Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі
Предложено решение известной навигационной задачи Цермело классическими вариационными методами. Классическая задача Цермело в рамках теории оптимального управления формулируется следующим образом. Корабль должен пройти через область сильных течений, величина и направление скорости течения задаются к...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/138 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Problems of Control and Informatics |
Institution
Problems of Control and Informatics| id |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-138 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Problems of Control and Informatics |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2024-03-14T10:43:58Z |
| collection |
OJS |
| language |
Russian |
| topic |
навігаційна задача Цермело варіаційна задача брахістохронний рух векторне поле рухомої рідини швидкодія функціонал часу рівняння Ейлера граничні умови екстремальна траєкторія |
| spellingShingle |
навігаційна задача Цермело варіаційна задача брахістохронний рух векторне поле рухомої рідини швидкодія функціонал часу рівняння Ейлера граничні умови екстремальна траєкторія Legeza, Victor Neshchadym , Alexander Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| topic_facet |
Zermelo navigation problem variational problem brachistochronic motion vector field of a mobile fluid fast-action Euler equations boundary conditions extremal trajectory навигационная задача Цермело вариационная задача брахистохронное движение векторное поле подвижной жидкости быстродействие уравнения Эйлера граничные условия экстремальная траектория навігаційна задача Цермело варіаційна задача брахістохронний рух векторне поле рухомої рідини швидкодія функціонал часу рівняння Ейлера граничні умови екстремальна траєкторія |
| format |
Article |
| author |
Legeza, Victor Neshchadym , Alexander |
| author_facet |
Legeza, Victor Neshchadym , Alexander |
| author_sort |
Legeza, Victor |
| title |
Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_short |
Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_full |
Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_fullStr |
Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_full_unstemmed |
Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_sort |
визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі |
| title_alt |
Определение траекторий наибыстрейшего движения материальной точки в горизонтальном векторном поле Determination of the fastest trajectories of material point motion in a horizontal vector field |
| description |
Предложено решение известной навигационной задачи Цермело классическими вариационными методами. Классическая задача Цермело в рамках теории оптимального управления формулируется следующим образом. Корабль должен пройти через область сильных течений, величина и направление скорости течения задаются как функции фазовых переменных. При этом задается относительная скорость корабля, модуль которой во время движения остается постоянным. Нужно найти такое оптимальное управление, которое обеспечивает прибытие корабля в заданную точку за минимальное время, то есть следует определить управление кораблем по быстродействию. Рассмотрено брахистохронное движение материальной точки в плоском векторном поле подвижной жидкости, для которого сформулирована классическая вариационная задача поиска экстремальных траекторий. Целью исследования является получение уравнений экстремальных траекторий движения, вдоль которых материальная точка перемещается от заданной стартовой точки к заданной финишной за кратчайшее время. Решение поставленной задачи осуществлялось с помощью классических методов теории вариационного числа. Для заданного варианта граничных условий установлены алгебраические уравнения экстремалей движения материальной точки в виде отрезков степеневого ряда. Проведен сравнительный анализ быстродействия как по экстремальным траекториям, так и альтернативным путем — по прямой линии, соединяющей две заданные точки старта и финиша. Анализ результатов показал, что рассматриваемая вариационная задача имеет две решения, которые отличаются лишь знаком. Однако только одно решение обеспечивает минимальное время перемещения материальной точки между двумя заданными. Также установлено, что экстремальная траектория брахистохронного движения точки не прямой, а имеет колебательный характер.
Запропоновано розвʼязання відомої навігаційної задачі Цермело класичними варіаційними методами. Класична задача Цермело в рамках теорії оптимального керування формулюється таким чином. Корабель повинен пройти через область сильних течій, величина і напрямок швидкості течії задаються як функції фазових змінних. При цьому задається відносна швидкість корабля, модуль якої під час руху залишається сталим. Потрібно знайти таке оптимальне керування, яке забезпечує прибуття корабля в задану точку за мінімальний час, тобто слід визначити керування кораблем за швидкодією. Розглянуто брахістохронний рух матеріальної точки в плоскому векторному полі рухомої рідини, для якого сформульовано класичну варіаційну задачу пошуку екстремальних траєкторій. Метою дослідження є отримання рівнянь екстремальних траєкторій руху, уздовж яких матеріальна точка переміщується від заданої стартової точки до заданої фінішної за найкоротший час. Розвʼязання поставленої задачі здійснювалося за допомогою класичних методів теорії варіаційного числення. Для заданого варіанту граничних умов встановлені алгебраїчні рівняння екстремалей руху матеріальної точки у вигляді відрізків степеневого ряду. Проведено порівняльний аналіз швидкодії як за екстремальними траєкторіями, так і альтернативним шляхом — за прямою лінією, яка зʼєднує дві задані точки старту і фінішу. Аналіз результатів показав, що розглянута варіаційна задача має два розвʼязки, які відрізняються лише знаком. Однак тільки одне рішення забезпечує мінімальний час переміщення матеріальної точки між двома заданими. Також встановлено, що екстремальна траєкторія брахістохронного руху точки не є прямою, а має коливальний характер. |
| publisher |
V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine |
| publishDate |
2021 |
| url |
https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/138 |
| work_keys_str_mv |
AT legezavictor opredelenietraektorijnaibystrejšegodviženiâmaterialʹnojtočkivgorizontalʹnomvektornompole AT neshchadymalexander opredelenietraektorijnaibystrejšegodviženiâmaterialʹnojtočkivgorizontalʹnomvektornompole AT legezavictor viznačennâtraêktoríjnajšvidkísníšogoruhumateríalʹnoítočkivgorizontalʹnomuvektornomupolí AT neshchadymalexander viznačennâtraêktoríjnajšvidkísníšogoruhumateríalʹnoítočkivgorizontalʹnomuvektornomupolí AT legezavictor determinationofthefastesttrajectoriesofmaterialpointmotioninahorizontalvectorfield AT neshchadymalexander determinationofthefastesttrajectoriesofmaterialpointmotioninahorizontalvectorfield |
| first_indexed |
2025-10-30T02:48:41Z |
| last_indexed |
2025-10-30T02:48:41Z |
| _version_ |
1847373354966712320 |
| spelling |
oai:ojs2.jais.net.ua:article-1382024-03-14T10:43:58Z Определение траекторий наибыстрейшего движения материальной точки в горизонтальном векторном поле Визначення траєкторій найшвидкіснішого руху матеріальної точки в горизонтальному векторному полі Determination of the fastest trajectories of material point motion in a horizontal vector field Legeza, Victor Neshchadym , Alexander Zermelo navigation problem variational problem brachistochronic motion vector field of a mobile fluid fast-action Euler equations boundary conditions extremal trajectory навигационная задача Цермело вариационная задача брахистохронное движение векторное поле подвижной жидкости быстродействие уравнения Эйлера граничные условия экстремальная траектория навігаційна задача Цермело варіаційна задача брахістохронний рух векторне поле рухомої рідини швидкодія функціонал часу рівняння Ейлера граничні умови екстремальна траєкторія Предложено решение известной навигационной задачи Цермело классическими вариационными методами. Классическая задача Цермело в рамках теории оптимального управления формулируется следующим образом. Корабль должен пройти через область сильных течений, величина и направление скорости течения задаются как функции фазовых переменных. При этом задается относительная скорость корабля, модуль которой во время движения остается постоянным. Нужно найти такое оптимальное управление, которое обеспечивает прибытие корабля в заданную точку за минимальное время, то есть следует определить управление кораблем по быстродействию. Рассмотрено брахистохронное движение материальной точки в плоском векторном поле подвижной жидкости, для которого сформулирована классическая вариационная задача поиска экстремальных траекторий. Целью исследования является получение уравнений экстремальных траекторий движения, вдоль которых материальная точка перемещается от заданной стартовой точки к заданной финишной за кратчайшее время. Решение поставленной задачи осуществлялось с помощью классических методов теории вариационного числа. Для заданного варианта граничных условий установлены алгебраические уравнения экстремалей движения материальной точки в виде отрезков степеневого ряда. Проведен сравнительный анализ быстродействия как по экстремальным траекториям, так и альтернативным путем — по прямой линии, соединяющей две заданные точки старта и финиша. Анализ результатов показал, что рассматриваемая вариационная задача имеет две решения, которые отличаются лишь знаком. Однако только одно решение обеспечивает минимальное время перемещения материальной точки между двумя заданными. Также установлено, что экстремальная траектория брахистохронного движения точки не прямой, а имеет колебательный характер. Запропоновано розвʼязання відомої навігаційної задачі Цермело класичними варіаційними методами. Класична задача Цермело в рамках теорії оптимального керування формулюється таким чином. Корабель повинен пройти через область сильних течій, величина і напрямок швидкості течії задаються як функції фазових змінних. При цьому задається відносна швидкість корабля, модуль якої під час руху залишається сталим. Потрібно знайти таке оптимальне керування, яке забезпечує прибуття корабля в задану точку за мінімальний час, тобто слід визначити керування кораблем за швидкодією. Розглянуто брахістохронний рух матеріальної точки в плоскому векторному полі рухомої рідини, для якого сформульовано класичну варіаційну задачу пошуку екстремальних траєкторій. Метою дослідження є отримання рівнянь екстремальних траєкторій руху, уздовж яких матеріальна точка переміщується від заданої стартової точки до заданої фінішної за найкоротший час. Розвʼязання поставленої задачі здійснювалося за допомогою класичних методів теорії варіаційного числення. Для заданого варіанту граничних умов встановлені алгебраїчні рівняння екстремалей руху матеріальної точки у вигляді відрізків степеневого ряду. Проведено порівняльний аналіз швидкодії як за екстремальними траєкторіями, так і альтернативним шляхом — за прямою лінією, яка зʼєднує дві задані точки старту і фінішу. Аналіз результатів показав, що розглянута варіаційна задача має два розвʼязки, які відрізняються лише знаком. Однак тільки одне рішення забезпечує мінімальний час переміщення матеріальної точки між двома заданими. Також встановлено, що екстремальна траєкторія брахістохронного руху точки не є прямою, а має коливальний характер. Запропоновано розвʼязання відомої навігаційної задачі Цермело класичними варіаційними методами. Класична задача Цермело в рамках теорії оптимального керування формулюється таким чином. Корабель повинен пройти через область сильних течій, величина і напрямок швидкості течії задаються як функції фазових змінних. При цьому задається відносна швидкість корабля, модуль якої під час руху залишається сталим. Потрібно знайти таке оптимальне керування, яке забезпечує прибуття корабля в задану точку за мінімальний час, тобто слід визначити керування кораблем за швидкодією. Розглянуто брахістохронний рух матеріальної точки в плоскому векторному полі рухомої рідини, для якого сформульовано класичну варіаційну задачу пошуку екстремальних траєкторій. Метою дослідження є отримання рівнянь екстремальних траєкторій руху, уздовж яких матеріальна точка переміщується від заданої стартової точки до заданої фінішної за найкоротший час. Розвʼязання поставленої задачі здійснювалося за допомогою класичних методів теорії варіаційного числення. Для заданого варіанту граничних умов встановлені алгебраїчні рівняння екстремалей руху матеріальної точки у вигляді відрізків степеневого ряду. Проведено порівняльний аналіз швидкодії як за екстремальними траєкторіями, так і альтернативним шляхом — за прямою лінією, яка зʼєднує дві задані точки старту і фінішу. Аналіз результатів показав, що розглянута варіаційна задача має два розвʼязки, які відрізняються лише знаком. Однак тільки одне рішення забезпечує мінімальний час переміщення матеріальної точки між двома заданими. Також встановлено, що екстремальна траєкторія брахістохронного руху точки не є прямою, а має коливальний характер. The article proposes a solution to the well-known Zermelo navigation problem by classical variational methods. The classical Zermelo problem within the framework of optimal control theory is formulated as follows. The ship must pass through the region of strong currents, the magnitude and direction of the current velocity are set as functions of phase variables. In this case, the relative speed of the ship is set, the module of which remains constant during movement. It is necessary to find such an optimal control that ensures the arrival of the ship at a given point in the minimum time, i.e. control of the ship by fast-action should be determined. In this paper, we consider the brachistochronic motion of a material point in a plane vector field of a mobile fluid, for which the classical variational problem of finding extreme trajectories is formulated. The aim of the study is to obtain equations of extreme trajectories along which a material point moves from a given starting point to a given finish point in the least amount of time. The solution to the problem was carried out using the classical methods of the theory of the calculus of variations. For a given variant of the boundary conditions, algebraic equations of extremals of motion of a material point were established in the form of segments of a power series. A comparative analysis of the fast-action was carried out both along extreme trajectories and along an alternative path — along a straight line that connects two given start and finish points. Analysis of the results showed that the considered variational problem has two solutions, which differ only in sign. However, only one solution provides the minimum time for moving a material point between two given points. It was also found that the extreme trajectory of the brachistochronic motion of a point is not straight, but has an oscillatory character. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine 2021-03-03 Article Article application/pdf https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/138 10.34229/1028-0979-2021-4-2 Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; Том 66 № 4 (2021): Міжнародний науково-технічний журнал "Проблеми керування та інформатики"; 19-27 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics; Том 66 № 4 (2021): International Scientific and Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 19-27 International Scientific Technical Journal "Problems of Control and Informatics"; Vol. 66 No. 4 (2021): International Scientific and Technical Journal "PROBLEMS OF CONTROL AND INFORMATICS"; 19-27 2786-6505 2786-6491 10.34229/1028-0979-2021-4 ru https://jais.net.ua/index.php/files/article/view/138/229 Copyright (c) 2021 Victor Legeza, Alexander Neshchadym https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0 |