Р. Ибрагимова
Институт возобновляемой энергетики НАН Украины,
02094, г. Киев, ул. Гната Хоткевича, 20А
тел./факс: +38-044-206-28-09, e-mail: hydro@ive.org.ua
Ожидаемый в ближайшем будущем дефицит углеводоро-
дов, растущее давление на экологию и ресурсообеспечения
существования человечества – основные триггеры транс-
формации энергетической отрасли. Развитие малой гидро-
энергетики также должно соответствовать рациональ-
ному использованию водного ресурса, сохранению и воз-
можному восстановлению речной системы, минимизации
антропогенного воздействия. Данная статья направлена на
решение актуального вопроса создания малых гидроэлек-
тростанций, технологические режимы работы которых
соответствуют принципам рационального гидроэнергети-
ческого водопользования с учетом природоохранных огра-
ничений на использование воды для производства электро-
энергии. Автором приведены преимущества использования
функции дифференциальной плотности вероятностного
распределения расходов стока реки над традиционно при-
меняемой интегральной функцией распределения при анали-
зе гидроэнергетических показателей эксплуатации малых
ГЭС. Проведенный анализ предыдущих исследований диф-
ференциальной плотности показал отсутствие обобщен-
ных результатов по определению данной функции в виде,
необходимом для дальнейших практических применений.
Впервые разработан метод расчета функции дифференци-
альной плотности вероятностного трехпараметрического
гамма-распределения расходов стока реки при произвольных
значениях коэффициентов вариации и асимметрии на осно-
ве применения интерполяции кубическими сплайнами в
окрестности полюсов гамма-функции. Материалы статьи
содержат результаты проведенного исследования в виде
таблиц значений функции дифференциальной плотности
вероятностного гамма-распределения расходов воды. Ука-
занные таблицы рекомендуются к применению инженер-
ными и проектными службами при выполнении гидрологи-
ческих и гидротехнических расчетов в задачах гидроэнер-
гетики. Библ. 18, табл. 3, рис. 3.
Ключевые слова: расходы воды, вероятность, интерполя-
ция, дифференциальная плотность, обеспеченность, рас-
пределение.
Стаття надійшла до редакції 18.09.19
Остаточна версія 23.09.19
http://industrial-wood.ru/transport-lesa/6199-rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html
http://industrial-wood.ru/transport-lesa/6199-rechnoy-stok-i-ego-harakteristiki.html
http://www.icpdr.org/main/activities-projects/hydropower
mailto:hydro@ive.org.ua
|
| id | veorgua-article-217 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:05:35Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/7b/e8180b80af352a070c88d56cb667ae7b.pdf |
| spelling | veorgua-article-2172026-07-18T06:32:13Z METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ЩІЛЬНОСТІ ІМОВІРНІСНОГО ТРИПАРАМЕТРИЧНОГО ГАММА-РОЗПОДІЛУ ВИТРАТ СТОКУ РІЧКИ В ЗАДАЧАХ ГІДРОЕНЕРГЕТИКИ Ibragimova, M. flow discharge, probability, interpolation, probability density function, availability, distribution. витрати води, імовірність, інтерполяція, диференційна щільність, забезпеченість, розподіл. Hydrocarbon deficit, increasing pressure on the environment and problems of resource availability are the major triggers for the transformation of energy industry worldwide. The development of small hydropower also should conform to the principles of rational use of water resources, river conservation and restoration, reducing the human impact, etc. The article focuses on a pressing issue of construction of small hydroelectric power plant with operation modes that comply sustainable water use taking into account environmental constraints on the use of water for electricity generation. The author presents the advantages of density function of probability distribution of river flow discharge over its cumulative probability as a means of analyzing performance indicators of small hydroelectric power plants. The review of previous studies of probability density function showed the absence of summarized results required for further practical applications of this function. There have been developed, for the first time, a method for the calculation of the probability density function of three-parameter Gamma distribution of river flow discharge at random coefficients of variation and asymmetry by cubic spline interpolation in the vicinity of the poles of Gamma function. The article contains the results of a study of probability Gamma distribution of river flow discharge in tabular form of relevant density function values.  These tables are recommended for hydropower engineering and design services when performing hydrological and hydrotechnical calculations. Ref. 18, tab. 3, fig. 3. Очікуваний у найближчому майбутньому дефіцит вуглеводнів, зростаючий тиск на екологію та ресурсозабезпечення існування людства – основні тригери трансформації енергетичної галузі відповідно до ухвалених на Саміті ООН Цілей сталого розвитку. Розвиток малої гідроенергетики також повинен відповідати раціональному використанню водного ресурсу, збереженню та можливому відновленню річкової системи, мінімізації антропогенного впливу.  Дана стаття спрямована на вирішення актуального питання створення малих гідроелектростанцій, технологічні режими роботи якої відповідають принципам раціонального гідроенергетичного водокористування з врахуванням природоохоронних обмежень на використання води для виробництва електроенергії. Автором приведено переваги використання функції диференційної щільності імовірнісного розподілу витрат стоку річки над традиційно застосовуваною інтегральною функцією розподілу при аналізі гідроенергетичних показників експлуатації малих ГЕС. Проведений аналіз попередніх досліджень диференційної щільності засвідчив відсутність узагальнених результатів з визначення даної функції у вигляді, необхідному для подальших практичних застосувань. Вперше розроблено прямий метод розрахунку функції диференційної щільності імовірнісного трипараметричного гамма-розподілу витрат стоку річки за довільних значень коефіцієнтів варіації та асиметрії на основі застосування інтерполяції кубічними сплайнами в околі полюсів гамма-функції. Матеріали статті містять результати проведеного дослідження у вигляді таблиць значень функції диференційної щільності імовірнісного гамма-розподілу витрат води. Зазначені таблиці рекомендуються до застосовування інженерними та проектними службами при виконанні гідрологічних та гідротехнічних розрахунків в задачах гідроенергетики. Бібл. 18, табл. 3, рис. 3. Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2019-09-25 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/217 10.36296/1819-8058.2019.3(58).58-66 Vidnovluvana energetika ; No. 3(58) (2019): Scientific and Applied Journal Vidnovluvana energetika; 58-66 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 3(58) (2019): Научно-прикладной журнал Возобновляемая энергетика; 58-66 Відновлювана енергетика; № 3(58) (2019): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 58-66 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2019.3(58) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/217/152 Copyright (c) 2019 M. Ibragimova https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | flow discharge probability interpolation probability density function availability distribution. Ibragimova, M. METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title | METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title_alt | МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ЩІЛЬНОСТІ ІМОВІРНІСНОГО ТРИПАРАМЕТРИЧНОГО ГАММА-РОЗПОДІЛУ ВИТРАТ СТОКУ РІЧКИ В ЗАДАЧАХ ГІДРОЕНЕРГЕТИКИ |
| title_full | METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title_fullStr | METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title_full_unstemmed | METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title_short | METHOD FOR THE CALCULATION OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF THREE-PARAMETER GAMMA DISTRIBUTION OF RIVER FLOW DISCHARGE RELATED TO HYDROPOWER TASKS |
| title_sort | method for the calculation of probability density function of three-parameter gamma distribution of river flow discharge related to hydropower tasks |
| topic | flow discharge probability interpolation probability density function availability distribution. |
| topic_facet | flow discharge probability interpolation probability density function availability distribution. витрати води імовірність інтерполяція диференційна щільність забезпеченість розподіл. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/217 |
| work_keys_str_mv | AT ibragimovam methodforthecalculationofprobabilitydensityfunctionofthreeparametergammadistributionofriverflowdischargerelatedtohydropowertasks AT ibragimovam metodrozrahunkudiferencíjnoíŝílʹnostíímovírnísnogotriparametričnogogammarozpodíluvitratstokuríčkivzadačahgídroenergetiki |