Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного

Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного

Розглянуто питання побудови алгоритмів представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного. Представлено універсальний підхід, який базується на перетворенні зображень вихідних нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2005
Main Authors: Синьков, М.В., Каліновський, Я.О., Боярінова, Ю.Є.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут проблем реєстрації інформації НАН України 2005
Series:Реєстрація, зберігання і обробка даних
Subjects:
Математичні методи обробки даних
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50719
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50719
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-507192025-02-23T20:20:34Z Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного Разработка и исследование алгоритмов построения изображения обратных функций от гиперкомплексного переменного Development and Research of Algorithms for Image Construction of Inverse Functions from Hypercomplex Variable Синьков, М.В. Каліновський, Я.О. Боярінова, Ю.Є. Математичні методи обробки даних Розглянуто питання побудови алгоритмів представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного. Представлено універсальний підхід, який базується на перетворенні зображень вихідних нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного. Рассмотрены вопросы построения алгоритмов представления обратных функций от гиперкомплексного переменного. Представлен универсальный подход, который базируется на переводе изображений прямых нелинейных функций от гиперкомплексного переменного. Questions of constructing algorithms of inverse functions representation from hypercomplex variable are considered. A universal approach which is based on transformation of images of direct nonlinear functions from hypercomplex variable is given. 2005 Article Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50719 517.547.7; 681.3 uk Реєстрація, зберігання і обробка даних application/pdf Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математичні методи обробки даних
Математичні методи обробки даних
spellingShingle Математичні методи обробки даних
Математичні методи обробки даних
Синьков, М.В.
Каліновський, Я.О.
Боярінова, Ю.Є.
Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
Реєстрація, зберігання і обробка даних
description Розглянуто питання побудови алгоритмів представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного. Представлено універсальний підхід, який базується на перетворенні зображень вихідних нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного.
format Article
author Синьков, М.В.
Каліновський, Я.О.
Боярінова, Ю.Є.
author_facet Синьков, М.В.
Каліновський, Я.О.
Боярінова, Ю.Є.
author_sort Синьков, М.В.
title Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
title_short Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
title_full Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
title_fullStr Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
title_full_unstemmed Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
title_sort розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного
publisher Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
publishDate 2005
topic_facet Математичні методи обробки даних
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50719
citation_txt Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 32-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series Реєстрація, зберігання і обробка даних
work_keys_str_mv AT sinʹkovmv rozrobkatadoslídžennâalgoritmívpobudovizobražennâobernenihfunkcíjvídgíperkompleksnogozmínnogo
AT kalínovsʹkijâo rozrobkatadoslídžennâalgoritmívpobudovizobražennâobernenihfunkcíjvídgíperkompleksnogozmínnogo
AT boârínovaûê rozrobkatadoslídžennâalgoritmívpobudovizobražennâobernenihfunkcíjvídgíperkompleksnogozmínnogo
AT sinʹkovmv razrabotkaiissledovaniealgoritmovpostroeniâizobraženiâobratnyhfunkcijotgiperkompleksnogoperemennogo
AT kalínovsʹkijâo razrabotkaiissledovaniealgoritmovpostroeniâizobraženiâobratnyhfunkcijotgiperkompleksnogoperemennogo
AT boârínovaûê razrabotkaiissledovaniealgoritmovpostroeniâizobraženiâobratnyhfunkcijotgiperkompleksnogoperemennogo
AT sinʹkovmv developmentandresearchofalgorithmsforimageconstructionofinversefunctionsfromhypercomplexvariable
AT kalínovsʹkijâo developmentandresearchofalgorithmsforimageconstructionofinversefunctionsfromhypercomplexvariable
AT boârínovaûê developmentandresearchofalgorithmsforimageconstructionofinversefunctionsfromhypercomplexvariable
first_indexed 2025-11-25T03:40:53Z
last_indexed 2025-11-25T03:40:53Z
_version_ 1849732163886383104
fulltext 32 УДК 517.547.7; 681.3 М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова Інститут проблем реєстрації інформації НАН України вул. М. Шпака, 2, 03113 Київ, Україна Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного Розглянуто питання побудови алгоритмів представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного. Представлено універсальний підхід, який базується на перетворенні зображень вихідних нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного. Ключові слова: гіперкомплексна числова система, обернені функції, кватерніони. Знання зображень таких нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного як експонента, гіперболічні та тригонометричні функції, дозволяє будувати і зо- браження обернених функцій. Якщо позначити пряму функцію через )(XF , (1) де å = = n j jjexX 1 — гіперкомплексна змінна, яка належить гіперкомплексній число- вій системі G вимірності n , тоді обернена до (1) функція )(1 YF - буде визначати- ся за допомогою співвідношення: XXFF =- ))((1 . (2) Співвідношення (2) свідчить про те, що область значень прямої функції по- винна входити до області існування оберненої функції. Крім того, область значень оберненої функції повинна входити до гіперкомплексної числової системи. Як відомо з попередніх досліджень [1, 2], зображення таких нелінійностей як експонента, гіперболічні та тригонометричні функції, являють собою гіперкомп- лексні функції, тобто мають вигляд: j n j nj exxfXF ×=å =1 1 ),..,()( , (3) © М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 33 звідки j n j jj n j nj exexxfF ×=× åå == - 11 1 1 )),..,(( . (4) Для того, щоб (4) було зображенням оберненої функції, її аргумент повинен бути просто гіперкомплексною змінною: j n j jj n j nj eyexxf ×=× åå == 11 1 ),..,( . (5) Якщо рівняння (5) перетворити в систему рівнянь njyxxf jnj ,..,1,),..,( 1 == , (6) то її можна розв’язати відносно змінних nxx ,..,1 : njyygx njj ,...,1);,...,( 1 == . (7) Якщо ці розв’язки підставити в (4), то оде- ржимо зображення оберненої функції: j n j njj n j j eyygeyF ×=× åå == - 1 1 1 1 ),...,()( . (8) Функція вигляду (8) може бути багато- значною. В цьому випадку треба якимось спо- собом виділити область головних значень, яка повинна входити до гіперкомплексної числової системи G . Усе вищевикладене можна пред- ставити у вигляді блок-схеми алгоритму побу- дови зображення обернених функцій від гіпер- комплексного змінного. Розглянемо декілька випадків побудови зображень різних нелінійностей в деяких гіпер- комплексних числових системах. Функцією, оберненою до експоненти, є ло- гарифмічна функція. В системі квазікомплекс- них чисел, закон композиції якої М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова 34 (9) де 0 4 2 <+ qp , експонента має такий вигляд: )sin1)sin 2 ((cos)(Exp 22122 2 2211 21 ekm k ekm k qkmeemem mqm ×+-=+ + . (10) Будуємо систему рівнянь (6): ï ï î ïï í ì =× =- + + ,sin1 ,)sin 2 (cos 222 2 122 2 21 21 xekme k xkm k qkme mqm mqm (11) яка має такі розв’язки: . 2 arctg1 , 2 2 arctg 2 ) 2 (ln 21 2 2 21 22 2 2 211 k n xqx x k m k nq xqx x k qxxqxkm p p + + = + + -++= (12) Якщо головні значення вибрати при 0=n , то зображення логарифмічної фу- нкції системи (12) буде таким: . 2 arctg1) 2 arctg 2 ) 2 ((ln )(Ln 2 21 2 21 22 2 2 21 2211 e xqx x kxqx x k qxxqxk exex + + + -++= =+ (13) Якщо в (13) підставити значення структурних констант, які відповідають сис- темі комплексних чисел C ,1,1,0 =-== kpq то одержимо зображення логарифмічної функції у системі C : e1 e2 e1 e1 e2 e2 e2 pe1 + qe2 Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 35 2 1 2 1 2 2 2 12211 arctgln)(Ln e x xexxexex ++=+ . (14) У системі квазідуальних чисел, закон композиції якої має вигляд (9), але 0 4 2 =+ qp , експоненту запишемо наступним чином: )) 2 1(()(Exp 2212 2 2211 21 ememqeemem mqm +-=+ + , (15) а систему (6): ï î ï í ì = =- + + , ,) 2 1( 22 2 12 2 21 21 xme xmqe mqm mqm (16) розв’язки якої відносно 1m та 2m : . 2 2 , 22 ln 21 2 2 21 2 211 qxx xm qxx qxxqxm + = + -+= (17) Як бачимо, ці функції однозначні, а тому зображення логарифмічної функції в цій системі таке: 2 21 2 1 21 2 212211 2 2) 22 (ln)(Ln e qxx xe qxx qxxqxexex + + + -+=+ . (18) Якщо в (18) підставити значення структурних констант, які відповідають сис- темі дуальних чисел 0,0,0 === kpq , то одержимо зображення логарифмічної функції у системі дуальних чисел: 2 1 2 112211 ln)(Ln e x xexexex +=+ . (19) М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова 36 У системі квазіподвійних чисел, закон композиції якої (9), але 0 4 2 >+ qp , експонента має такий вигляд: ))(1))( 2 )((()(Exp 22122 ) 2 ( 2211 21 ekmsh k ekmsh k qkmcheemem tmqm ××+×-=+ + . (20) Будуємо систему рівнянь (6): ï ï î ïï í ì = =- + + .)(1 ,)( 2 )(( 22 ) 2 ( 122 ) 2 ( 21 21 xkmshe k xkmsh k qkmche tmqm tmqm (21) Її розв’язки мають вигляд: ,ln1 )), 2 1ln(2ln2ln( 2 1 2 1221 a aa k m xqxkxkkq k m = +++--= (22) де 122 122 22 22 xqxkx xqxkx -- ++ =a . Ці функції однозначні, а тому зображення логарифмічної функції у цій сис- темі таке: 211222211 ln1)) 2 1ln(2ln2ln( 2 1)(Ln e k exqxkxkkq k exex ×+×+++--=+ aaa . (23) Якщо в (22) підставити значення структурних констант, які відповідають сис- темі подвійних чисел: 1,1,0 === kpq , то одержимо зображення логарифмічної функції у системі подвійних чисел: 2 21 21 1 2 2 2 12211 ln 2 1ln 2 1)(Ln e xx xxexxexex × - + +×-=+ . (24) У системі гіперкомплексних чисел, закон композиції якої: Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 37 е1 е2 е3 е1 е1 е2 е3 е2 е2 е3 е1 е3 е3 е1 е2 експонента має такий вигляд: ).))(( 2 3sin()3 )2))(( 2 3cos( )(( 3 1)(Exp 3232 2 32132 2 321332211 32 1 32 1 321 eemme eeemme eeeeememem mm m mm m mmm --+ +---+ +++=++ + - + - ++ (25) Будуємо систему рівнянь (6): ï ï ï î ï ï ï í ì = - + - - = - - - + = - + + -++ + -++ + -++ .))3 2 sin()3 2 cos(3(( 3 1 ,))3 2 sin()3 2 cos(3(( 3 1 ,))3 2 cos(2( 3 1 3 32322 2 32322 1 322 32 1 321 32 1 321 32 1 321 xmmmmee xmmmmee xmmee mmmmmm mmmmmm mmmmmm (26) Її розв’язок виглядатиме наступним чином: ,3)( 3 1 ,3)( 3 1 ),2( 3 1 3 2 1 bacm bacm cam --= +-= += (27) де введені такі позначення: .)(3ln ,)2(3arctg ,)2333(3ln 321 32 321 323121 2 3 2 2 2 1 xxxc xx xxxb xxxxxxxxxa +-= - -+ ±= --+++= (28) М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова 38 Як видно з виразів (28), для того, щоб задовольнити умові існування логари- фму, потрібно виконання умов: 0321 ¹+- xxx , (29) )0()0()0( 321 ¹Ç¹Ç¹ xxx . (30) Крім того слід зауважити, що підкоренева квадратична форма невід’ємна, бо дискримінанти по всіх змінних від’ємні: .0 ,0)(3 2 132 2 321 <-=D=D <--=D x xx (31) Для вибору головного значення оберненої функції приймаємо в другому ви- разі (28) тільки знак «+». З урахуванням цих обмежень, зображення логарифміч- ної функції у цій системі має такий вигляд: ,)3)( 3 1()3)( 3 1()2( 3 1 )(Ln 321 332211 ebacebaceca exexex --++-++= =++ (32) де величини cba ,, визначаються за (28). Розглянемо побудову зображення функції, оберненої до тригонометричного синуса, в цій же гіперкомплексній числовій системі. Зображення синуса має такий вигляд: ,)sin-scos3(sin)csin-scos3(sin )sin2((sin 3 1)(Sin 32 1332211 echhehh echememem bgbgabgbga bga ××-+××++ +×+=++ (33) де ba , та g визначаються так: 321 mmm ++=a , (34) 3 2 32 mm - =b , (35) 2 32 1 mmm + -=g . (36) Система (6) в даному випадку приймає вигляд: Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 39 ï ï ï î ïï ï í ì =××- =××+ =×+ .)sin-scos3(sin 3 1 ,)sin-scos3(sin 3 1 ,)sin2(sin 3 1 3 2 1 xchh xchh xch bgbga bgbga bga (37) звідки випливає: . 2 )2(9)(3 , 2 3arctg ,)arcsin()1( 2 321 2 32 32 321 321 xxxxx arch xx xxx nxxxn +++- ±= - ++ ±= ++--= g b pa (38) Якщо підставити (37) в (33)–(35), то одержимо: ).3( 3 1 ),3( 3 1 ),2( 3 1 3 2 1 bga bga ga --= +-= += m m m (39) Для вибору головного значення оберненої функції приймаємо в першому ви- разі (38) 0=n , в другому та третьому виразах тільки знак «+». З урахуванням цих обмежень, зображення оберненої до синусу функції — арксинуса в цій системі має такий вигляд: ))3()3()2(( 3 1)sin(Arc 321332211 eeeememem bgabgaga --++-++=++ , (40) де величини gba ,, визначаються за (39). Розглянемо побудову зображень обернених тригонометричних функцій в си- стемі четвертої вимірності з законом композиції: е1 е2 е3 е4 е1 е1 е2 е3 е4 е2 е2 0 0 0 е3 е3 0 0 0 е4 е4 0 0 0 М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова 40 Зображення синусу в цій системі має вигляд: .coscoscossin )(Sin 41431321211 44332211 emmemmemmem emememem ×+×+×+×= =+++ (41) Будуємо систему (6): ï ï î ï ï í ì = = = = ,cos ,cos ,cos ,sin 414 313 212 11 xmm xmm xmm xm (42) розв’язки якої: . 21cos ,arcsin)1( 2 1 2 11 p p nxar xm kxm i k +- = +-= (43) Для вибору головного значення приймаємо значення 0=k . З урахуванням цього, зображення арксинуса буде таким: ).( 1arccos 1arcsin )sin(Arc 4433222 1 11 44332211 ememem m em emememem ++ - += =+++ (44) Розглянемо також обернені функції в такій важливій для практики системи гіперкомплексних чисел як кватерніони. Логарифмічну функцію автори розгляда- ли в роботі [3]. Наведемо її: )(arccos1ln)(Ln 443322 1 144332211 ememem M m m eMemememem +++×=+++ , (45) де 2 4 2 3 2 2 2 1 mmmmM +++= — норма кватерніона; 2 4 2 3 2 2 mmmm ++= . Зображення синуса кватерніона наступне: )cos(sin)(Sin 443322144332211 emememmchmemememem ++=+++ . (46) Система (6) буде мати вигляд: Розробка та дослідження алгоритмів побудови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 41 ïî ï í ì ==× =× .4,3,2,cos ,sin 1 11 ixmshm m m xmchm i i (47) Безпосереднє розв’язання системи (47) пов’язано з великими математичними труднощами. Тому для побудови зображення використаємо тригонометричну фо- рму кватерніона [4, 5]: ),sin(cos nn IMM += (48) де M m1arccos=n , (49) )(1 443322 ememem m I ++= . (50) Оскільки 12 -=I , то формально кватерніони у тригонометричній формі (48) можна розглядати як комплексне число. Зображення арксинуса комплексного члена відоме [6]: ,) 4 1)( 2 1 2 ln() 2 ()arcsin( 2 21 IIxx ×-++ + + + =+ ba baba (51) де 2 2 2 1 )1( xx ++=a , (52) 2 2 2 1 )1( xx +-=b . (53) Якщо в (52) та в (53) замість х1 підставити ncosM , замість х2 — nsinM , а I замінити на його вираз (50), то одержимо зображення арксинуса кватерніона: ),() 4 1)( 2 1 2 ln() 2 arcsin( )sin(Arc 443322 2 1 44332211 emememe emememem ++×-++ + + + = =+++ bababa (54) де a та b визначаються за (52) та (53). Наведені приклади свідчать про можливість побудови зображень обернених функцій, які доцільно використовувати при побудові ефективних моделей в різ- них галузях науки та техніки. 1. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в рас- ширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 4. — C. 178–181. М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова 42 2. Catoni F. Hypercomplex Numbers, Functions of Hypercomplex Variable and Physical Fields (RT/ERG/94/18). On line: http//www.studi131.casaccia.enea.it/enea/it/rt/exg9418.html (1994). 3. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Логарифмическая функ- ция от кватерниона // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2002. — Т. 4, № 1. — С. 35–37. 4. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с. 5. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердо- го тела. — М.: Наука,1973. — 319 с. 6. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. — М.: Физматгиз, 1985. — 336 с. Надійшла до редакції 05.03.2005

Similar Items