Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією

Theoretical propositions concerning design of GARCH models for forecasting conditional dispersions of heteroscedastic processes under discretization of input disturbances with small sampling periods and output coordinates with large ones are considered. The dynamics of processes in a stochastic medi...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Authors:	Romanenko, V. D., Bilyi, O. V.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109779
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302134844129280
author	Romanenko, V. D. Bilyi, O. V.
author_facet	Romanenko, V. D. Bilyi, O. V.
author_sort	Romanenko, V. D.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-04-11T11:06:06Z
description	Theoretical propositions concerning design of GARCH models for forecasting conditional dispersions of heteroscedastic processes under discretization of input disturbances with small sampling periods and output coordinates with large ones are considered. The dynamics of processes in a stochastic medium is described by models of autoregression and sliding mean with multirate discretization. An algorithm for adaptive setting of the GARCH model coefficients concerning the sliding mean is developed. Experimental results for adaptive setting of GARCH model optimal coefficients as well as forecasting conditional dispersions under optimal coefficients are presented.
first_indexed	2025-07-17T10:23:10Z
format	Article
fulltext	© В.Д. Романенко, А.В. Билый, 2008 114 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 62-50 СИНТЕЗ И АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА МОДЕЛЕЙ GARCH ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИСПЕРСИЙ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ В.Д. РОМАНЕНКО, А.В. БИЛЫЙ Рассмотрены теоретические положения проектирования моделей GARCH для прогнозирования условных дисперсий гетероскедастических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а вы- ходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической сре- де описана моделями авторегрессии и скользящего среднего с разнотемповой дискретизацией. Разработан алгоритм адаптивной настройки коэффициентов относительно скользящего среднего модели GARCH. Приведены результаты экспериментальных исследований такой настройки и прогнозирования услов- ной дисперсии при оптимальных коэффициентах. ВВЕДЕНИЕ В работах [1, 2] рассмотрены нелинейные стохастические условно- гауссовские модели для описания динамики изменения дисперсий гетеро- скедастических процессов в дискретном времени с однотемповой дискрети- зацией входных возмущений и выходных координат. Эти модели дают воз- можность прогнозировать условную дисперсию выходной координаты на один базовый период квантования 0T . В работе [3] описаны теоретические положения проектирования разно- темповых дискретных систем прогнозирования изменяющихся максималь- ных условных дисперсий выходных координат одномерных и многомерных процессов на основе модели ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedas- ticity) при дискретизации входных возмущений с малыми периодами кван- тования, а выходных координат — с большими. Методика прогнозирования условных дисперсий для математических моделей авторегрессии и скользящего среднего (ARMA) с разнотемповой дискретизацией на основе ARCH заключается в следующем. Пусть динамика процесса представлена моделью ARMA )2,2( m [3] +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyah m kyah m ky 21 21 Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 115 +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ 0201 2Th m kcTh m kch m k ξξξ … 002 2... aTmh m kc m +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ ξ , (1) где 0mTh = , а ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ m k — целое число от деления номера дискретного отсчета k на m . Последовательность возмущений в виде дискретного белого шума имеет такие вероятностные характеристики при mi 2,...,1,0= : 00 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ iTh m kM ξ ; 0= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hp m kyh m kM ξ ( M — оператор математического ожидания). Тогда алгоритм прогнозирования условной дисперсии последователь- ности ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m ky выполняется на основе рекуррентной процедуры. 1. Определение условного математического ожидания для последова- тельности ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m ky +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyah m kyah m kyM m k 21 21 1 …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ + 010 )1( Tmh m kcmTh m kc mm ξξ 002 2 amTh m kc m +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ ξ… . (2) 2. Вычисление условной дисперсии для последовательности ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m ky ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyh m kyh m kM m k 1var2 1 ξ , − ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyMh m ky m k 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kyM m k 2 2 1 ~ξ . (3) В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 116 3. Вычисление ряда условных дисперсий на основе выражений (2), (3) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyh m kyh m kyh m k 3,21var1~ 2ξ , ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyh m kyh m kyh m k 4,32var2~ 2ξ , ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyh m kyh m kyh m k 5,43var3~ 2ξ , ------------------------------------------------------------------------------------------- ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kyh m kyh m k 1var~ 2 µµµξ , ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m ky 2µ . (4) 4. Построение математической модели динамики условных дисперсий на основе данных их вычисленного ряда путем применения метода наиме- ньших квадратов (МНК) в виде модели авторегрессии …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kh m k 2~ˆ1~ˆ~ 2 2 2 1 2 ξβξβξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ h m kwh m k γµξβµ ˆ~ˆ 2… , (5) где ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kw — процесс дискретного белого шума с нулевым средним. Уравнение (5) представляет авторегрессионную условно гетероскедас- тическую модель ARCH, на основе которой выполняется прогнозирование условной дисперсии (3) на один большой период квантования 0mTh = . …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kh m k 1~ˆ~ˆ1ˆ 2 2 2 1 2 ξβξβξ γµξβµ ˆ1~ˆ 2 +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ h m k… . (6) Модель ARCH (5) обеспечивает ограниченную точность прогнозирова- ния (6) вследствие того, что не учитывается динамика изменения четвертого момента ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kw . Цель данной статьи — на основе модели ARCH (5) разработать обоб- щенную авторегрессионную условно гетероскедастическую модель GARCH Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 117 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) с большим перио- дом квантования 0mTh = для описания динамики изменяющейся условной дисперсии и исследовать вопросы достижения максимальной точности про- гнозирования условной дисперсии на основе разработанной модели GARCH. РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ GARCH ПРИ ПЕРИОДЕ КВАНТОВАНИЯ 0mTH = Введем новые переменные. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kHh m k νξ~ , (7) где ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kν — нормальная последовательность с нулевым средним и еди- ничной дисперсией 0= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kM ν ; 12 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kM ν . На основе (7) для условной дисперсии можно записать ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kHh m k 22~ νξ , (8) Если ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kh m kH µξβξβγ µ 22 1 ~...1~ , (9) то, согласно выражению (7), = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ...,2~,1~~ 222 1 h m kh m kh m kM m k ξξξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+= h m kh m kh m k µξβξβξβγ µ 22 2 2 1 ~...2~1~ . Если подставить (8), (9) в выражение (5), получим ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kwh m kHh m kh m kHh m k 22~ νξ . (10) Таким образом, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kH представляет собой линейную проекцию максимального значения квадрата ошибки ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2ξ и является прогнозом для условной дисперсии ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2~ξ . В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 118 Учитывая представление (8), инновация ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kw в уравнении авторе- грессии (5) может быть выражена как ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 1~ 22 h m kh m kHh m kHh m kh m kw νξ . (11) В то время как безусловная дисперсия ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kw является постоянной, условная дисперсия согласно (11) со временем изменяется. Запишем формулу (9) так: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++++=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−− h m kzzzh m kH 22 2 1 1 ... ξβββγ µ µ , (12) где 1−z — оператор обратного сдвига на период квантования 0mTh = . Представим полином )...( 2 2 1 1 µ µβββ −−− +++ zzz в виде отношения )...1( )...( )...( 2 2 1 1 )(2 2 1 12 2 1 1 n n n n zzz zrzrzr zzz −−− +− + −− −−− −−−− +++ =+++ σσσ βββ µ µµ µ . (13) При этом корни уравнения 0)...1( 2 2 1 1 =−−−− −−− n n zzz σσσ должны находиться в середине круга единичного радиуса. Применяя выражение (13), можно представить равенство (12) в виде конечно-разностного уравне- ния …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kHh m kHh m kH 21 21 σσλ …… +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ h m krh m krhn m kHn 2~1~ 2 2 2 1 ξξσ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ + hn m kr n µξµ 2~… , (14) где γσσσλ )...1( 21 n−−−−= . Прибавим к обеим частям равенства (14) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2~ξ и выполним пре- образование полученного выражения −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kwh m kh m kH 1~ 1 2 σλξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− hn m kwh m kw nσσ ...22 Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 119 …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ h m krh m kr 2~)(1~)( 2 22 2 11 ξσξσ …… +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ + hn m krhn m kr nnn 1~~)( 2 1 2 ξξσ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ + h m khn m kr n 22 ~~ ξµξµ… . При ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kHh m kh m kw 2~ξ преобразуем предыдущее вы- ражение к виду ×++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ )(1~)(~ 22 2 11 2 rh m krh m k σξσλξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡× hn m krh m k nn 22 ~)(...2~ ξσξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ ++ hn m krhn m kr nn µξξ µ 22 1 ~...1~ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ hn m kwh m kwh m kw nσσ ...11 , (15) где возмущения определяются как ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kHh m kh m kw 11~1 2ξ , …………………………………………………………… ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hn m kHhn m khn m kw 2~ξ . Выражение (15) представляет модель GARCH при периоде квантования 0mTh = , в которой учитывается динамика изменения четвертого момента ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−−− −−− h m kwzzz n n )...1( 2 2 1 1 σσσ в модели изменения дисперсии ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2~ξ . На основе модели GARCH (15) можно прогнозировать условную дис- персию на один большой период квантования 0mTh = . …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∧ h m krh m krh m k 1~)(~)(1~ 2 22 2 11 2 ξσξσλξ В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 120 …… +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ + hn m krhn m kr nnn 2 1 2 ~1~)( ξξσ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ + hn m kr n 12 µξµ… ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− hn m kwh m kw n 1...1 σσ . (16) АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА КОЭФФИЦИЕНТОВ nσσσ ,...,, 21 МОДЕЛИ GARCH Экспериментально установлено, что коэффициенты nσσσ ,...,, 21 модели GARCH (15) сильно влияют на точность прогнозирования (16) даже при ус- ловии, что корни уравнения 0)...1( 2 2 1 1 =−−−− −−− n n zzz σσσ будут по мо- дулю меньше единицы. Поэтому для достижения максимальной точности прогнозирования согласно (16) необходимо производить адаптивную на- стройку nσσσ ...,,, 21 из условия минимизации критерия оптимальности 2 1 22 ~̂~∑ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= N m k N h m kh m kJ ξξ , (17) где ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2~ξ — вычисленное значение условной дисперсии на основе (3), а ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m k2~̂ξ — условная дисперсия, которая определяется по модели GARCH (15). Эта модель при учете соотношения (13) может быть представ- лена в виде −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kh m k 2~1~~̂ 2 1 22 ξβξξ …−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m kh m k 4~3~ 2 3 2 2 ξβξβ …… −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − hn m khn m k nn 1~~ 22 1 ξβξβ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m k 1~ 2 max µξβµ… Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 121 − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m kh m kw 2~1 2 1 ξσ …−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m kh m k 4~3~ 2 2 2 1 ξβξβ …… −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− −− hn m khn m k nn 1~~ 2 1 2 2 ξβξβ − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− hn m kh m kw 2 2 ~2 ξσ …… −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − hn m khn m k 1~1~ 2 1 2 1 µξβξβ µ… + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− nhn m kwhn m k σµξβµ 2~ …+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ h m kh m k 2~1~ 2 2 2 1 ξβξβλ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ h m kwh m khn m k n µξβξβ µ 22 ~~ …… . Запишем это выражение в векторной форме ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∧ h m kwh m kXh m k T θξ 2~ , (18) где вектор вычисляемых координат определяется следующим образом: … ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kh m kh m kX T 2~1~ 2 1 2 ξβξ …… −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − hn m khn m k nn 1~~ 22 1 ξβξβ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m kh m kwh m k 2~,11~ 22 ξµξβµ… …−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − hn m kh m k n 1~...3 2 1 2 1 ξβξβ ……… −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− hn m khn m kh m kw 1~~,,2 2 1 2 ξβξ В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 122 −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − hn m khn m k µξβµξβ µµ 22 1 ~1~… … ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− h m khn m kw 1~, 2 1ξβλ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ h m khn m k n µξβξβ µ 22 ~~ …… , а вектор неизвестных коэффициентов [ ]Tn 1,ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆˆ 321 σσσσθ = . Тогда критерий оптимальности (17) примет вид minˆ~ 2 1 2 max → ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ∑ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ N m k T N h m kXh m kJ θξ . (19) Для оценивания вектора неизвестных коэффициентов θ̂ , при которых минимизируется критерий (19), применяется рекуррентный метод наимень- ших квадратов (РМНК) согласно [4]. Таким образом, ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kKh m kh m k 1ˆˆ θθ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡× h m kh m kXh m k T 1ˆ~ 2 θξ , (20) ⎩ ⎨ ⎧ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kXh m kXh m kPh m kK T11 1 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡× h m kXh m kP , (21) ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ h m kPh m kPh m kP 11 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡× h m kPh m kXh m kX T 11 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡× − h m kPh m kXh m kX T 1 1 . (22) Начальное значение коєффициентов вектора )0(θ̂ формируется на ос- нове 0))...()(( 21 =−−− nzzzzzz , где 1<iz , ni ,...,2,1= . Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 123 Пример. Исходная модель ARMA с разнотемповой дискретизацией ко- ординат при 011Th = имеет вид ( )[ ]+−++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 0101 1)(1 1111 TkckThkyahky ξξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+−+−+−+ 040302 432 TkcTkcTkc ξξξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+−+−+−+ 070605 765 TkcTkcTkc ξξξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 00100908 1098 aTkcTkcTkc +−+−+−+ ξξξ , где коэффициенты 80253,01 =a ; 9802,01 =c ; 9608,02 =c ; 94176,03 =c ; 92312,04 =c ; 90484,05 =c ; 88692,06 =c ; 86936,07 =c ; 85215,08 =c ; 83528,09 =c ; 81874,010 =c ; 19746,00 =a . Условная дисперсия (3) для приведенной модели вычисляется по фор- муле ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hkyahkyhk 1 111111 ~ 1 2ξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]−−−−−−−−− 04030201 4321 TkcTkcTkcTkc ξξξξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]−−−−−−− 070605 765 TkcTkcTkc ξξξ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] }2 00100908 1098 aTkcTkcTkc −−−−−−− ξξξ . (23) На основе ряда условных дисперсий (4), (5) по МНК на каждом перио- де квантования h строится модель ARCH (6) +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hkhkh m k 2 11 ~1 11 ~ˆ 2 2 2 1 2 ξβξβξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ hkwhkhk 11 ˆ4 11 ~3 11 ~ 2 4 2 3 γξβξβ , на основе которой по методике (7)–(14) формируется модель GARCH (15) при 4=µ и 3=n +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hkrhkrhk 2 11 ~)(1 11 ~)( 11 ˆ 2 22 2 11 2 ξσξσλξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++ hkrhkr 4 11 ~3 11 ~)( 2 4 2 33 ξξσ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ hkrhkr 6 11 ~5 11 ~ 2 6 2 5 ξξ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ hkwhkwhkr 1 1111 7 11 ~ 1 2 7 σξ В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 124 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− hkwhkw 3 11 2 11 32 σσ . (24) hk ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 11 -0,8 -1 -0,4 -0,6 0 -0,2 0,4 0,2 0,6 5 0 1510 20 1 ∧ σ 1 ∧ σ Рис. 1. График адаптивной настройки коэффициента 1σ̂ по РМНК Рис. 2. График адаптивной настройки коэффициента 2σ̂ по РМНК hk ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 11 0 -0,2 0,4 0,2 0,6 5 1510 20 2 ∧ σ 2 ∧ σ hk ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 11 0 -0,2 0,4 0,2 0,6 5 1510 20 3 ∧ σ 3 ∧ σ Рис.3. График адаптивной настройки коэффициента 3σ̂ по РМНК Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 125 Ри с. 4 . Г ра фи ки в ыч ис ле ни я и п ро гн оз ир ов ан ия у сл ов но й ди сп ер си и 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 В.Д. Романенко, А.В. Билый ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 126 На основе РМНК (19)–(22) выполняется оценка оптимальных значений коэффициентов 321 ˆ,ˆ,ˆ σσσ . Процесс адаптивной настройки этих коэффици- ентов приведен на рис. 1, 2, 3. Прогнозирование условной дисперсии вы- полняется на основе модели GARCH (24). На рис. 4 приведены результаты цифрового моделирования для вычисления условной дисперсии (23) и ее прогнозирования на основе GARCH (24) при оптимальных значениях коэф- фициентов 4766,0ˆ опт1 −=σ ; 0213,0ˆ опт2 =σ ; 1190,0ˆ опт3 −=σ для отсчета квантования ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hk 1 11 . Результаты экспериментов, приведенные на гра- фике, подтверждают высокую точность прогнозирования условной диспер- сии на один период квантования 011Th = . ВЫВОДЫ 1. Разработана методика перехода от модели ARCH к модели GARCH для процессов ARMA с разнотемповой дискретизацией. 2. Экспериментально установлено, что коэффициенты модели GARCH nσσσ ,...,, 21 относительно скользящего среднего существенно влияют на точность прогнозирования условной дисперсии гетероскедастических про- цессов. 3. Разработан алгоритм адаптивной настройки коэффициентов модели GARCH относительно скользящего среднего на основе РМНК для достиже- ния оптимальной точности прогнозирования условной дисперсии. 4. Проведено экспериментальное исследование алгоритма адаптивной настройки коэффициентов модели GARCH и прогнозирования условной дисперсии с использованием модели GARCH при оптимально настроенных коэффициентах, которое подтвердило высокую точность прогнозирования. ЛИТЕРАТУРА 1. Hamilton J.D. Time series analysis. — N.-Y.: Prinseton University Press. — 1994. — 799 p. 2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. — М.: Фазис, 1998. — 512 с. 3. Романенко В.Д. Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероске- дастических процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 115–130. 4. Романенко В.Д. Методи автоматизації прогресивних технологій: Підручник. — Київ: Вища шк., 1995. — 519 с. Поступила 05.12.2007
id	journaliasakpiua-article-109779
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:23:10Z
publishDate	2017
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/15/fbc453728745391de872a9588bdea615.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1097792018-04-11T11:06:06Z Design and adaptive setting of GARCH models for forecasting dispersions of heteroscedastic processes with multirate discretization Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий гетероскедастических процессов с разнотемповой дискретизацией Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією Romanenko, V. D. Bilyi, O. V. Theoretical propositions concerning design of GARCH models for forecasting conditional dispersions of heteroscedastic processes under discretization of input disturbances with small sampling periods and output coordinates with large ones are considered. The dynamics of processes in a stochastic medium is described by models of autoregression and sliding mean with multirate discretization. An algorithm for adaptive setting of the GARCH model coefficients concerning the sliding mean is developed. Experimental results for adaptive setting of GARCH model optimal coefficients as well as forecasting conditional dispersions under optimal coefficients are presented. Рассмотрены теоретические положения проектирования моделей GARCH для прогнозирования условных дисперсий гетероскедастических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической среде описана моделями авторегрессии и скользящего среднего с разнотемповой дискретизацией. Разработан алгоритм адаптивной настройки коэффициентов относительно скользящего среднего модели GARCH. Приведены результаты экспериментальных исследований такой настройки и прогнозирования условной дисперсии при оптимальных коэффициентах. Розглянуто теоретичні положення проектування моделей GARCH для прогнозування умовних дисперсій гетероскедастичних процесів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування, а вихідних координат — з великими. Динаміку процесів у стохастичному середовищі описано моделями авторегресії і ковзного середнього з різнотемповою дискретизацією. Розроблено алгоритм адаптивного настроювання коефіцієнтів відносно ковзного середнього моделі GARCH. Наведено результати експериментальних досліджень такого настроювання та прогнозування умовних дисперсій при оптимальних коефіцієнтах. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-09-08 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109779 System research and information technologies; No. 1 (2008); 114-126 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2008); 114-126 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2008); 114-126 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109779/104820 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Romanenko, V. D. Bilyi, O. V. Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title	Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title_alt	Design and adaptive setting of GARCH models for forecasting dispersions of heteroscedastic processes with multirate discretization Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий гетероскедастических процессов с разнотемповой дискретизацией
title_full	Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title_fullStr	Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title_full_unstemmed	Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title_short	Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
title_sort	синтез та адаптивне настроювання моделей garch для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109779
work_keys_str_mv	AT romanenkovd designandadaptivesettingofgarchmodelsforforecastingdispersionsofheteroscedasticprocesseswithmultiratediscretization AT bilyiov designandadaptivesettingofgarchmodelsforforecastingdispersionsofheteroscedasticprocesseswithmultiratediscretization AT romanenkovd sinteziadaptivnaânastrojkamodelejgarchdlâprognozirovaniâdispersijgeteroskedastičeskihprocessovsraznotempovojdiskretizaciej AT bilyiov sinteziadaptivnaânastrojkamodelejgarchdlâprognozirovaniâdispersijgeteroskedastičeskihprocessovsraznotempovojdiskretizaciej AT romanenkovd sinteztaadaptivnenastroûvannâmodelejgarchdlâprognozuvannâdispersíjgeteroskedastičnihprocesívzríznotempovoûdiskretizacíêû AT bilyiov sinteztaadaptivnenastroûvannâmodelejgarchdlâprognozuvannâdispersíjgeteroskedastičnihprocesívzríznotempovoûdiskretizacíêû

Синтез та адаптивне настроювання моделей GARCH для прогнозування дисперсій гетероскедастичних процесів з різнотемповою дискретизацією

Institution

Similar Items