METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES
The article proposes a method for calculating the dynamics of changes in the volume-averaged temperature and concentration of electric charges in elements of energy devices that use electrolytes. The relevance of the study is determined by the fact that, for electrochemical batteries, fuel cells, el...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine
2026
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/629 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Vidnovluvana energetika |
| Download file: |  |
Institution
Vidnovluvana energetika| _version_ | 1870287576087134208 |
|---|---|
| author | Matiakh , S. Surzhyk , T. Tereshenko , A. Sheiko, I. |
| author_facet | Matiakh , S. Surzhyk , T. Tereshenko , A. Sheiko, I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "S. Matiakh ",
"institution": "Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна"
},
{
"author": "T. Surzhyk ",
"institution": "Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна"
},
{
"author": "A. Tereshenko ",
"institution": "Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна"
},
{
"author": " I. Sheiko",
"institution": "Інститут відновлюваної енергетики НАН України, м. Київ, Україна"
}
] |
| author_sort | Matiakh , S. |
| baseUrl_str | https://ve.org.ua/index.php/journal/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-07-09T12:14:07Z |
| description | The article proposes a method for calculating the dynamics of changes in the volume-averaged temperature and concentration of electric charges in elements of energy devices that use electrolytes. The relevance of the study is determined by the fact that, for electrochemical batteries, fuel cells, electrolyzers, and other related systems, the experimental determination of local values of temperature, electric field strength, and charge carrier concentrations is significantly complicated, whereas integral or volume-averaged parameters are accessible for measurement. The aim of this work is to develop a theoretically substantiated approach that enables the transition from local heat and mass transfer equations to equations describing spatially averaged characteristics. The method is based on reducing the initial equations to divergence form, integrating them over the volume, and applying Newton’s law to describe heat exchange with the external environment. As a result, an ordinary differential equation for the volume-averaged temperature and a system of equations for the averaged concentrations of charges of different signs were obtained. It is shown that, within the approximation of ambipolar diffusion, the concentration equation acquires a structure analogous to the equation of transient heat conduction for averaged parameters. The practical significance of the work lies in the possibility of interpreting experimentally determined integral parameters and using the obtained relationships to assess the thermal and concentration states of electrolyte-containing energy systems.  |
| doi_str_mv | 10.36296/1819-8058.2026.2(85).197-204 |
| first_indexed | 2026-07-10T01:00:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
197
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
УДК 621.311.61 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.2(85).197-204
МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИНАМІКИ ЗМІНИ УСЕРЕДНЕНОЇ ТЕМПЕРАТУРИ
ТА КОНЦЕНТРАЦІЇ НОСІЇВ ЗАРЯДУ В ЕЛЕМЕНТАХ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ПРИСТРОЇВ,
ЯКІ ВИКОРИСТОВУЮТЬ ЕЛЕКТРОЛІТИ
Отримано 07 трав. 2026 р.; рекомендовано до публікації 26 чер. 2026 р.
Доступно онлайн 30 чер. 2026 р.
Матях С. В.1, Суржик Т. В.2,
Терешенко А. М.3, Шейко І. О.4
Автор для кореспонденції: Терешенко Андрій,
e-mail: tereshenko.andrii@lll.kpi.ua
Анотація. У статті запропоновано метод розрахунку ди-
наміки зміни усередненої за об’ємом температури та
концентрації електричних зарядів в елементах енергети-
чних пристроїв, у яких використовуються електроліти.
Актуальність роботи зумовлена тим, що для електрохі-
мічних акумуляторів, паливних комірок, електролізерів
та інших споріднених систем експериментальне визна-
чення локальних значень температури, напруженості
електричного поля і концентрацій носіїв заряду є суттєво ускладненим, тоді як інтегральні або
середньооб’ємні параметри доступні для вимірювання. Метою роботи є побудова теоретично об-
ґрунтованого підходу, який дає змогу перейти від локальних рівнянь тепломасопереносу до рівнянь
для усереднених у просторі характеристик. Метод базується на приведенні вихідних рівнянь до ди-
вергентної форми, інтегруванні за об’ємом та використанні закону Ньютона для опису теплооб-
міну із зовнішнім середовищем. У результаті отримано звичайне диференціальне рівняння для се-
редньооб’ємної температури та систему рівнянь для усереднених концентрацій зарядів різних
знаків. Показано, що в наближенні амбіполярної дифузії рівняння для концентрації набуває струк-
тури, аналогічної рівнянню нестаціонарної теплопровідності для усереднених параметрів. Прак-
тичне значення роботи полягає в можливості інтерпретації експериментально визначених інтег-
ральних параметрів та використання одержаних залежностей для оцінювання теплового і
концентраційного стану електролітовмісних енергетичних систем.
Ключові слова: електроліт, усереднена температура, концентрація зарядів, тепломасоперенос, еле-
ктромасоперенос, амбіполярна дифузія, електрохімічний акумулятор, паливна комірка, електролі-
зер.
Перелік використаних позначень та скорочень
T – температура
t – час
qv – об’ємна густина тепловиділення
ρ – густина середовища
c – питома теплоємність
λ – коефіцієнт теплопровідності
V – об’єм
S – замкнена поверхня, що обмежує об’єм
Tсер – середньооб’ємна температура
Q – інтегральне тепловиділення в об’ємі
α – коефіцієнт, що визначає характерний розмір середо-
вища та його форму
n+, n− – концентрації позитивно та негативно зарядже-
них частинок
E – напруженість електричного поля
D+, D− – коефіцієнти дифузії
μ+, μ− – рухливості заряджених частинок
Da – коефіцієнт амбіполярної дифузії
Вступ. В енергетиці досить широко використову-
ються середовища, які містять електричні заряди
протилежних знаків. Прикладами пристроїв, у яких
використовуються такі середовища, є електро-
хімічні акумулятори, а також перспективні для еко-
логічної енергетики [9, 10] водневі паливні
комірки, де водень можна отримувати за допомо-
гою технологій електролізу води.
Слід зазначити, що у вищезгаданих та інших при-
строях, методи локальної діагностики електромаг-
нітних полів, температури і концентрації зарядів, а
також динаміки їх зміни в часі практично
1 канд. техн. наук
https://orcid.org/0000-0002-1707-3519
2 д-р. техн. наук
https://orcid.org/0000-0002-1418-7748
3 аспірант
https://orcid.org/0009-0001-9489-1793
4 мол. наук. співроб.
https://orcid.org/0000-0002-5770-3677
1, 2, 3, 4 Інститут відновлюваної енергетики
НАН України, м. Київ, Україна
198
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
неможливо реалізувати експериментально. Тому
обмежуються визначенням об’ємно усереднених
параметрів, інтерпретація яких вимагає відповід-
ного теоретичного обґрунтування.
Постановка задачі. По-перше розглянемо таку
вихідну модель процесу нестаціонарної теплової
провідності:
𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
− 𝜆𝛥𝑇 = 𝑞𝑣, (1)
де 𝑇 – температура; 𝑡 – час; 𝑞𝑣 – об’ємна густина
тепловиділення внаслідок проходження електрич-
ного струму; 𝜌, 𝑐𝑝, 𝜆 – відповідно, густина середо-
вища, питома теплоємність та коефіцієнт теплової
провідності.
Методологія визначення усередненої за об’ємом
𝑉 температури. Приводячи оператор Лапласа 𝛥𝑇
до дивергентної форми (𝛥𝑇 = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑇)), викори-
стовуючи закон Ньютона (𝑞⃗ = −𝜆𝛥𝑇), де 𝑞⃗ – гу-
стина теплового потоку) і інтегруючи згідно з мето-
дологією робіт [1, 2] рівняння (1) за об’ємом 𝑉
отримуємо
( ) .p v
V V V
T
c dV q dV q dV
t
+ =
(2)
Оскільки для рухомого середовища виконується
умова
V V
T d
dV TdV
t dt
=
, то для середньооб’ємної
температури
/ср
V
T TdV V=
з (2) маємо
𝜕𝑇ср
𝜕𝑡
=
𝑄𝑡−𝑄−
𝜌𝑐𝑝𝑉
. (3)
Тут t v
V
Q q dV= – інтегральне тепловиділення
в об’ємі 𝑉, а 𝑄− = ∯ 𝑞⃑
𝑆
∙ 𝑑𝑠 (інтеграл по замк-
неній поверхні 𝑠, оточеної об’ємом 𝑉) – теплові
втрати в оточуюче середовище.
У термінах середньооб’ємних значень
𝑞+ =
𝑄−
𝑉
, 𝑞− =
𝑄−
𝑆
вираз (3) набуває вигляду
𝑑𝑇ср
𝑑𝑡
=
𝑞+−𝑘𝑞−
𝜌𝑐𝑝
, 𝑘 = 𝑠/𝑉. (4)
Tут 𝑘 – коефіцієнт, який визначає характерний роз-
мір середовища та його форму і який є змінним.
Зміст виразу (4) полягає в тому, що будучи експе-
риментально перевіреним для конкретних зна-
чень параметра 𝑘 [3– 5], він може бути рекомендо-
ваний і для інших значень 𝑞+, 𝑞−, s та V.
Методологія визначення усереднених значень
концентрацій зарядів у процесі тепломасопере-
носу. Для процесів електромасопереносу зарядів
різних знаків вихідна математична модель має ви-
гляд [6]
𝜕𝑁+
𝜕𝑡
− 𝐷+𝛥𝑁+ + 𝛻 ⋅ (𝜇+𝑁+𝐸⃗⃗) = 𝐹+(𝑁+𝑁),
𝜕𝑁−
𝜕𝑡
− 𝐷−𝛥𝑁− + 𝛻 ⋅ (𝜇−𝑁−𝐸⃗⃗) = 𝐹−(𝑁+𝑁). (5)
Тут 𝐸⃗⃗ – напруженість електричного поля; 𝐹+, 𝐹−-
локальні функції для концентрацій 𝑁+, 𝑁− вна-
слідок процесів іонізації та рекомбінацііії; 𝐷+, 𝐷−та
𝜇+, 𝜇−,відповідно, коефіцієнти дифузії та рухомості
заряджених частинок, які пов’язані між собою
співвідношеннями Ейнштейна.
Оскільки 𝛥𝑁+ = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑁+), 𝛥𝑁− = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑁−), то си-
стема (5) приводиться до дивергентної форми по
просторових координатах, і застосування теореми
про дивергенцію [7] дає змогу отримати систему
двох звичайних диференціальних рівнянь за часом
𝑡 для усереднених за об’ємом 𝑉концентрацій за-
рядів 𝑛+, 𝑛−
/ , / .
V V
n N dV V n N dV V+ + + −= =
У наближенні амбіполярної дифузії [6], яка часто
використовується в теорії електромасопереносу,
при 𝑁+ ≈ 𝑁− = 𝑁, 𝜇+, 𝜇−, 𝐷+, 𝐷_ − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 рівняння
для 𝑁має вигляд, аналогічний (1),
𝜕𝑁
𝜕𝑡
− 𝐷𝑎∇2𝑁 = 𝐹𝑁(𝑁), (6)
де 𝐷𝑎 =
𝐷+𝜇−+𝐷−𝜇+
𝜇−+𝜇+
– коефіцієнт амбіполярної
дифузії. Також видно, що структура залежності
𝑑𝑁ср
𝑑𝑡
=
1
𝑉
∫
𝜕𝑁
𝜕𝑡𝑉
𝑑𝑉 має вигляд, аналогічний (4).
На завершення зауважимо, що запропонований
підхід може бути застосований і для визначення в
часі просторово неоднорідних малих збурень па-
раметрів, усереднених за об’ємом, оскільки в
цьому разі оператори по просторових координатах
також мають дивергентну форму [8].
199
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
Можливе застосування отриманих співвідно-
шень. Отримані співвідношення для усередненої
за об’ємом температури та концентрації зарядів
мають важливе методичне значення для аналізу
енергетичних пристроїв, у яких використовуються
електроліти. Насамперед це стосується систем, де
пряме експериментальне визначення локальних
температурних полів і полів концентрації носіїв за-
ряду є ускладненим, а контроль стану об’єкта
здійснюється переважно за інтегральними або усе-
редненими параметрами. У такому разі запропо-
нований підхід дає змогу пов’язати результати
вимірювань з фізичними процесами теплопере-
носу та електромасопереносу в робочому об’ємі.
Суттєвою перевагою запропонованого підходу є те,
що після переходу до усереднених характеристик
зберігається можливість аналізу часової динаміки
процесів у порівняно простій математичній формі.
Це є важливим для задач оцінювання теплового
стану електрохімічних акумуляторів, паливних
комірок та електролізних систем, в яких темпера-
тура і концентрація носіїв заряду істотно вплива-
ють на ефективність перетворення енергії, стабіль-
ність режимів роботи та ресурс обладнання. При
цьому використання усереднених моделей є до-
цільним у тих випадках, коли детальний просторо-
вий розподіл параметрів недоступний або не є
визначальним для інженерної оцінки.
Окремо слід зазначити, що аналогія між рівнян-
нями для середньооб’ємної температури та усе-
реднених концентрацій зарядів у наближенні
амбіполярної дифузії створює підстави для вико-
ристання єдиних підходів до аналізу теплових ре-
жимів і режимів зміни концентрації носіїв заряду в
таких системах. Це спрощує інтерпретацію експе-
риментальних даних та відкриває можливість по-
будови узагальнених інженерних моделей для різ-
них типів енергетичних пристроїв з електролітами,
зокрема еквівалентних схем та електричних моде-
лей електрохімічних акумуляторів [11]. У практич-
ному відношенні це може бути корисним для про-
гнозування зміни стану пристрою в часі та для
порівняльного аналізу різних конструктивних
рішень.
Водночас застосування одержаних співвідношень
потребує врахування припущень, прийнятих при
усередненні вихідних рівнянь. Зокрема, точність
опису визначатиметься характером просторової
неоднорідності середовища, умовами теплооб-
міну на межі та особливостями джерел тепло-
виділення і генерації носіїв заряду. Тому запропо-
нований підхід доцільно розглядати як
ефективний інструмент теоретичного аналізу та ін-
терпретації експериментально визначених інте-
гральних характеристик, який у подальшому може
бути уточнений для конкретних типів електро-
літовмісних енергетичних систем.
Умови застосування усереднених моделей у за-
дачах аналізу електролітовмісних енергетичних
систем. Використання усереднених моделей є
найобґрунтованішим у тих випадках, коли основ-
ний інтерес становить інтегральна реакція системи
на зовнішні або внутрішні збурення, а не детальна
структура локальних полів. Для електрохімічних та
електролізних пристроїв це відповідає задачам
оцінювання теплового стану, загальної інтенсив-
ності масопереносу, порівняння режимів роботи та
аналізу впливу параметрів конструкції на динаміку
процесів у всьому об’ємі середовища.
До того ж важливо, що геометричні особливості
об’єкта та характер теплообміну з навколишнім се-
редовищем у запропонованому підході врахову-
ються через узагальнені параметри моделі. Такий
спосіб опису дає змогу застосовувати одержані
співвідношення до систем різної форми і розмірів
за умови належного вибору або експерименталь-
ного уточнення відповідних коефіцієнтів. Саме
тому метод може бути корисним не лише для тео-
ретичного аналізу, а й для побудови інженерних
розрахункових схем [12].
Ще однією перевагою підходу є можливість його
використання під час обробки результатів експери-
ментів, коли вимірюються середні температури,
сумарні електричні характеристики або інші інте-
гральні показники, а відновлення локальної кар-
тини процесу є практично недоступним. У такій по-
становці усереднені моделі можуть виступати
основою для інтерпретації експериментальних да-
них, оцінювання ефективності роботи пристрою та
виявлення загальних закономірностей перебігу
пов’язаних теплових і електромасопереносних
процесів.
Водночас для режимів з різко вираженими локаль-
ними перегрівами, суттєвими градієнтами концен-
трації або складною нелінійною кінетикою запро-
поновані співвідношення слід розглядати як
модель першого наближення. У таких випадках
вони можуть використовуватись як базовий рівень
опису, який у подальшому уточнюється за допомо-
гою детальніших просторово залежних моделей
або додатковою експериментальною іденти-
фікацією параметрів.
200
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
Висновки
У роботі запропоновано метод визначення ди-
наміки усередненої за об’ємом температури в еле-
ментах енергетичних пристроїв з електролітами на
основі інтегрування рівняння нестаціонарної теп-
лопровідності за об’ємом досліджуваного середо-
вища. Показано, що використання дивергентної
форми просторових операторів та закону Ньютона
для теплообміну із зовнішнім середовищем дає
можливість перейти від локального опису процесу
до звичайного диференціального рівняння для се-
редньооб’ємної температури. Аналогічний підхід
застосовано до процесів електромасопереносу за-
рядів різних знаків, унаслідок чого отримано си-
стему рівнянь для усереднених концентрацій за-
ряджених частинок. Встановлено, що в наближенні
амбіполярної дифузії рівняння для концентрації
має структуру, аналогічну рівнянню для усередне-
ної температури, що свідчить про спільність під-
ходу до опису теплових і концентраційних про-
цесів у таких середовищах. Практичне значення
одержаних результатів полягає в можливості ін-
терпретації інтегральних експериментальних да-
них у тих випадках, коли локальна діагностика тем-
ператури, електромагнітних полів і концентрацій
зарядів є неможливою або суттєво ускладненою.
Перспективи подальших досліджень пов’язані з
уточненням параметрів моделі для конкретних
типів електролітовмісних енергетичних систем, а
також із поширенням запропонованого підходу на
задачі аналізу просторово неоднорідних малих
збурень усереднених параметрів.
ПОСИЛАННЯ
1. Марченко В. А., Хруслов Є. Я. Крайові задачі в обла-
стях із дрібнозернистою границею. Київ: Наук. думка,
1974. 280 с.
2. Хруслов Є. Я. Усереднені моделі динаміки суспен-
зій. Київ: Наук. думка, 2018. 326 с.
3. Рєзцов В. Ф., Суржик Т. В., Щокіна В. А. Модель не-
стаціонарної зміни середньої температури волого-
вмісних середовищ. Відновлювана енергетика.
2014. № 4. С. 35–38.
4. Матях С. В., Коломієць Д. П., Харченко Л. Л. Визна-
чення усередненої температури фотоелектричних
батарей. Відновлювана енергетика. 2015. № 4.
С. 17–19.
5. Кучинський В. П., Рєзцов В. Ф., Суржик Т. В. Метод
прискорених випробувань процесів геліосушіння
вологовмісних середовищ. Відновлювана енерге-
тика. 2017. № 1. С. 44–48.
6. Матях С. В. Розв’язання двомірної задачі при моде-
люванні розподілу зарядів у фотоелектричних і еле-
ктрохімічних перетворювачах. Відновлювана енер-
гетика. 2014. № 3. С. 25–35.
7. Riley K. F., Hobson M. P., Bence S. J. Mathematical
Methods for Physics and Engineering: A
Comprehensive Guide. 3rd ed. Cambridge: Cambridge
University Press, 2006. 1359 p.
8. Рєзцов В. Ф., Суржик Т. В. Синергетичний метод ана-
лізу причин виникнення автоколивальних режимів
у процесах перетворення енергії відновлюваних
джерел. Відновлювана енергетика. 2017. № 1.
С. 14–16.
9. Bondarenko D., Matiakh S., Surzhyk Т., Sheiko I.,
Kravchenko М. Development trends of SOLAR power
engineering based on the materials of the scientific
and practical conference «Renewable energy and
energy efficiency in the 21st century» 2024.
Vidnovluvana Energetika. № 3. Pp. 76–83.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78)76-83.
10. Bondarenko D., Matiakh S., Surzhyk Т., Sheiko I. Actual
pathways for solar energy development based on the
materials of the scientific and practical conference
"Renewable energy and energy efficiency in the 21st
century" [Сучасні шляхи розвитку сонячної енерге-
тики за матеріалами науково-практичної конферен-
ції «Відновлювана енергетика та енергоефектив-
ність у ХХІ столітті» 2025]. Vidnovluvana Energetika.
2025. № (82).Pp. 82–88.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).82-
88.
11. Bondarenko D. Equivalent circuits of electric power
accumulators connected to solar photocells.
Vidnovluvana Energetika. 2019. № 3(58). Pp. 30–34.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).30-
34.
12. Bondarenko D. Electrical model of the hybrid
photovoltaic thermal collector. Vidnovluvana
Energetika. 2025. № 1(80). Pp. 44–50.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.1(80)44-50.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78)76-83
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).82-88
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).82-88
201
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
УДК 621.311.61 https://doi.org/10.36296/1819-8058.2026.2(85). 197-204
METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE
AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES
Received May 07, 2026; accepted Jun. 26, 2026
Available online June. 30, 2026
Matiakh S.1, Surzhyk T.2,
Tereshenko A.3, Sheiko I.4
Author for correspondence: Tereshenko Andrii,
e-mail: tereshenko.andrii@lll.kpi.ua
Abstract. The article proposes a method for calculating the
dynamics of changes in the volume-averaged temperature and
concentration of electric charges in elements of energy devices
that use electrolytes. The relevance of the study is determined
by the fact that, for electrochemical batteries, fuel cells,
electrolyzers, and other related systems, the experimental
determination of local values of temperature, electric field
strength, and charge carrier concentrations is significantly
complicated, whereas integral or volume-averaged parameters are accessible for measurement. The aim of
this work is to develop a theoretically substantiated approach that enables the transition from local heat and
mass transfer equations to equations describing spatially averaged characteristics. The method is based on
reducing the initial equations to divergence form, integrating them over the volume, and applying Newton’s
law to describe heat exchange with the external environment. As a result, an ordinary differential equation
for the volume-averaged temperature and a system of equations for the averaged concentrations of charges
of different signs were obtained. It is shown that, within the approximation of ambipolar diffusion, the
concentration equation acquires a structure analogous to the equation of transient heat conduction for
averaged parameters. The practical significance of the work lies in the possibility of interpreting
experimentally determined integral parameters and using the obtained relationships to assess the thermal
and concentration states of electrolyte-containing energy systems.
Keywords: electrolyte, volume-averaged temperature, charge carrier concentration, heat and mass transfer,
electro-mass transfer, ambipolar diffusion, electrochemical battery, fuel cell, electrolyzer.
List of used designations and abbreviations
T — temperature
t — time
qᵥ — volumetric heat generation rate
ρ — density of the medium
c — specific heat capacity
λ — thermal conductivity coefficient
V — volume
S — closed surface bounding the volume
Tavg — volume-averaged temperature
Q — total heat generation within the volume
α — coefficient that characterizes the representative size
of the medium and its shape
n⁺, n⁻ — concentrations of positively and negatively
charged particles
E — electric field strength
D⁺, D⁻ — diffusion coefficients
μ⁺, μ⁻ — mobilities of charged particles
Dₐ — ambipolar diffusion coefficient
Introduction. Media containing electric charges of opposite
signs are widely used in the energy sector. Examples of devices
employing such media include electrochemical batteries, as
well as hydrogen fuel cells, which are promising for environ-
mentally friendly energy systems [9, 10], where hydrogen can
be produced using water electrolysis technologies.
It should be noted that, in the above-mentioned and other
devices, methods for the local diagnostics of
electromagnetic fields, temperature, charge concentration,
and the dynamics of their temporal variation are practically
impossible to implement experimentally. Therefore, the
analysis is limited to the determination of volume-averaged
parameters, the interpretation of which requires an appro-
priate theoretical justification.
Problem Statement. First, let us consider the following ini-
tial model of the transient heat conduction process:
1 PhD
https://orcid.org/0000-0002-1707-3519
2 Dr. of Science
https://orcid.org/0000-0002-1418-7748
3 Ph.D. student
https://orcid.org/0009-0001-9489-1793
4 Junior Researcher
https://orcid.org/0000-0002-5770-3677
1, 2, 3, 4 Institute of Renewable Energy of the
NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine
202
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
− 𝜆𝛥𝑇 = 𝑞𝑣 , (1)
where T - temperature; 𝑡 - time; 𝑞𝑣- volumetric heat gener-
ation rate caused by the passage of electric current; 𝜌, 𝑐𝑝,
𝜆 - density of the medium, specific heat capacity, and ther-
mal conductivity coefficient, respectively.
Methodology for Determining the Temperature Averaged
over the Volume V. By reducing the Laplace operator ΔT to
divergence form (𝛥𝑇 = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑇)), using Newton’s law
(𝑞⃗ = −𝜆𝛥𝑇), where q⃗ - heat flux density, and integrating
equation 1 over the volume V according to the methodol-
ogy presented in works [1, 2], we obtain
( ) .p v
V V V
T
c dV q dV q dV
t
+ =
(2)
Since, for a moving medium, the following condition is sat-
isfied
V V
T d
dV TdV
t dt
=
, then, for the volume-aver-
aged temperature
/ср
V
T TdV V=
from equation 2, we obtain
𝜕𝑇ср
𝜕𝑡
=
𝑄𝑡−𝑄−
𝜌𝑐𝑝𝑉
. (3)
Here
t v
V
Q q dV= - total heat generation within the
volume V, and 𝑄− = ∯ 𝑞⃑
𝑆
∙ 𝑑𝑠 (the integral over the closed
surface S enclosing the volume V) - heat losses to the sur-
rounding medium.
In terms of volume-averaged values
𝑞+ =
𝑄−
𝑉
, 𝑞− =
𝑄−
𝑆
expression (3) takes the form
𝑑𝑇ср
𝑑𝑡
=
𝑞+−𝑘𝑞−
𝜌𝑐𝑝
, 𝑘 = 𝑠/𝑉 (4)
Here, 𝑘 - coefficient that determines the characteristic size
of the medium and its shape and is variable.
The meaning of expression (4) is that, after being experi-
mentally verified for specific values of the parameter k [3-
5], it can also be recommended for other values of q₊, q₋, S,
and V.
Methodology for Determining Averaged Values of Charge
Concentrations in the Heat and Mass Transfer Process. For
electromass transfer processes involving charges of differ-
ent signs, the initial mathematical model has the following
form [6].
𝜕𝑁+
𝜕𝑡
− 𝐷+𝛥𝑁+ + 𝛻 ⋅ (𝜇+𝑁+𝐸⃗⃗) = 𝐹+(𝑁+𝑁),
𝜕𝑁−
𝜕𝑡
− 𝐷−𝛥𝑁− + 𝛻 ⋅ (𝜇−𝑁−𝐸⃗⃗) = 𝐹−(𝑁+𝑁). (5)
Here, 𝐸⃗⃗ - electric field strength; 𝐹+, 𝐹−- local functions for
the concentrations 𝑁+, 𝑁− resulting from ionization and re-
combination processes; 𝐷+, 𝐷− and 𝜇+, 𝜇− - diffusion coef-
ficients and mobilities of charged particles, respectively,
which are related to each other by the Einstein relations.
Since 𝛥𝑁+ = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑁+), 𝛥𝑁− = 𝛻 ⋅ (𝛻𝑁−), system (5) is re-
duced to divergence form with respect to the spatial coor-
dinates, and application of the divergence theorem [7]
makes it possible to obtain a system of two ordinary differ-
ential equations with respect to time t for the concentra-
tions 𝑛+, 𝑛− averaged over the volume V.
/ , / .
V V
n N dV V n N dV V+ + + −= =
In the approximation of ambipolar diffusion [6], which is
often used in the theory of electromass transfer, under
the conditions
𝑁+ ≈ 𝑁− = 𝑁, 𝜇+, 𝜇−, 𝐷+, 𝐷_ − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
the equation for N has a form analogous to (1),
𝜕𝑁
𝜕𝑡
− 𝐷𝑎∇2𝑁 = 𝐹𝑁(𝑁), (6)
where 𝐷𝑎 =
𝐷+𝜇−+𝐷−𝜇+
𝜇−+𝜇+
- ambipolar diffusion coefficient. It
is also evident that the structure of the dependence
𝑑𝑁ср
𝑑𝑡
=
1
𝑉
∫
𝜕𝑁
𝜕𝑡𝑉
𝑑𝑉 has a form analogous to (4).
Finally, it should be noted that the proposed approach can
also be applied to determine, over time, spatially inhomo-
geneous small perturbations of parameters averaged over
the volume, since in this case the operators with respect to
spatial coordinates also have divergence form [8].
Possible Application of the Obtained Relationships. The
obtained relationships for the volume-averaged tempera-
ture and charge concentration are of important methodo-
logical significance for the analysis of energy devices that
use electrolytes. This primarily concerns systems in which
the direct experimental determination of local tempera-
ture fields and charge carrier concentration fields is compli-
cated, while the state of the object is monitored mainly by
means of integral or averaged parameters. In this case, the
proposed approach makes it possible to relate measure-
ment results to the physical processes of heat transfer and
electromass transfer in the working volume.
A significant advantage of the proposed approach is that,
after the transition to averaged characteristics, it remains
possible to analyze the temporal dynamics of the processes
in a relatively simple mathematical form. This is important
for problems related to assessing the thermal state of elec-
trochemical batteries, fuel cells, and electrolytic systems, in
which temperature and charge carrier concentration signif-
icantly affect energy conversion efficiency, stability of op-
erating modes, and equipment lifetime. At the same time,
the use of averaged models is appropriate in cases where a
detailed spatial distribution of parameters is either unavail-
able or not decisive for engineering assessment.
203
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
It should also be noted that the analogy between the equa-
tions for the volume-averaged temperature and the aver-
aged charge concentrations in the approximation of ambi-
polar diffusion provides a basis for applying unified
approaches to the analysis of thermal regimes and regimes
of charge carrier concentration variation in such systems.
This simplifies the interpretation of experimental data and
enables the development of generalized engineering mod-
els for various types of electrolyte-based energy devices, in
particular, equivalent circuits and electrical models of elec-
trochemical batteries [11]. In practical terms, this may be
useful for predicting changes in the state of a device over
time and for the comparative analysis of different design
solutions.
At the same time, the application of the obtained relation-
ships requires consideration of the assumptions adopted
when averaging the initial equations. In particular, the ac-
curacy of the description will be determined by the nature
of the spatial inhomogeneity of the medium, the heat ex-
change conditions at the boundary, and the specific fea-
tures of heat generation sources and charge carrier gener-
ation. Therefore, the proposed approach should be
considered an effective tool for theoretical analysis and in-
terpretation of experimentally determined integral charac-
teristics, which can subsequently be refined for specific
types of electrolyte-containing energy systems.
Conditions for the Application of Averaged Models in
Problems of Analyzing Electrolyte-Containing Energy Sys-
tems. The use of averaged models is most justified in cases
where the primary interest lies in the integral response of
the system to external or internal perturbations rather than
in the detailed structure of local fields. For electrochemical
and electrolytic devices, this corresponds to problems of
assessing the thermal state, the overall intensity of mass
transfer, comparing operating modes, and analyzing the in-
fluence of design parameters on the dynamics of processes
throughout the entire volume of the medium.
At the same time, it is important that the geometric fea-
tures of the object and the nature of heat exchange with
the surrounding environment are taken into account in the
proposed approach through generalized model parame-
ters. This method of description makes it possible to apply
the obtained relationships to systems of different shapes
and sizes, provided that the corresponding coefficients are
properly selected or experimentally refined. Therefore, the
method may be useful not only for theoretical analysis but
also for the development of engineering calculation
schemes [12].
Another advantage of the approach is the possibility of us-
ing it in the processing of experimental results, when aver-
age temperatures, total electrical characteristics, or other
integral indicators are measured, while reconstruction of
the local picture of the process is practically inaccessible. In
such a formulation, averaged models can serve as a basis
for interpreting experimental data, evaluating device per-
formance, and identifying general regularities in the course
of coupled thermal and electromass transfer processes.
At the same time, for regimes with pronounced local over-
heating, significant concentration gradients, or complex
nonlinear kinetics, the proposed relationships should be
considered as a first-approximation model. In such cases,
they can be used as a basic level of description, which may
subsequently be refined using more detailed spatially de-
pendent models or through additional experimental identi-
fication of parameters.
Conclusions
The paper proposes a method for determining the dynam-
ics of the volume-averaged temperature in elements of en-
ergy devices with electrolytes based on the integration of
the transient heat conduction equation over the volume of
the medium under study. It is shown that the use of the di-
vergence form of spatial operators and Newton’s law for
heat exchange with the external environment makes it pos-
sible to proceed from a local description of the process to
an ordinary differential equation for the volume-averaged
temperature.
A similar approach is applied to electromass transfer pro-
cesses involving charges of different signs, resulting in a sys-
tem of equations for the averaged concentrations of
charged particles. It is established that, in the approxima-
tion of ambipolar diffusion, the concentration equation has
a structure analogous to the equation for the averaged
temperature, which indicates the commonality of the ap-
proach to describing thermal and concentration processes
in such media.
The practical significance of the obtained results lies in the
possibility of interpreting integral experimental data in
cases where local diagnostics of temperature, electromag-
netic fields, and charge concentrations is impossible or sig-
nificantly complicated. Prospects for further research are
associated with refinement of the model parameters for
specific types of electrolyte-containing energy systems, as
well as with extending the proposed approach to problems
of analyzing spatially inhomogeneous small perturbations
of averaged parameters.
REFERENCES
1. Marchenko V. A., Khruslov Ye.Ya. Boundary Value
Problems in Domains with a Fine-Grained Boundary.
Kyiv: Naukova Dumka, 1974. 280 p.
2. Khruslov Ye. Ya. Averaged Models of Suspension
Dynamics. Kyiv: Naukova Dumka, 2018. 326 p.
3. Rieztsov V. F., Surzhyk T. V., Shchokina V. A. Model of
transient variation of the average temperature of
moisture-containing media. Vidnovluvana Energetika.
2014. No. 4. P. 35–38.
4. Matiakh S. V., Kolomiiets D. P., Kharchenko L. L.
Determination of the averaged temperature of
photovoltaic batteries. Vidnovluvana Energetika. 2015.
No. 4. P. 17–19.
204
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
5. Kuchynskyi V. P., Rieztsov V. F., Surzhyk T. V. Method
of accelerated testing of solar drying processes of
moisture-containing media. Vidnovluvana Energetika.
2017. No. 1. P. 44–48.
6. Matiakh S. V. Solution of a two-dimensional problem in
modeling charge distribution in photovoltaic and
electrochemical converters. Vidnovluvana Energetika.
2014. No. 3. P. 25–35.
7. Riley K. F., Hobson M. P., Bence S. J. Mathematical
Methods for Physics and Engineering: A
Comprehensive Guide. 3rd ed. Cambridge: Cambridge
University Press, 2006. 1359 p.
8. Rieztsov V. F., Surzhyk T. V. Synergetic method for
analyzing the causes of self-oscillatory regimes in
energy conversion processes of renewable sources.
Vidnovluvana Energetika. 2017. No. 1. P. 14–16.
9. Bondarenko D., Matiakh S., Surzhyk T., Sheiko I.,
Kravchenko M. Development trends of solar power
engineering based on the materials of the scientific
and practical conference “Renewable Energy and
Energy Efficiency in the 21st Century” 2024.
Vidnovluvana Energetika. No. 3/2024. P. 76–83.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78)76-83.
10. Bondarenko D., Matiakh S., Surzhyk T., Sheiko I. Actual
pathways for solar energy development based on the
materials of the scientific and practical conference
“Renewable Energy and Energy Efficiency in the 21st
Century” Vidnovluvana Energetika. 2025. No. 3(82).
P. 82–88. https://doi.org/10.36296/1819-
8058.2025.3(82).82-88.
11. Bondarenko D. Equivalent circuits of electric power
accumulators connected to solar photocells.
Vidnovluvana Energetika. 2019. No. 3(58). P. 30–34.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).30-
34.
12. Bondarenko D. Electrical model of the hybrid
photovoltaic thermal collector. Vidnovluvana
Energetika. 2025. No. 1(80). P. 44–50.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.1(80)44-50.
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2024.3(78)76-83
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).82-88
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.3(82).82-88
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).30-34
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2019.3(58).30-34
https://doi.org/10.36296/1819-8058.2025.1(80)44-50
205
Відновлювана енергетика. № 2/2026 | Сонячна енергетика
|
| id | veorgua-article-629 |
| institution | Vidnovluvana energetika |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-07-10T01:00:25Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | veorgua/93/b4bb5e0fd13cd80de987382cabc16693.pdf |
| spelling | veorgua-article-6292026-07-09T12:14:07Z METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИНАМІКИ ЗМІНИ УСЕРЕДНЕНОЇ ТЕМПЕРАТУРИ ТА КОНЦЕНТРАЦІЇ НОСІЇВ ЗАРЯДУ В ЕЛЕМЕНТАХ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ПРИСТРОЇВ, ЯКІ ВИКОРИСТОВУЮТЬ ЕЛЕКТРОЛІТИ Matiakh , S. Surzhyk , T. Tereshenko , A. Sheiko, I. electrolyte, volume-averaged temperature, charge carrier concentration, heat and mass transfer, electro-mass transfer, ambipolar diffusion, electrochemical battery, fuel cell, electrolyzer. електроліт, усереднена температура, концентрація зарядів, тепломасоперенос, електромасоперенос, амбіполярна дифузія, електрохімічний акумулятор, паливна комірка, електролізер. The article proposes a method for calculating the dynamics of changes in the volume-averaged temperature and concentration of electric charges in elements of energy devices that use electrolytes. The relevance of the study is determined by the fact that, for electrochemical batteries, fuel cells, electrolyzers, and other related systems, the experimental determination of local values of temperature, electric field strength, and charge carrier concentrations is significantly complicated, whereas integral or volume-averaged parameters are accessible for measurement. The aim of this work is to develop a theoretically substantiated approach that enables the transition from local heat and mass transfer equations to equations describing spatially averaged characteristics. The method is based on reducing the initial equations to divergence form, integrating them over the volume, and applying Newton’s law to describe heat exchange with the external environment. As a result, an ordinary differential equation for the volume-averaged temperature and a system of equations for the averaged concentrations of charges of different signs were obtained. It is shown that, within the approximation of ambipolar diffusion, the concentration equation acquires a structure analogous to the equation of transient heat conduction for averaged parameters. The practical significance of the work lies in the possibility of interpreting experimentally determined integral parameters and using the obtained relationships to assess the thermal and concentration states of electrolyte-containing energy systems.  У статті запропоновано метод розрахунку динаміки зміни усередненої за об’ємом температури та концентрації електричних зарядів в елементах енергетичних пристроїв, у яких використовуються електроліти. Актуальність роботи зумовлена тим, що для електрохімічних акумуляторів, паливних комірок, електролізерів та інших споріднених систем експериментальне визначення локальних значень температури, напруженості електричного поля і концентрацій носіїв заряду є суттєво ускладненим, тоді як інтегральні або середньооб’ємні параметри доступні для вимірювання. Метою роботи є побудова теоретично обґрунтованого підходу, який дає змогу перейти від локальних рівнянь тепломасопереносу до рівнянь для усереднених у просторі характеристик. Метод базується на приведенні вихідних рівнянь до дивергентної форми, інтегруванні за об’ємом та використанні закону Ньютона для опису теплообміну із зовнішнім середовищем. У результаті отримано звичайне диференціальне рівняння для середньооб’ємної температури та систему рівнянь для усереднених концентрацій зарядів різних знаків. Показано, що в наближенні амбіполярної дифузії рівняння для концентрації набуває структури, аналогічної рівнянню нестаціонарної теплопровідності для усереднених параметрів. Практичне значення роботи полягає в можливості інтерпретації експериментально визначених інтегральних параметрів та використання одержаних залежностей для оцінювання теплового і концентраційного стану електролітовмісних енергетичних систем.  Institute of Renewable Energy National Academy of Sciences of Ukraine 2026-06-30 Article Article application/pdf https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/629 10.36296/1819-8058.2026.2(85).197-204 Vidnovluvana energetika ; No. 2(85) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 197-204 Возобновляемая энергетика; № 2(85) (2026): Scientific and applied Journal renewable energy ; 197-204 Відновлювана енергетика; № 2(85) (2026): Науково-прикладний журнал Відновлювана енергетика; 197-204 2664-8172 1819-8058 10.36296/1819-8058.2026.2(85) uk https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/629/540 Copyright (c) 2026 Vidnovluvana energetika |
| spellingShingle | electrolyte volume-averaged temperature charge carrier concentration heat and mass transfer electro-mass transfer ambipolar diffusion electrochemical battery fuel cell electrolyzer. Matiakh , S. Surzhyk , T. Tereshenko , A. Sheiko, I. METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title | METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title_alt | МЕТОД РОЗРАХУНКУ ДИНАМІКИ ЗМІНИ УСЕРЕДНЕНОЇ ТЕМПЕРАТУРИ ТА КОНЦЕНТРАЦІЇ НОСІЇВ ЗАРЯДУ В ЕЛЕМЕНТАХ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ПРИСТРОЇВ, ЯКІ ВИКОРИСТОВУЮТЬ ЕЛЕКТРОЛІТИ |
| title_full | METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title_fullStr | METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title_full_unstemmed | METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title_short | METHOD FOR CALCULATING THE DYNAMICS OF CHANGES IN THE AVERAGED TEMPERATURE AND CHARGE CARRIER CONCENTRATION IN ELEMENTS OF ENERGY DEVICES USING ELECTROLYTES |
| title_sort | method for calculating the dynamics of changes in the averaged temperature and charge carrier concentration in elements of energy devices using electrolytes |
| topic | electrolyte volume-averaged temperature charge carrier concentration heat and mass transfer electro-mass transfer ambipolar diffusion electrochemical battery fuel cell electrolyzer. |
| topic_facet | electrolyte volume-averaged temperature charge carrier concentration heat and mass transfer electro-mass transfer ambipolar diffusion electrochemical battery fuel cell electrolyzer. електроліт усереднена температура концентрація зарядів тепломасоперенос електромасоперенос амбіполярна дифузія електрохімічний акумулятор паливна комірка електролізер. |
| url | https://ve.org.ua/index.php/journal/article/view/629 |
| work_keys_str_mv | AT matiakhs methodforcalculatingthedynamicsofchangesintheaveragedtemperatureandchargecarrierconcentrationinelementsofenergydevicesusingelectrolytes AT surzhykt methodforcalculatingthedynamicsofchangesintheaveragedtemperatureandchargecarrierconcentrationinelementsofenergydevicesusingelectrolytes AT tereshenkoa methodforcalculatingthedynamicsofchangesintheaveragedtemperatureandchargecarrierconcentrationinelementsofenergydevicesusingelectrolytes AT sheikoi methodforcalculatingthedynamicsofchangesintheaveragedtemperatureandchargecarrierconcentrationinelementsofenergydevicesusingelectrolytes AT matiakhs metodrozrahunkudinamíkizmíniuserednenoítemperaturitakoncentracíínosíívzarâduvelementahenergetičnihpristroívâkívikoristovuûtʹelektrolíti AT surzhykt metodrozrahunkudinamíkizmíniuserednenoítemperaturitakoncentracíínosíívzarâduvelementahenergetičnihpristroívâkívikoristovuûtʹelektrolíti AT tereshenkoa metodrozrahunkudinamíkizmíniuserednenoítemperaturitakoncentracíínosíívzarâduvelementahenergetičnihpristroívâkívikoristovuûtʹelektrolíti AT sheikoi metodrozrahunkudinamíkizmíniuserednenoítemperaturitakoncentracíínosíívzarâduvelementahenergetičnihpristroívâkívikoristovuûtʹelektrolíti |