DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS
An analytical model for the flow of heat carrier in natural-circulation (thermosiphon) solar water heaters is presented. A differential equation for the flow velocity   is derived, accounting for the gravitational driving head due to density differences between hot and cold...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2025
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/553 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Vidnovluvana energetika |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1871103981201129472 |
|---|---|
| author | Golovko , V. Volodarskyi , V. |
| author_facet | Golovko , V. Volodarskyi , V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. Golovko ",
"institution": "National Technical University of Ukraine «Ihor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute»; Kyiv, Ukraine. Institute of Renewable Energy NAS Ukraine, Kyiv, Ukraine"
},
{
"author": "V. Volodarskyi ",
"institution": "Institute of Renewable Energy NAS Ukraine, Kyiv, Ukraine"
}
] |
| author_sort | Golovko , V. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-18T06:32:22Z |
| description | An analytical model for the flow of heat carrier in natural-circulation (thermosiphon) solar water heaters is presented. A differential equation for the flow velocity   is derived, accounting for the gravitational driving head due to density differences between hot and cold fluid and for hydraulic losses (friction and local resistances). The time evolution of the temperature difference   between the heated and cold sections of the loop is characterized and described by a generalized gamma-like function with a controllable peak. Using the derived model, the unsteady velocity and volumetric flow rate of the circulating fluid are simulated numerically. Graphs of   are provided, as well as a surface   illustrating the relationship between flow rate, time, and temperature head. The conclusions highlight the scientific novelty of the results, their practical significance for designing efficient thermosyphon solar heaters, and directions for further research, including accounting for nonlinear fluid properties and system optimization.  |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2025.3(82).89-96 |
| first_indexed | 2025-10-01T01:30:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
89
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
УДК 621.311 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).89-96
ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ РУХУ ТЕЧІЇ ЗА ВІЛЬНОЇ ЦИРКУЛЯЦІЇ ТЕПЛОНОСІЯ В СОНЯЧНИХ
ВОДОНАГРІВАЛЬНИХ УСТАНОВКАХ
Отримано 15 черв. 2025 р.; рекомендовано до публікації 22 вер. 2025 р.
Доступно онлайн 30 вер. 2025 р.
Головко В. М.1, Володарський В. Г.2
Автор для кореспонденції: Головко Володимир,
e-mail: golovkovm@ukr.net
Анотація. У статті наведена математична модель руху
теплоносія в системах сонячного водонагрівання з приро-
дною (вільною) циркуляцією. Отримано диференціальне
рівняння для швидкості течії , яке враховує гравітаційний
напір, викликаний різницею густини гарячого й холодного
теплоносія, та гідравлічні втрати на тертя й місцеві опори. Розглянуто характер зміни різниці тем-
ператур між нагрітою та холодною ділянками контуру протягом технологічного періоду нагрівання
та запропоновано опис цієї залежності узагальненою гамма-подібною функцією з регульованим піком.
На основі отриманої моделі виконано чисельне моделювання нестаціонарної швидкості руху теплоно-
сія та об’ємної витрати. Наведено графіки залежностей, а також поверхню, що ілюструє взає-
мозв’язок між витратою, часом та температурним напором. У висновках окреслено новизну отрима-
них результатів, практичну цінність для розробки ефективних сонячних геліосистем з природною
циркуляцією, а також можливі напрями подальших досліджень, зокрема врахування нелінійних власти-
востей теплоносія та оптимізація конструкції систем.
Ключові слова: відновлювані джерела енергії, енергія сонячного випромінювання, природна циркуляція,
сонячний водонагрівач, швидкість течії, температурний напір.
DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR
WATER HEATING SYSTEMS
Received Jun. 15, 2025; accepted Sept. 22, 2025
Available online Sept. 30, 2025
Golovko V.1, Volodarskyi V.2
Author for correspondence: Golovko Volodymyr,
e-mail: golovkovm@ukr.net
Abstract. An analytical model for the flow of heat carrier in nat-
ural-circulation (thermosiphon) solar water heaters is pre-
sented. A differential equation for the flow velocity is derived,
accounting for the gravitational driving head due to density dif-
ferences between hot and cold fluid and for hydraulic losses
(friction and local resistances). The time evolution of the temperature difference between the heated and cold
sections of the loop is characterized and described by a generalized gamma-like function with a controllable peak.
Using the derived model, the unsteady velocity and volumetric flow rate of the circulating fluid are simulated
numerically. Graphs of are provided, as well as a surface illustrating the relationship between flow rate, time,
and temperature head. The conclusions highlight the scientific novelty of the results, their practical significance
for designing efficient thermosyphon solar heaters, and directions for further research, including accounting for
nonlinear fluid properties and system optimization.
1 д-р. техн. наук, професор.
https://orcid.org/0000-0003-0195-9654
2 аспірант
https://orcid.org/0009-0002-6133-2298
1 Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут імені Ігоря
Сікорського», м. Київ, Україна
1,2 Інститут відновлюваної енергетики НАН Ук-
раїни, м. Київ, Україна
1 Dr. of Tech. Sciences, professor.
https://orcid.org/0000-0003-0195-9654
2 Postgraduate Student
https://orcid.org/0009-0002-6133-2298
1 National Technical University of Ukraine «Ihor
Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute»; Kyiv,
Ukraine.
1, 2 Institute of Renewable Energy NAS Ukraine,
Kyiv, Ukraine
90
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
Keywords: renewable energy sources, solar radiation energy, natural circulation, solar water heater, flow rate,
temperature head.
Вступ. Сонячні водонагрівальні системи з природною
(вільною) циркуляцією теплоносія, відомі як термоси-
фонні, широко застосовуються завдяки простоті та на-
дійності. У таких системах рух теплоносія відбувається
без насосів – за рахунок різниці густини нагрітого та хо-
лодного теплоносія. Гарячий теплоносій піднімається у
верхній теплообмінник (бак-накопичувач), а охолодже-
ний опускається вниз до колектора, утворюючи замкне-
ний цикл циркуляції. Ефективність роботи термосифон-
ного сонячного водонагрівача значною мірою залежить
від швидкості циркуляції теплоносія і пов’язаної з нею
теплової витрати, оскільки надто повільний потік може
призводити до перегрівання колектора, а надто швид-
кий – до недогрівання теплоносія [4]. Тому розуміння
закономірностей руху теплоносія за природної циркуля-
ції є важливим для оптимального проєктування таких
систем і керування ними.
Аналіз природної циркуляції в геліосистемах вимагає
врахування нерівномірного нагрівання протягом техно-
логічного періоду, гідравлічного опору трубопроводів та
інерційних властивостей рідини. Раніше проведено ряд
досліджень, присвячених моделюванню й експеримен-
тальному вивченню термосифонних контурів. Зокрема,
у роботі Содха і Тіварі (1981) виконано один з перших
аналізів ефективності природної циркуляції в сонячних
водонагрівачах. У наступних дослідженнях приділяли
увагу як стаціонарним режимам, так і перехідним про-
цесам, включно з питаннями стабільності природної ци-
ркуляції [5]. Експериментальні роботи (Shitzer et al.,
1979; Zvirin et al., 1977) підтвердили залежність витрати
від температурного напору та дозволили верифікувати
математичні моделі термосифонних систем [6]. У вітчи-
зняній науковій літературі питання моделювання при-
родної циркуляції теплоносія в енергетичних установках
та геліосистемах розглянуто, зокрема, у навчальних по-
сібниках Риндюка і Дяківа [1] та УДХТУ (2017) [2], де на-
ведено методи розрахунку теплових процесів у замкне-
них контурах.
Незважаючи на наявність значного доробку, аналітич-
ний опис нестаціонарної швидкості теплоносія в термо-
сифонних системах залишається актуальним. У цій статті
пропонується вивести співвідношення, що описують ди-
наміку розгону теплоносія від початку нагрівання, та
отримати явну форму диференціального рівняння руху.
Такий підхід дозволяє поглиблено зрозуміти вплив ос-
новних параметрів (геометрія контуру, властивості рі-
дини, профіль нагрівання) на характер течії.
Постановка завдання. Метою роботи є визначення шви-
дкості течії теплоносія ( )v t у замкненому контурі соняч-
ного водонагрівача з природною циркуляцією. Для дося-
гнення цієї мети необхідно виконати такі завдання:
• визначити рівняння руху рідини в контурі на основі
закону збереження кількості руху (закону Ньютона) з
урахуванням рушійної сили (гравітаційного напору)
та сил опору;
• встановити різницю густини гарячого і холодного те-
плоносія через різницю температур ( )T t та її
вплив на рівняння руху;
• отримати диференціальне рівняння для швидкості
( )v t і проаналізувати його структуру;
• задати функцію зміни ( )T t протягом технологіч-
ного періоду нагрівання на основі експерименталь-
них даних або відомих моделей;
• розв’язати отримане рівняння чисельно для заданих
умов та побудувати графіки залежностей ( ), ( )v t Q t
тощо;
• проаналізувати результати моделювання, зокрема
вплив температурного режиму на характер течії.
Виклад основного матеріалу. Для опису руху теплоно-
сія приймаються типові спрощення, що використову-
ються в однофазних моделях термосифонних контурів
[5]. Вважаємо, що контур можна звести до еквівалент-
ної замкненої трубки постійного перерізу S , заповне-
ної рідиною з середніми термофізичними властивос-
тями (густина , кінематична в’язкість тощо). Нагрів
відбувається в нижній частині контуру (сонячний колек-
тор), охолодження – у верхній (бак). Вертикальна відс-
тань між центрами нагрівання й охолодження позна-
чена як h . Під час нагрівання рідини в колекторі її
густина зменшується, тоді як в охолодженій частині ко-
нтуру густина вища. Це створює гідростатичний напір,
який змушує рідину підійматися вгору вздовж нагрітого
стояка і спричиняти її циркуляцію.
Гравітаційний напір. Для оцінки рушійної сили викори-
стовуємо закон Паскаля для різниці гідростатичного ти-
ску. Різниця тисків між холодною та нагрітою гілками ве-
ртикального контуру визначається як:
( )хол гар хол гарp gh gh gh = − = − , (1)
де: хол – густина холодного (ненагрітого) теплоносія;
гар – густина нагрітого теплоносія; g – прискорення
вільного падіння; h – ефективна висота між гарячою і
холодною зонами.
Вираз (1) показує, що різниця тиску p прямо пропор-
ційна різниці густин ( )хол гар − . Оскільки
хол гар , то 0p , тобто виникає надлишковий
тиск, спрямований знизу вгору вздовж нагрітого стояка,
який і спричиняє рух рідини. Цей тиск називають граві-
таційним (архімедовим) напором. [7]
Залежність густини від температури. Зв’язок між густи-
ною рідини й температурою можна лінеаризувати для
91
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
діапазону робочих температур. Припустимо, що густина
змінюється за законом:
0 0( ) [1 ( )]T T T − − , (2)
де:
0 – густина за деякої опорної температури 0T (на-
приклад, за кімнатної температури або при 0T , рівному
середній температурі контуру); – коефіцієнт об’єм-
ного теплового розширення теплоносія (для води
4 13*10 K − −= у діапазоні 20–80 °C [8]). Для невели-
ких перепадів температур використання лінійної апрок-
симації є цілком обґрунтованим [2]. Тоді різницю густин
можна виразити через різницю температур між холод-
ною та гарячою ділянками: якщо
гар холT T T = − (де
гарT – температура теплоносія на виході з колектора,
холT – температура на вході), то із (2) випливає
0 0( )хол гар гар холT T T − − = , (3)
Після підстановки (3) у рівняння гравітаційного напору
(1), отримаємо:
0p gh T = , (4)
Таким чином, рушійний надлишковий тиск прямо про-
порційний різниці температур T між нагрітим і холо-
дним теплоносієм. Отриманий вираз (4) узгоджується з
фізичною природою термосифонної циркуляції: що бі-
льше нагрівання, то більша різниця густини і, відпо-
відно, більша сила, що витискає рідину вгору.
Підйомна сила. Різниця тиску p діє на поперечний пе-
реріз потоку площею S і створює підйомну силу ПF :
0*ПF p S TghS = = , (5)
Сила ПF – це підйомна сила, що розганяє теплоносій у
контурі. Її зрівноважують сили опору (тертя і місцевих
опорів), які виникають при протіканні рідини трубопро-
водом.
Втрати на тертя і місцеві опори. Під час руху рідини тру-
бами частина напору витрачається на подолання гідра-
влічного опору. Розрізняють два види втрат: втрати на
тертя вздовж довжини труб та місцеві втрати (у вигинах,
звуженнях, трійниках, на вході-виході бака тощо). Тиск
втрат позначимо
Тp (втрати на тертя) і Мp (місцеві).
Для стаціонарної течії відомі інженерні формули: втрати
тиску на тертя можна обчислити за рівнянням Дарсі –
Вейсбаха [9]:
2
2
Т
L v
p
D
= , (6)
де: – коефіцієнт гідравлічного тертя (залежить від ре-
жиму течії та шорсткості труб); L – повна еквівалентна
довжина контуру; D – внутрішній діаметр труб; – гу-
стина рідини (припускаємо, що зміна густини вздовж
контуру незначна і можна брати середнє значення); v –
швидкість течії. Вираз (6) відображає квадратичну зале-
жність втрат тиску від швидкості (для ламінарного або
перехідного режиму течії в першому наближенні також
можна використати цей підхід).
Місцеві втрати описуються формулою [9]:
2
2
М
v
p
= , (7)
де – сумарний коефіцієнт місцевих опорів контуру
[9]. Він дорівнює сумі коефіцієнтів опору окремих еле-
ментів (для прикладу, вхід рідини в трубу з бака
0.5 , плавний колінчастий вигин 0.2 0.3 − ,
звуження 0.4 0.8 − , зворотний клапан
0.2 0.5 − тощо [9]).
Повні втрати тиску на опір потоку дорівнюють сумі (6) і
(7) [10] :
2
( )
2
заг Т М
L v
p p p
D
= + = + , (8)
Сила опору потоку аналогічно визначається як
2
* ( )
2
В заг
L v
F p S S
D
= = + . Зазначимо, що
сила опору зростає пропорційно квадрату швидкості й
за достатньо великого v зрівноважує рушійну силу,
встановлюючи граничну сталу швидкість (режим набли-
ження до статичного балансу сил тяжіння і тертя).
Рівняння руху (рівняння природної циркуляції). Скори-
стаємося другим законом Ньютона, записаним для кон-
трольного об’єму рідини, що рухається в контурі. Нехай
у контурі циркулює об’єм рідини *V L S= (довжина
L , переріз S ). Тоді маса рідини m V LS = = . Рів-
няння руху у формі закону збереження імпульсу можна
записати так:
П В
dv
m F F
dt
= − , (9)
де: ПF – підйомна сила (5),
ВF – сила опору (сума всіх
гідравлічних опорів). Підставимо в (9) вирази:
m LS= , ПF з (5) і
ВF . Отримаємо:
2
0 ( )
2
dv L v
LS TghS S
dt D
= − + , (10)
Скоротимо S (площа перерізу, яка є доданком у кож-
ному члені рівняння) та для спрощення припустимо
0 (невелика зміна густини не впливає істотно на
інерційний член і втрати, тому беремо середнє зна-
чення густини за контуром рівним
0 ). Тоді рівняння
(10) набуває вигляду:
2
0
0 0 ( )
2
vdv L
L Tgh
dt D
= − + , (11)
92
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
Поділимо обидві частини (11) на
0L :
2( )
2
L
dv gh DT t v
dt L L
+
= − , (12)
Рівняння (12) – відображає баланс між рушійним при-
скоренням (перший доданок праворуч, пропорційний
( )T t ) та уповільнювальним впливом гідравлічного
опору (другий доданок, пропорційний
2v ). Величина
( )T t у загальному випадку є функцією часу, оскільки
температура в колекторі змінюється протягом техноло-
гічного періоду нагрівання під дією сонячного випромі-
нювання, а температура в баку – внаслідок відбору теп-
лоти і втрат. Таким чином, рівняння (12) є нелінійним
диференціальним рівнянням Ріккаті з коефіцієнтами,
що залежать від часу (через ( )T t ) [11]. Відзначимо,
що якщо різниця температур підтримується сталою
T const = ), рівняння (12) має аналітичний розв’язок.
Зокрема, при
0T T const = = розв’язок описує ви-
хід на усталену швидкість стv , яка визначається нулем
правої частини рівняння:
2
0 0
2
ст
L
gh DT v
L L
+
− = . Звідси отримуємо сталу
швидкість 02
ст
gh T
v
L
D
=
+
. Для нестаціонарного ви-
падку ( )T t змінне, тому для рівняння (12) проведене
чисельне інтегрування [5].
Зміна температурного напору протягом доби. Харак-
тер зміни різниці температур ( )T t між виходом з ко-
лектора і входом у колектор суттєво впливає на поведі-
нку потоку [2]. На світанку, коли колектор лише починає
нагріватися, T близька до нуля і рух теплоносія відсу-
тній (стагнація). Далі, у міру зростання сонячного випро-
мінювання, температура на виході з колектора швидко
збільшується, перевищуючи температуру в баку, і
( )T t стрімко зростає – починається ранкова фаза ро-
згону потоку. Близько полудня T досягає свого мак-
симуму (пік нагрівання). Після чого, у другій половині
дня, різниця температур поступово зменшується, оскі-
льки інтенсивність сонячного нагрівання спадає, і тем-
ператури в контурі вирівнюються – настає післяобідня
фаза уповільнення циркуляції [3]. Згідно з експеримен-
тальними спостереженнями та результатами чисель-
ного моделювання, функція ( )T t для сонячної водо-
нагрівальної системи може бути узагальнено описана
кривою, що має нуль на початку дня, один виражений
максимум у полудень та асимптотично знижується до
нуля у вечірні години. Для аналітичного задання такої
кривої зручно використати нормалізовану гамма-поді-
бну функцію з керованою формою піка [3].
Запишемо її явний вигляд:
( (1 ))
max( ) ( )
t
n
nt
T t T e
−
= , (13)
де: maxT – максимально можлива різниця температур у
системі (значення T у момент піка при t = ); пара-
метр – час досягнення пікової різниці температур
(відлічується від початку нагрівання); параметр n хара-
ктеризує гостроту й ширину піка (рекомендовані зна-
чення 2 4n = − для термосифонних систем). Функція
(13) описує криву, що відповідає зазначеним фазам: при
0t = значення 0T = (ранковий розгін); при t =
отримуємо
max( )T T = (максимум); при t мно-
жник
( (1 ))
t
n
e
−
задає експоненціальне спадання, тому
T зменшується (післяобідня фаза). На рис. 1 наве-
дено типову форму ( )T t згідно з (13) для параметрів
max 30T C= , 5год = , 3n = .
Функція (13) задовольняє основні фізичні вимоги до мо-
делі температурного напору: вона неперервна, дифере-
нційована, має єдиний екстремум (максимум) та асим-
птотично прямує до нуля при t → . Поведінка (13)
добре узгоджується з результатами чисельного моде-
лювання температурних режимів у природних циркуля-
ційних системах [3]. Аналогічні за формою функції вико-
ристовуються і для опису інших нестаціонарних
теплових процесів, наприклад для аналітичного
розв’язку задач про температурне поле від рухомого
джерела теплоти [3]. У цьому разі застосування гамма-
подібної функції дозволяє гнучко змінювати параметри
піка ( )T t залежно від кліматичних умов та конструк-
ції конкретної системи (через maxT , , n ), що є зруч-
ним для дослідження різних сценаріїв.
Визначення диференціального рівняння швидкості. Пі-
дставимо функцію (13) для ( )T t у рівняння руху (12).
Тоді рівняння (12) набуває вигляду:
( (1 ))
2
max ( )
2
t
n
n
L
dv gh t DT e v
dt L L
−
+
= − , (14)
Рівняння (14) – нелінійне диференціальне рівняння Рік-
каті з явно заданою залежністю коефіцієнтів від часу t .
Аналітичного розв’язку в замкнутій формі для такого рі-
вняння не існує [11]. Це зумовлено складним характе-
ром функції ( )T t : права частина (14) є неполіноміаль-
ною функцією часу. Відомі методи розв’язання рівнянь
Ріккаті (підстановкою в лінійне рівняння другого по-
рядку) не дають спрощення через наявність експоненці-
ально-залежного від t коефіцієнта при 0v . Тому для
аналізу поведінки ( )v t доцільно застосувати чисельне
інтегрування.
93
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
Рис. 1. Залежність температурної різниці ( )T t , заданої узагальненою гамма-подібною функцією (параме-
три:
max 30T C= , 5год = , 3n = )
Fig. 1. Dependence of the temperature difference ( )T t defined by the generalized gamma-like function
(parameters:
max 30T C= , 5год = , 3n = )
Перед проведенням чисельного експерименту визна-
чимо початкові умови. На початку процесу, при 0t = ,
вважаємо, що теплоносій перебуває в стані спокою.
Отже,
(0) 0v = , (15)
а початкова різниця температур також відсутня:
(0) 0T = (колектор і бак мають однакову темпера-
туру на початку процесу нагрівання). Це означає, що в
момент старту процесу ліва частина (14) і обидва дода-
нки правої рівні нулю, тобто система перебуває в нестій-
кій рівновазі (будь-яке невелике зростання max ( )T t
приведе до появи рушійної сили і початку руху). Дифе-
ренціальне рівняння (14) з початковою умовою (15)
було проінтегровано чисельно методом Рунге – Кутта
4(5) порядку (явний метод зі змінним кроком, що реалі-
зовано, функцією ode45 у MATLAB). Розрахунок прово-
дився для низки сценаріїв, зокрема для характерних
значень параметрів контуру і різних максимальних тем-
пературних напорів. Нижче розглянуто приклад типової
геліосистеми: висота контуру 1.2h м= , довжина труб
10L м= , діаметр труб 20D мм= , теплоносій – вода
(
4 13*10 К − −= ,
3
1000
кг
м
= ), коефіцієнт тертя
0.1 = (умовно сталий у межах робочого режиму), су-
марний коефіцієнт місцевих опорів 20 = . Параметри
функції ( )T t вибрано як
max 30T C= , 5год = ,
3n = , що відповідає сонячному ясному дню з різким
виходом на максимум опівдні та помірним спадом після
полудня.
Чисельне моделювання та результати. Розв’язок рів-
няння (14) для описаних умов дає залежність швидкості
( )v t теплоносія в контурі. За допомогою цієї швидкості
можна знайти й об’ємну витрату: ( ) ( )Q t v t S= , де
2
4
D
S
= – площа поперечного перерізу труб. На
рис. 2 наведено зміну швидкості ( )v t протягом техно-
логічного періоду нагрівання. Спочатку, коли T мала,
швидкість залишається близькою до нуля. Далі, прибли-
зно від 1t год, коли колектор прогрівається і T пе-
ревищує певний поріг, швидкість починає зростати.
Вона досягає максимуму max 0.043v м/с приблизно
через 5 год, тобто трохи пізніше максимуму T (який
був о 12:00). Невелике відставання піка ( )v t від піка
( )T t зумовлене інерційністю системи: навіть після
того, як рушійний перепад температур почав спадати,
течія ще деякий час залишається значною через кінети-
чну енергію рідини. Після максимуму швидкість посту-
пово спадає внаслідок зменшення T і зростання
впливу сил тертя при меншому рушійному напорі. До кі-
нця періоду нагрівання ( 10t год) ( )v t прямує до
нуля, коли нагрівання майже припиняється. Отже цир-
куляція практично зупиняється із заходом сонця.
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14
Δ
T,
⁰C
t, год
94
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
Рис. 2. Зміна швидкості теплоносія ( )v t протягом технологічного періоду нагрівання (параметри системи
зазначені в тексті)
Fig. 2. Variation of the heat carrier velocity ( )v t during the technological heating period (system parameters are
specified in the text).
На рис. 3 наведена просторово-часова залежність
( , )Q t T у вигляді поверхні. На горизонтальних осях
відкладений час t та відповідне значення T (що змі-
нюється з часом відповідно до (13)), на вертикальній
осі – миттєве значення витрати Q . Поверхня побудо-
вана для кількох сценаріїв з різними значеннями maxT
(від 0.5 до 30 °C), що еквівалентно різним рівням нагрі-
вання колектора. Як видно, при більших максимальних
перепадах температур (жовто-зелена частина поверхні)
досягаються відповідно більші витрати Q . Крива на пе-
редньому плані (синій край) відповідає найменшому
max 5T С= – у цьому випадку циркуляція ледь почи-
нається і швидко згасає. Зі збільшенням maxT поверхня
розгортається вгору та розширюється в часі, відобража-
ючи посилення і подовження циркуляції. Така тривимі-
рна візуалізація підтверджує, що для цієї системи Q од-
нозначно визначається станом T у час t (при
фіксованих інших параметрах): більший температурний
напір зумовлює вищу витрату, але залежність нелінійна
і проявляється гістерезис – наприклад, на фазі розгону і
фазі спаду однакові значення T дають дещо різні Q
через інерційність (на початку процесу нагрівання крива
поверхні піднімається швидше, ніж опускається в кінці
процесу).
Отримані результати узгоджуються з фізичним уявлен-
нями про роботу термосифонних систем. Зокрема, мо-
дель демонструє, що існує певний критичний показник
нагрівання, після якого система «самозапускається» –
до цього моменту циркуляція була відсутня. Це пояснює
затримку початку руху вранці, коли сонячна радіація ще
недостатня для подолання сил в’язкого тертя. Також ма-
ксимальна швидкість і витрата визначаються балансом
між гравітаційним напором і втратами: збільшення те-
ртя (наприклад, у довшому або вужчому трубопроводі)
призведе до меншої пікової швидкості, навіть якщо
maxT високий. Модель дозволяє оцінити вплив кожного
параметра. Наприклад, збільшення висоти h підйому
бака підсилює рушійну силу (пропорційно h в (12)) –
відповідно швидкість зростає, тоді як збільшення дов-
жини L чи коефіцієнтів опору , підсилює гальмів-
ний член – швидкість зменшується. Таким чином, рів-
няння (12) і чисельні експерименти на його основі
можуть бути використані для оптимізації конструкції:
вироблення рекомендацій щодо вибору висоти встано-
влення бака, діаметра труб, спрощення траси трубопро-
воду (щоб зменшити ) тощо. Варто зазначити, що за-
пропонована модель є однофазною і не враховує
можливого закипання теплоносія. У реальних умовах за
дуже високого нагрівання колектора (понад 100 C для
відкритих систем на воді) може відбутися пароутво-
рення, що якісно змінює характер циркуляції (двофаз-
ний термосифон). Окрім того, ця модель не враховує
зворотного термосифонного потоку вночі, коли вода в
баку тепліша, ніж в колекторі – у таких умовах T змі-
нює знак і в рівнянні (12) рушійний член стає негатив-
ним, що могло б описати зворотну циркуляцію.
95
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
Рис. 3. Поверхня залежності об’ємної витрати Q від часу t і різниці температур T . Показано результати
для кількох рівнів максимального нагріву (колірним переходом від синього при
max 5T C= до жовтого при
max 30T C= )
Fig. 3. Surface of the volumetric flow rate Q as a function of time t and temperature difference T . The results are
shown for several levels of maximum heating (with a color transition from blue at
max 5T C= to yellow at
max 30T C= ).
Висновки
1. Проведені дослідження процесу природної циркуля-
ції теплоносія в замкненому контурі сонячної водонагрі-
вальної установки дозволили отримати диференціа-
льне рівняння, що описує зміну швидкості течії під дією
гравітаційного напору та гідравлічного опору. Запропо-
новано описувати нестаціонарний температурний напір
у контурі сонячної водонагрівальної установки узагаль-
неною гамма-подібною функцією.
2. Аналітична модель та отримані графічні результати
оцінюють характер течії в термосифонній системі за за-
даних умов. Рівняння (12) – (13) і похідні від них розра-
ховують час розгону циркуляції від нуля до робочого ре-
жиму, максимальну швидкість потоку та витрату, час їх
досягнення, а також час затухання циркуляції після зни-
ження нагріву. Це дозволяє здійснити вибір потрібних
параметрів системи: діаметра і довжини труб, висоти
розміщення бака, об’єму теплоносія тощо. Результати
моделювання показали, що для запуску природної цир-
куляції існує порогове значення, а також виявлено гісте-
резис у зміні витрати в фазі розгону і спадання.
3. Виявлено потенціал розвитку моделі шляхом враху-
вання температури теплоносія більш детально вздовж
контуру під час розв’язування спільно рівняння руху та
енергетичного балансу. Врахування двофазних режи-
мів – кипіння і конденсації, що потребує внесення в мо-
дель додаткових членів або використання складніших
станів рівнянь. Дослідження стабільності розв’язків рів-
няння (14), оскільки відомо, що в природних циркуляцій-
них петлях можливі автоколивання і біфуркації за певних
умов. Впровадження додаткових методів інтенсифікації
теплообміну в зоні нагрівання та перетоку між колекто-
ром та баком для забезпечення раннього запуску цирку-
ляції, зниження температурного навантаження на колек-
тор і підвищення загальної ефективності сонячних
установок з природною циркуляцією.
ПОСИЛАННЯ
1. Риндюк Д. В., Дьяків О. І. Математичне моделю-
вання теплових процесів в енергетиці та промис-
ловості: Конспект лекцій. Київ: КПІ ім. Ігоря Сікор-
ського, 2020. [Електронне джерело:
https://ela.kpi.ua/handle/123456789/41557]
2. Теплові процеси. Конспект лекцій. УДХТУ, 2017.
[https://udhtu.edu.ua/wp-
content/uploads/2017/08/Paht_2768.pdf]
96
Відновлювана енергетика. № 3/2025 | Сонячна енергетика
3. Huang Y., Chen C. Analytic study of temperature
solutions due to gamma-type moving heat sources. //
Int. J. Heat Mass Transfer. 2005. Vol. 48. No. 25–26.
P. 5530–5541.
[https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.07.
004]
4. Yi-Mei Liu, Kung-Ming Chung, Keh-Chin Chang, Tsong-
Sheng Lee, Performance of Thermosyphon Solar Water
Heaters in Series, Energies 2012, 5, 3266-3278;
doi:10.3390/en5093266
5. Knaani, A. , Zvirin, Yoram, NATURAL CIRCULATION
LOOPS, THERMOSYPHONS, 2011,
doi:10.1615/AtoZ.n.natural_circulation_loops_thermo
syphons
6. Mertol, A., Greif, R., Review of Thermosyphon Solar
Water Heaters. In: Yüncü, H., Paykoc, E., Yener, Y. (eds)
Solar Energy Utilization. NATO ASI Series, vol 129.
Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-
009-3631-7_28
7. Гащук П .М., ЕНЕРГІЯ ТА УПОРЯДКОВАНИЙ РУХ,
Львів, Українські технології, 2004. 606 с.
8. Яворський Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Довід-
ник з фізики для інженерів та студентів вищих навча-
льних закладів / Переклад з 8-го переробл. і випр.
вид. Тернопіль: Навчальна книга — Богдан, 2007.
1040 с. ISBN 966-692-818-3.
9. Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гід-
ропривід: Підручник. Київ: Фірма «Інкос», Центр на-
вчальної літератури, 2006. 616 с. ISBN 966-8347-38-2
10. Світлий Ю. Г., Білецький В. С. Гідравлічний транспорт
(монографія). Донецьк: Східний видавничий дім, До-
нецьке відділення НТШ, «Редакція гірничої енцикло-
педії», 2009. 436 с.
11. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Дифе-
ренціальні рівняння: Підручник. К.: Либідь, 2003. 600 с.
REFERENCES
1. Ryndiuk D. V., Diakiv O. I. Mathematical Modeling of
Thermal Processes in Energy and Industry: Lecture
Notes. Kyiv: Igor Sikorsky KPI, 2020. [Electronic source:
https://ela.kpi.ua/handle/123456789/41557]
2. Thermal Processes. Lecture Notes. UDHTU, 2017.
[https://udhtu.edu.ua/wp-content/up-
loads/2017/08/Paht_2768.pdf]
3. Huang Y., Chen C. Analytic study of temperature solu-
tions due to gamma-type moving heat sources. Interna-
tional Journal of Heat and Mass Transfer, 2005, Vol. 48,
No. 25–26, pp. 5530–5541.
[https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.07.0
04]
4. Yi-Mei Liu, Kung-Ming Chung, Keh-Chin Chang, Tsong-
Sheng Lee. Performance of Thermosyphon Solar Water
Heaters in Series. Energies, 2012, 5, pp. 3266–3278.
[https://doi.org/10.3390/en5093266]
5. Knaani A., Zvirin Y. Natural Circulation Loops, Thermosy-
phons. 2011. [https://doi.org/10.1615/AtoZ.n.natu-
ral_circulation_loops_thermosyphons]
6. Mertol A., Greif R. Review of Thermosyphon Solar Wa-
ter Heaters. In: Yüncü H., Paykoc E., Yener Y. (eds) Solar
Energy Utilization. NATO ASI Series, vol 129. Springer,
Dordrecht. [https://doi.org/10.1007/978-94-009-3631-
7_28]
7. Hashchuk P. M. Energy and Ordered Motion. Lviv:
Ukrainski Tekhnologii, 2004. 606 p.
8. Yavorskyi B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Handbook of
Physics for Engineers and University Students. 8th re-
vised and updated ed., translated. Ternopil: Navchalna
Knyha – Bohdan, 2007. 1040 p. ISBN 966-692-818-3.
9. Kulinchenko V. R. Hydraulics, Hydraulic Machines and
Hydraulic Drive: Textbook. Kyiv: Inkos Publishing, Center
of Educational Literature, 2006. 616 p. ISBN 966-8347-
38-2.
10. Svitlyi Yu. H., Biletskyi V. S. Hydraulic Transport (Mono-
graph). Donetsk: Skhidnyi Publishing House, Donetsk
Branch of Shevchenko Scientific Society, "Editorial
Board of Mining Encyclopedia", 2009. 436 p.
11. Samoilenko A. M., Perestyuk M. O., Parasyuk I. O. Dif-
ferential Equations: Textbook. Kyiv: Lybid, 2003. 600 p.
|
| id | veorgua-article-553 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-19T01:16:50Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/47/a7d0ad837d662c1f5267b2e9eb4c0747.pdf |
| spelling | veorgua-article-5532026-07-18T06:32:22Z DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ РУХУ ТЕЧІЇ ЗА ВІЛЬНОЇ ЦИРКУЛЯЦІЇ ТЕПЛОНОСІЯ В СОНЯЧНИХ ВОДОНАГРІВАЛЬНИХ УСТАНОВКАХ Golovko , V. Volodarskyi , V. renewable energy sources, solar radiation energy, natural circulation, solar water heater, flow rate, temperature head. відновлювані джерела енергії, енергія сонячного випромінювання, природна циркуляція, сонячний водонагрівач, швидкість течії, температурний напір. An analytical model for the flow of heat carrier in natural-circulation (thermosiphon) solar water heaters is presented. A differential equation for the flow velocity   is derived, accounting for the gravitational driving head due to density differences between hot and cold fluid and for hydraulic losses (friction and local resistances). The time evolution of the temperature difference   between the heated and cold sections of the loop is characterized and described by a generalized gamma-like function with a controllable peak. Using the derived model, the unsteady velocity and volumetric flow rate of the circulating fluid are simulated numerically. Graphs of   are provided, as well as a surface   illustrating the relationship between flow rate, time, and temperature head. The conclusions highlight the scientific novelty of the results, their practical significance for designing efficient thermosyphon solar heaters, and directions for further research, including accounting for nonlinear fluid properties and system optimization.  У статті наведена математична модель руху теплоносія в системах сонячного водонагрівання з природною (вільною) циркуляцією. Отримано диференціальне рівняння для швидкості течії , яке враховує гравітаційний напір, викликаний різницею густини гарячого й холодного теплоносія, та гідравлічні втрати на тертя й місцеві опори. Розглянуто характер зміни різниці температур   між нагрітою та холодною ділянками контуру протягом технологічного періоду нагрівання та запропоновано опис цієї залежності узагальненою гамма-подібною функцією з регульованим піком. На основі отриманої моделі виконано чисельне моделювання нестаціонарної швидкості руху теплоносія та об’ємної витрати. Наведено графіки залежностей, а також поверхню, що ілюструє взаємозв’язок між витратою, часом та температурним напором. У висновках окреслено новизну отриманих результатів, практичну цінність для розробки ефективних сонячних геліосистем з природною циркуляцією, а також можливі напрями подальших досліджень, зокрема врахування нелінійних властивостей теплоносія та оптимізація конструкції систем.  Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2025-09-28 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/553 10.36296/1819-8058.2025.3(82).89-96 Vidnovluvana energetika ; No. 3(82) (2025): Scientific and applied Journal renewable energy ; 89-96 Возобновляемая энергетика; ##issue.no## 3(82) (2025): Scientific and applied Journal renewable energy ; 89-96 Відновлювана енергетика; № 3(82) (2025): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 89-96 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2025.3(82) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/553/463 Copyright (c) 2025 V. Golovko , V. Volodarskyi https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |
| spellingShingle | renewable energy sources solar radiation energy natural circulation solar water heater flow rate temperature head. Golovko , V. Volodarskyi , V. DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title | DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title_alt | ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ РУХУ ТЕЧІЇ ЗА ВІЛЬНОЇ ЦИРКУЛЯЦІЇ ТЕПЛОНОСІЯ В СОНЯЧНИХ ВОДОНАГРІВАЛЬНИХ УСТАНОВКАХ |
| title_full | DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title_fullStr | DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title_full_unstemmed | DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title_short | DETERMINATION OF FLOW VELOCITY UNDER FREE CIRCULATION OF HEAT CARRIER IN SOLAR WATER HEATING SYSTEMS |
| title_sort | determination of flow velocity under free circulation of heat carrier in solar water heating systems |
| topic | renewable energy sources solar radiation energy natural circulation solar water heater flow rate temperature head. |
| topic_facet | renewable energy sources solar radiation energy natural circulation solar water heater flow rate temperature head. відновлювані джерела енергії енергія сонячного випромінювання природна циркуляція сонячний водонагрівач швидкість течії температурний напір. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/553 |
| work_keys_str_mv | AT golovkov determinationofflowvelocityunderfreecirculationofheatcarrierinsolarwaterheatingsystems AT volodarskyiv determinationofflowvelocityunderfreecirculationofheatcarrierinsolarwaterheatingsystems AT golovkov viznačennâšvidkostíruhutečíízavílʹnoícirkulâcííteplonosíâvsonâčnihvodonagrívalʹnihustanovkah AT volodarskyiv viznačennâšvidkostíruhutečíízavílʹnoícirkulâcííteplonosíâvsonâčnihvodonagrívalʹnihustanovkah |