Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables
We construct and investigate the classical fundamental solution of the Cauchy problem for a degenerate Kolmogorov's equation whose coefficients depend on two groups of spatial variables. We obtain exact estimates of the fundamental solution and its derivatives.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/211 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552734161371136 |
|---|---|
| author | Ivasyshen, S. D. Medynsky, I. P. Івасишен, С. Д. Мединський, І. П. |
| author_facet | Ivasyshen, S. D. Medynsky, I. P. Івасишен, С. Д. Мединський, І. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Д. Івасишен",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
},
{
"author": "І. П. Мединський",
"institution": "Національний університет «Львівська політехніка»"
}
] |
| author_sort | Ivasyshen, S. D. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T12:42:59Z |
| description | We construct and investigate the classical fundamental solution of the Cauchy problem for a degenerate Kolmogorov's equation whose coefficients depend on two groups of spatial variables. We obtain exact estimates of the fundamental solution and its derivatives. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 108–155
УДК 517.956.4
С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
(Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ;
Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, Львiв;
Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iменi Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв)
Класичнi фундаментальнi розв’язки
задачi Кошi для ультрапараболiчних
рiвнянь типу Колмогорова з двома
групами просторових змiнних
ivasyshen_sd@mail.ru, i.p.medynsky@gmail.com
We construct and investigate the classical fundamental solution of
the Cauchy problem for a degenerate Kolmogorov’s equation whose
coefficients depend on two groups of spatial variables. We obtain exact
estimates of the fundamental solution and its derivatives.
Для виродженого рiвняння Колмогорова iз залежними вiд двох
груп просторових змiнних коефiцiєнтами побудовано й дослiдже-
но класичний фундаментальний розв’язок задачi Кошi. Одержа-
но точнi оцiнки фундаментального розв’язку та його похiдних.
c© С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський, 2016
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 109
1. Вступ
Клас рiвнянь, який вивчається в роботi, є природним узагальне-
нням класичного рiвняння дифузiї з iнерцiєю А. М. Колмогоро-
ва [1]. Це рiвняння i його рiзноманiтнi узагальнення вивчались
багатьма авторами [2]. Основна увага при цьому придiлялась
побудовi, одержанню точних оцiнок i дослiдженню рiзних вла-
стивостей фундаментального розв’язку задачi Кошi (ФРЗК) за
якомога слабших припущень на коефiцiєнти рiвняння. На жаль,
на сьогоднiшнiй час точних результатiв, що стосуються класи-
чних ФРЗК для вироджених рiвнянь Колмогорова з коефiцiєн-
тами, залежними вiд усiх змiнних, немає. Як i для невироджених
параболiчних рiвнянь, для вироджених рiвнянь типу Колмого-
рова у випадку, коли коефiцiєнти сталi або залежать лише вiд
часової змiнної, вдається одержати повне аналiтичне описання
ФРЗК i з його допомогою встановити досить точнi результати
про коректну розв’язнiсть задачi Кошi та iнтегральне зображен-
ня розв’язкiв. Якщо коефiцiєнти вироджених рiвнянь типу Кол-
могорова залежать вiд усiх змiнних, то дослiдження ФРЗК iсто-
тно ускладнюється. Крiм традицiйних виникають серйознi тру-
днощi, пов’язанi з виродженiстю рiвнянь. Аналiз праць показав,
що вирiшення проблеми побудови класичного ФРЗК полягає не
тiльки у виборi пiдходящих умов на коефiцiєнти, але i в удалому
виборi параметриксу при застосуваннi методу Левi. Наш пiдхiд
полягає у поетапному застосуваннi методу Левi. На першому ета-
пi будуємо ФРЗК для рiвняння, коефiцiєнти якого залежать вiд
основних змiнних i параметра. За параметрикс беремо ФРЗК для
рiвняння, коефiцiєнти якого залежать тiльки вiд t i параметра
y. Дослiджуються властивостi ФРЗК як функцiї усiх змiнних i
параметра. На другому етапi побудови ФРЗК за параметрикс
беремо ФРЗК, побудований на першому етапi. Результатом цiєї
процедури є класичний ФРЗК. Реалiзацiї такого пiдходу й при-
свячена ця праця.
Робота складається з семи пунктiв. Пункт 1 – вступ. У пунк-
110 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
тi 2 наведено необхiднi позначення, припущення на коефiцiєнти
та допомiжнi твердження. Для рiвняння, коефiцiєнти якого зале-
жать лише вiд t i параметра y := (y1, y2), у цьому пунктi, зокре-
ма, подано оцiнки та властивостi ФРЗК, а також вiдповiдного
об’ємного потенцiалу. Пункт 3 присвячений першому етапу по-
будови ФРЗК Z1 для рiвняння, коефiцiєнти якого залежать вiд t,
основної змiнної x1 i параметра y2. У ньому наведено властивостi
параметриксу Z0, здiйснено iтерацiйну процедуру, результатом
якої є iснування та оцiнки ФРЗК Z1. Оцiнки приростiв похiдних
вiд Z1 за змiнними x1 i x2, а також за параметром y2 виплива-
ють iз результатiв пункту 4, присвяченого властивостям об’єм-
ного потенцiалу W1. У пунктi 5 сформульовано основнi резуль-
тати першого етапу побудови класичного ФРЗК Z. Результати
другого, завершального, етапу побудови Z мiстяться у пунктi 6.
В останньому пунктi 7 наведено загальнi висновки.
Бiблiографiю та огляд праць, присвячених побудовi, дослiд-
женню i застосуванню ФРЗК для вироджених параболiчних рiв-
нянь типу Колмогорова можна знайти в [2–6].
2. Позначення, припущення та допомiжнi
вiдомостi
Нехай n, n1, n2 – заданi натуральнi числа такi, що n1 ≥ n2 ≥ 1
i n = n1 + n2; m1 := 1/2, m2 := 3/2, M := m1n1 + m2n2. Буде-
мо вважати, що просторова змiнна x ∈ Rn складається з двох
груп змiнних: основної групи x1 ∈ Rn1 i групи змiнних виродже-
ння x2 ∈ Rn2 , де xj := (xj1, . . . , xjnj ) ∈ Rnj , j ∈ {1, 2}, так що
x := (x1, x2). Вiдповiдно до цього мультиiндекс k ∈ Zn+, запису-
ватимемо у виглядi k := (k1, k2), де k1 ∈ Zn1
+ , k2 ∈ Zn2
+ .
Будемо користуватися ще такими позначеннями:
ΠH := {(t, x)| t ∈ H, x ∈ Rn}, якщо H ⊂ R; ∆z
xf(·, x, ·) :=
f(·, x, ·) − f(·, z, ·), ∆zs
xsf(·, x, ·) := ∆z(s)
x f(·, x, ·), s ∈ {1, 2}, z(1) :=
(z1, x2), z(2) := (x1, z2); X(t) := (X1(t), X2(t)), X1(t) := x1,
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 111
X2(t) := x2 + tx̂1, x̂1 := (x11, . . . , x1n2), Z(s)(t) := X(t)|xs=zs , s ∈
{1, 2}.
У статтi часто однаковими лiтерами (здебiльшого лiтерами
C i c) будемо позначати рiзнi сталi, якщо їх величини нас не
цiкавлять.
Розглядатимемо рiвняння вигляду
Lu(t, x) := (S −A(t, x, ∂x1))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (1)
де
S := ∂t −
n2∑
j=1
x1j∂x2j ;
A(t, x, ∂x1) :=
n1∑
j,l=1
ajl(t, x)∂x1j∂x1l +
n1∑
j=1
aj(t, x)∂x1j + a0(t, x).
Будемо припускати, що коефiцiєнти ajl, aj i a0 є комплекснозна-
чними функцiями на Π[0,T ], якi задовольняють такi умови:
1) вони є обмеженими й неперервними за t та iснує така стала
δ > 0, що для довiльних (t, x)∈Π[0,T ] i σ1:=(σ11, . . . , σ1n1)∈Rn1
справджується нерiвнiсть
Re
n1∑
j,l=1
ajl(t, x)σ1jσ1l ≥ δ|σ1|2; (2)
2) вони є гельдеровими за просторовими змiнними в такому
сенсi:
∃H1 > 0 ∃α1 ∈ (0, 1) ∀{(t, x), (t, z(1))} ⊂ Π[0,T ] :
|∆z1
x1a(t, x)| ≤ H1|x1 − z1|α1 , (3)
∃H2 > 0 ∃α2 ∈ (1/3, 2/3] ∀{(t, x), (t, z(2))} ⊂ Π[0,T ] ∀h ∈ [0, T ] :
|∆z2
x2a(t, x)| ≤ H2(h
m2α2 + |X2(h)− z2|α2), (4)
де a – будь-який iз коефiцiєнтiв ajl, aj i a0.
112 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
З умови (4) при h = 0 випливає звичайна умова Гельдера за
змiнною x2. Достатня умова виконання (4) наведена в наступнiй
лемi.
Лема 1. Нехай a – неперервна й обмежена функцiя на Π[0,T ],
яка задовольняє умову
∃H3 > 0 ∃α ∈ (1/2, 1] ∀{(t, x), (t, z(2))} ⊂ Π[0,T ] :
|∆z2
x2a(t, x)| ≤ H3(T
m1 + |x̂1|)−α|x2 − z2|α. (5)
Тодi справджується нерiвнiсть (4) з α2 = α/m2.
Доведення. Досить довести обмеженiсть вiдношення
R := |∆z2
x2a(t, x)|(hα + |X2(h)− z2|α/m2)−1
для всiх {(t, x), (t, z(2))} ⊂ Π[0,T ] i h ∈ [0, T ].
У випадку, коли hα + |X2(h)− z2|α/m2 > Tα, маємо
R ≤ T−α|∆z2
x2a(t, x)| ≤ 2MT−α, (6)
де M – стала, яка обмежує модуль функцiї a.
Нехай справджується протилежна нерiвнiсть
hα + |X2(h)− z2|α/m2 ≤ Tα. (7)
Оскiльки X2(h) = x2 + hx̂1, то
|x2 − z2| ≤ h|x̂1|+ |X2(h)− z2|. (8)
Можливi такi випадки : 1) h|x̂1| ≤ |X2(h)− z2| i
2) h|x̂1| > |X2(h)− z2|. У випадку 1) за допомогою
нерiвностей (5) i (8) отримуємо
R ≤ H3(h|x̂1|+ |X2(h)− z2|)α(Tm1 + |x̂1|)−α×
×(hα + |X2(h)− z2|α/m2)−1 ≤ 2αH3|X2(h)− z2|α×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 113
×(Tm1 + |x̂1|)−α(hα + |X2(h)− z2|α/m2)−1,
а оскiльки на пiдставi нерiвностi (7) T−m2 |X2(h) − z2| ≤ 1 i
α > α/m2, то |X2(h) − z2|α = Tm2α(T−m2 |X2(h) − z2|)α ≤
Tm2α(T−m2 |X2(h)− z2|)α/m2 = Tm1α|X2(h)− z2|α/m2 i
R ≤ 2αH3
(
Tm1
Tm1 + |x̂1|
)α( |X2(h)− z2|α/m2
hα + |X2(h)− z2|α/m2
)
≤ 2αH3. (9)
У випадку 2) аналогiчно одержуємо
R ≤ H3(h|x̂1|+ |X2(h)− z2|)α(Tm1 + |x̂1|)−α×
×(hα + |X2(h)− z2|α/m2)−1 ≤ 2αH3(h|x̂1|)α×
×(Tm1 + |x̂1|)−α(hα + |X2(h)− z2|α/m2)−1 ≤
≤ 2αH3
(
|x̂1|
Tm1 + |x̂1|
)α( hα
hα + |X2(h)− z2|α/m2
)
≤ 2αH3. (10)
З нерiвностей (6),(9) i (10) випливає оцiнка (4) з α2 = α/m2 i
H2 = max{2MT−α, 2αH3}. �
Використовуватимемо такi оцiнюючi функцiї:
Ejc (t, zj) := exp{−ct1−2j |zj |2}, t > 0, zj ∈ Rnj , j ∈ {1, 2}; (11)
Ec(t, x, ξ) := E1
c (t,X1(t)− ξ1)×
×E2
c (t,X2(t)− ξ2), t > 0, {x, ξ} ⊂ Rn; (12)
Fc(t, x, ξ) := exp{−c[(4t)−1|x1 − ξ1|2 + 3t−3|x2+
+2−1t(x̂1 + ξ̂1)− ξ2|2]}, t > 0, {x, ξ} ⊂ Rn. (13)
Наведемо потрiбнi нам властивостi цих функцiй з [7].
Лема 2. Функцiї (11)–(13) мають такi властивостi:
Ec(t, x, ξ) ≤ Fc1(t, x, ξ) ≤ Ec2(t, x, ξ),
t > 0, {x, ξ} ⊂ Rn, 0 < c2 < c1 < c; (14)
114 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
t−M
∫
Rn2
Ec(t, x, ξ)dξ2 ≤ Ct−m1n1E1
c (t, x1 − ξ1),
t > 0, x ∈ Rn, x1 ∈ Rn1 ; (15)
t−msns
∫
Rns
Esc (t, xs − ξs)dξs = C, t > 0, xs ∈ Rns , s ∈ {1, 2}; (16)
t−M
∫
Rn
Ec(t, x, ξ) dξ = C, t > 0, x ∈ Rn; (17)
E1
c (t− β, x1 − λ1)E1
c (β − τ, λ1 − ξ1) ≤ E1
c (t− τ, x1 − ξ1),
0 ≤ τ < β < t, {x1, λ1, ξ1} ⊂ Rn1 ; (18)
((t− β)(β − τ))−M
∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C(t− τ)−MEc0(t− τ, x, ξ), 0 ≤ τ < β < t, {x, ξ} ⊂ Rn; (19)
|x1 − ξ1|α1E1
c (t, x1 − ξ1) ≤ Ctm1α1E1
c0(t, x1 − ξ1),
t > 0, {x1, ξ1} ⊂ Rn1 ; (20)
|Xs(t)− ξs|αsEc(t, x, ξ) ≤ CtmsαsEc0(t, x, ξ),
t > 0, {x, ξ} ⊂ Rn, s ∈ {1, 2}; (21)
Ec(β − τ,X(t− β), ξ) ≤ Ec(t− τ, x, ξ),
0 ≤ τ < β < t, {x, ξ} ⊂ Rn; (22)
Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ)≤E1
c (β − τ, λ1 − ξ1)×
×E1
−c(t− β, x1 − λ1)E2
c/2(t− τ,X2(t− τ)− ξ2),
(t+ τ)/2 =: t1 < β < t, {x, ξ} ⊂ Rn, λ1 ∈ Rn1 , (23)
де C, c i c0 – додатнi сталi, причому c0 < c.
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 115
Наступнi твердження стосуються ФРЗК для рiвняння
L0u(t, x) = (S −A(t, y, ∂x1))u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0,T ], (24)
коефiцiєнти якого залежать тiльки вiд змiнної t i параметра y ∈
Rn.
Теорема 1. Нехай коефiцiєнти рiвняння (24), як функцiї t i y,
задовольняють умови 1 i 2. Тодi для рiвняння (24) iснує ФРЗК
G0, для якого справджуються оцiнки
|∂kx∂lξG0(t, x; τ, ξ; y)| ≤ Ckl(t− τ)−M−MklEc(t− τ, x, ξ), (25)
|∆zs
ys∂
k
x∂
l
ξG0(t, x; τ, ξ; y)| ≤ Ckl(t− τ)−M−MklEc(t− τ, x, ξ)×
×
{
|y1 − z1|α1 , якщо s = 1,
hm2α2 + |Y2(h)− z2|α2 , якщо s = 2,
(26)
а також рiвностi
∫
Rn
G0(t, x; τ, ξ; y)dξ = exp{(t− τ)
1∫
0
a0(τ + (t− τ)β, y)dβ}, (27)
∂kx
∫
Rn
G0(t, x; τ, ξ; y)dξ = 0, (28)
∂k2x2
∫
Rn2
G0(t, x; τ, ξ; y)dξ2 = 0, (29)
∂k2x2G0(t, x; τ, ξ; y) = (−∂ξ2)k2G0(t, x; τ, ξ; y). (30)
Тут 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ, y} ⊂ Rn, {ys, zs} ⊂ Rns , s ∈
{1, 2}, {k, l} ⊂ Zn+, k ∈ Zn+\{0} в (28) i k2 ∈ Zn2
+ \{0} в (29) i (30),
Ckl i c – додатнi сталi, Mkl := m1(|k1| + |l1|) + m2(|k2| + |l2|),
αs, s ∈ {1, 2}, h – числа з умов (3) i (4).
116 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Доведення тверджень теореми проводиться аналогiчно до до-
ведення вiдповiдних тверджень з [2, с. 185 – 192].
Для обгрунтування застосовностi методу Левi необхiднi вла-
стивостi об’ємних потенцiалiв вигляду
W0(t, x; τ, ξ; y) :=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
G0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ. (31)
Цi властивостi наводяться в наступних лемах.
Функцiю f вважатимемо неперервною там, де вона визначена.
Для неї будемо використовувати такi умови:
3) |f(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C(t− τ)−M−1+γEc(t− τ, x, ξ); (32)
4) |∆zs
xsf(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C |xs − zs|γs(t− τ)−M−1+γ−msγs×
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)); (33)
5) iснують неперервнi похiднi ∂x2lf, для яких справджуються
оцiнки
|∂x2lf(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C (t− τ)−M−1+γ−m2Ec(t− τ, x, ξ). (34)
В умовах (32) – (34) 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ, y} ⊂ Rn, zs ⊂ Rns ,
s ∈ {1, 2}, l ∈ {1, . . . , n2}, {γ, γ1, γ2} ⊂ (0, 1].
Лема 3. Нехай функцiя f задовольняє умови 3 i 4. Тодi пра-
вильнi формули
∂x1jW0(t, x; τ, ξ; y) =
=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂x1jG0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ; (35)
∂x1i∂x1jW0(t, x; τ, ξ; y) =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂x1i∂x1jG0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ+
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 117
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂x1i∂x1jG0(t, x;β, λ; y)∆
X(t−β)
λ f(β, λ; τ, ξ; y)dλ+
+
t∫
t1
(∫
Rn
∂x1i∂x1jG0(t, x;β, λ; y)dλ
)
f(β,X(t− β); τ, ξ; y)dβ; (36)
SW0(t, x; τ, ξ; y) = f(t, x; τ, ξ; y)+
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
SG0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
SG0(t, x;β, λ; y)∆
X(t−β)
λ f(β, λ; τ, ξ; y)dλ+
+
t∫
t1
(∫
Rn
SG0(t, x;β, λ; y)dλf(β,X(t− β); τ, ξ; y)
)
dβ; (37)
L0W0(t, x; τ, ξ; y) = f(t, x; τ, ξ; y)+
+
t∫
τ
dβ
∫
Rn
L0G0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ
i справджуються оцiнки
|∂k1x1W0(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C(t− τ)−M−m1|k1|+γEc0(t− τ, x, ξ), (38)
|SW0(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C(t− τ)−M−1+γEc0(t− τ, x, ξ). (39)
У формулах (35)– (37) та оцiнках (38) i (39) 0 ≤ τ < t ≤ T ,
{x, ξ, y} ⊂ Rn, {i, j} ⊂ {1, . . . , n1}, k1 ∈ Zn1
+ , |k1| ≤ 2, t1 := (t +
τ)/2, C i c0 – деякi додатнi сталi, причому c0 < c, де c – стала
з умов (3) i (4).
118 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Доведення леми 3 проводиться за методикою, розробленою
в [2] при доведеннi аналогiчних властивостей об’ємних потенцi-
алiв у випадку рiвномiрно параболiчних рiвнянь i вироджених
рiвнянь типу Колмогорова.
Лема 4. Якщо функцiя f задовольняє умови 3 i 5, то правильнi
формули
∂x2lW0(t, x; τ, ξ; y) =
t1∫
τ
dτ
∫
Rn
∂x2lG0(t, x;β, λ; y)f(β, λ; τ, ξ; y)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
G0(t, x; τ, ξ; y)∂λ2lf(β, λ; τ, ξ; y)dλ (40)
i справджуються оцiнки
|∂x2lW0(t, x; τ, ξ; y)| ≤ C(t− τ)−M−m2+γEc0(t− τ, x, ξ), (41)
в яких 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ, y} ⊂ Rn, l ∈ {1, . . . , n2}, c0 ∈ (0, c), c –
стала з умов (3) i (5), число t1 таке, як у лемi 3.
Доведення. Iснування вiдповiдних невласних iнтегралiв дово-
диться аналогiчно до того, як це робилося у [2] i, отже, при дове-
деннi леми 3. Можливiсть перекидання похiдних на другий спiв-
множник забезпечується властивiстю (30) з теореми 1 та оцiнка-
ми (25) i (34). �
Зробимо деякi зауваження.
Зауваження 1. Твердження лем 3 i 4 залишаються правиль-
ними, якщо функцiя f залежить вiд основної (t, x) i параметри-
чної (τ, ξ) точок та параметра y2 ∈ Rn2 або лише вiд основної
точки (t, x), тобто f = f(t, x; τ, ξ; y2) або f = f(t, x).
Зауваження 2. Твердження лем 3 i 4 залишаються правиль-
ними, якщо замiсть умов (32)–(34) припускати, що функцiя f
є неперервною i обмеженою разом iз похiдними за x2 та задо-
вольняє за просторовими змiнними локальну умову Гельдера з
показником γ ∈ (0, 1].
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 119
3. Перший етап побудови ФРЗК
На першому етапi будуємо ФРЗК для рiвняння
L1u(t, x) := (S −A(t, (x1, y2), ∂x1)u(t, x) = 0,
(t, x) ∈ Π(0,T ], y2 ∈ Rn2 , (42)
у виглядi
Z1(t, x; τ, ξ; y2) = Z0(t, x; τ, ξ; y2) +W1(t, x; τ, ξ; y2), (43)
де
W1(t, x; τ, ξ; y2) :=
=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
Z0(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ, (44)
Z0 – параметрикс, а Q1 – невiдома функцiя.
За параметрикс беремо функцiю
Z0(t, x; τ, ξ; y2) := G0(t, x; τ, ξ; (ξ1, y2)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, y2 ∈ Rn2 , (45)
її властивостi наводяться у наступнiй лемi.
Лема 5. Нехай для коефiцiєнтiв рiвняння (42) виконуються
умови 1 i 2 . Тодi є правильними такi твердження :
|∂kxZ0(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ Ck0(t− τ)−M−Mk0Ec(t− τ, x, ξ); (46)
|∆zs
xs∂
k
xZ0(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−M−Mk0−msα0
s×
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)); (47)
|∆z2
y2∂
k
xZ0(t, x; τ, ξ; y2)| ≤
≤ Ck0 (hm2α2 + |Y2(h)− z2|α2)(t− τ)−M−Mk0Ec(t− τ, x, ξ); (48)
120 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
∂kxZ0(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ Ck0(t− τ)−Mk0+m1α1 ; (49)
∣∣∣∣∣∣∆zs
xs
∫
Rn
∂kxZ0(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−Mk0+m1α1−msα0
s ; (50)
|SZ0(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C(t− τ)−M−1Ec(t− τ, x, ξ); (51)∣∣∆zs
xsSZ0(t, x; τ, ξ; y2)
∣∣ ≤ C |xs − zs|α0
s(t− τ)−M−1−msα0
s×
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)); (52)∣∣∣∣∣∣
∫
Rn
SZ0(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ C(t− τ)−1+m1α1 ; (53)
∣∣∣∣∣∣∆zs
xs
∫
Rn
SZ0(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−1+m1α1−msα0
s ; (54)
∂k2x2
∫
Rn2
Z0(t, x; τ, ξ; y2)dξ2 = 0; (55)
∂k2x2Z0(t, x; τ, ξ; y2) = (−∂ξ2)k2Z0(t, x; τ, ξ; y2). (56)
Тут 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ, z(1), z(2)} ⊂ Rn, {y2, z2} ⊂ Rn2,
k = (k1, k2) ∈ Zn+, причому в (49),(50) k 6= 0 i в (55), (56) k2 6=
0, s ∈ {1, 2}, α0
1 i α0
2 – довiльнi числа з (0, 1], α1 i α2 – числа з
умов (3) i (4), h ∈ [0, T ].
Доведення тверджень (46), (47), (49) – (56) проводиться ана-
логiчно до доведення вiдповiдних тверджень леми 2 з [7]. Оцiнки
(48) є наслiдком означення (45) та оцiнок (26).
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 121
Зауваження 3. На пiдставi оцiнок (14) в нерiвностях (46)–
(48),(51) i (52), як i в (25),(26), замiсть оцiнюючої функцiї Ec
можна брати Fc.
Припускаючи, що функцiя Q1 з формули (44) задовольняє
умови леми 3, отримуємо для цiєї функцiї iнтегральне рiвняння
Q1(t, x; τ, ξ; y2) = K1(t, x; τ, ξ; y2)+
+
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ, (57)
в якому
K1(t, x; τ, ξ; y2) :=
=
(
n1∑
j,l=1
∆ξ1
x1ajl(t, (x1, y2))∂x1j∂x1l +
n1∑
j=1
∆ξ1
x1aj(t, (x1, y2))∂x1j+
+∆ξ1
x1a0(t, (x1, y2))
)
Z0(t, x; τ, ξ; y2). (58)
З (58) i (56) випливають рiвностi
∂k2x2K1(t, x; τ, ξ; y2) =
=
(
n1∑
j,l=1
∆ξ1
x1ajl(t, (x1, y2))∂x1j∂x1l +
n1∑
j=1
∆ξ1
x1aj(t, (x1, y2))∂x1j+
+∆ξ1
x1a0(t, (x1, y2))
)
∂k2x2Z0(t, x; τ, ξ; y2), (59)
∂k2x2K1(t, x; τ, ξ; y2) = (−∂ξ2)k2K1(t, x; τ, ξ; y2), (60)
в яких 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, y2 ∈ Rn2 , |k2| ∈ Zn2
+ \ {0}.
За допомогою (59) запишемо такi зображення для приростiв:
∆z1
x1∂
k2
x2K1(t, x; τ, ξ; y2) =
122 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
=
n1∑
j,l=1
∆z1
x1ajl(t, (x1, y2))∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j,l=1
∆ξ1
z1ajl(t, (z1, y2))∆
z1
x1∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j=1
∆z1
x1aj(t, (x1, y2))∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j=1
∆ξ1
z1aj(t, (z1, y2))∆
z1
x1∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+∆z1
x1a0(t, (x1, y2))∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+∆ξ1
z1a0(t, (z1, y2))∆
z1
x1∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2), (61)
∆z2
x2∂
k2
x2K1(t, x; τ, ξ; y2) =
=
n1∑
j,l=1
∆ξ1
x1ajl(t, (x1, y2))∆
z2
x2∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j=1
∆ξ1
x1aj(t, (x1, y2))∆
z2
x2∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+∆ξ1
x1a0(t, (x1, y2))∆
x2
z2 ∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2). (62)
Оцiнюючи доданки з виразiв (59), (61) i (62) за допомогою
умов 1 i 2, оцiнок (46) i (47) та нерiвностi (21), одержуємо оцiнки
|∂k2x2K1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤
≤ C(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec(t− τ, x, ξ); (63)
|∆zs
xs∂
k2
x2K1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |xs − zs|α
0
s×
×(t− τ)−M−1+m1α1−msα0
s−m2|k2|×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 123
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)), (64)
де 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, z(s), ξ} ⊂ Rn, {xs, zs} ⊂ Rns , y2 ∈ Rn2 ,
k2 ∈ Zn2
+ , α0
1 = α1, α1 – число з умови (3), α0
2– довiльне число з
промiжку (0,1].
З оцiнки (63) для K1 та оцiнок (14) випливає, що для ядра
K1 виконуються умови леми 1.10 з [2, c. 44], на пiдставi якої
для функцiї Q1 справджується оцiнка (32) з γ = m1α1, тобто
виконується для неї умова 3.
Перейдемо до оцiнок похiдних вiд функцiї Q1 за змiнною x2.
Для цього потрiбно дослiдити властивостi регулярностi повтор-
них ядер ∂k2x2K1l, l > 1, k2 ∈ Zn2
+ . Як i в (40), маємо
∂k2x2K1l(t, x; τ, ξ; y2) =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k2x2K1(t, x;β, λ; y2)K1(l−1)(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
K1(l−1)(β, λ; τ, ξ; y2)dλ, (65)
де
K11(t, x; τ, ξ; y2) := K1(t, x; τ, ξ; y2),
K1l(t, x; τ, ξ; y2) =
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, λ; y2)×
×K1(l−1)(β, λ; τ, ξ; y2)dλ, l > 1.
Зауважимо, що при встановленнi формул (65) iстотно вико-
ристовуються рiвностi (60). Iнтеграли в правiй частинi (65) оцi-
нюємо послiдовно за допомогою оцiнки (63) та нерiвностi (19).
Повторюючи мiркування, якi наведено в [7], одержуємо
|∂k2x2K1l(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C l
(π
c
)l−1 Γl(m1α1)
Γ(lm1α1)
×
124 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
×(t− τ)−M−1+lm1α1−m2|k2|Ec(t− τ, x, ξ), k2 ∈ Zn2
+ , l ≥ 1, (66)
де Γ – гамма-функцiя Ейлера. Оцiнки (66) гарантують абсолю-
тну та рiвномiрну збiжнiсть ряду
∞∑
l=1
∂k2x2K1l(t, x; τ, ξ; y2) = ∂k2x2Q1(t, x; τ, ξ; y2)
та оцiнку
|∂k2x2Q1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec(t− τ, x, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, y2 ∈ Rn2 , k2 ∈ Zn2
+ . (67)
Отже, функцiя Q1 задовольняє умову 5 з γ = m1α1 i |k2| = 1.
Далi треба довести, що функцiя Q1 задовольняє умову 4, тоб-
то одержати потрiбнi оцiнки приростiв цiєї функцiї. Для цього
будемо оцiнювати прирости ∆zs
xs∂
k2
x2Q1, s ∈ {1, 2}, k2 ∈ Zn2
+ . Але
перш за все зробимо наступне зауваження.
Зауваження 4. Оцiнки цих приростiв досить провести у ви-
падку, коли |xs−zs|1/ms ≤ (t−τ)/4, s ∈ {1, 2}. Якщо |xs−zs|1/ms >
(t− τ)/4, то потрiбнi оцiнки приростiв безпосередньо виплива-
ють з оцiнок (67). За умови |xs− zs|1/ms ≤ (t− τ)/4} справджу-
ється нерiвнiсть ( див. нерiвнiсть (36) iз [7])
Ec(t− τ, y(s), ξ) ≤ C1Ec0(t− τ, x, ξ), (68)
де c0 ∈ (0, c), y(s) – точка на вiдрiзку прямої, що сполучає точки
x i z(s).
За допомогою рiвностей (57) i (60), оцiнок (63) i (67) та нерiв-
ностi (19) отримуємо таке зображення:
∂k2x2Q1(t, x; τ, ξ; y2) = ∂k2x2K1(t, x; τ, ξ; y2)+
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 125
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k2x2K1(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ,
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, y2 ∈ Rn2 , k2 ∈ Zn2
+ . (69)
Розглянемо спершу прирости ∂k2x2Q1, k2 ∈ Zn2
+ , за змiнною x2.
За допомогою (69) записуємо зображення
∆z2
x2∂
k2
x2Q1(t, x; τ, ξ; y2) = ∆z2
x2∂
k2
x2K1(t, x; τ, ξ; y2)+
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z2
x2∂
k2
x2K1(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
n2∑
j=1
t∫
t1
dβ
x2j∫
z2j
∂ζ2j∫
Rn
K1(t, ζ
(j)
2 ;β,λ;y2)∂
k2
λ2
Q1(β,λ;τ,ξ; y2)dλ
dζ2j =
=:
3∑
k=1
Q2
1k, (70)
в якому t1 таке, як вище, а
ζ
(j)
2 :=
(
x1, (z21, . . . , z2(j−1), ζ2j , x2(j+1), . . . , x2n2)
)
, j ∈ {1, . . . , n2}.
Оцiнимо доданки з (70). При цьому в Q2
13 попередньо переки-
немо диференцiювання ∂ζ2j на другий спiвмножник i користува-
тимемося нерiвностями (19), (63), (64), (67) i (68). Маємо
|Q2
11| ≤ C |x2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−1+m1α1−m2(|k2|+α0
2)×
×Ec0(t− τ, x, ξ), (71)
126 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
|Q2
12| ≤ C |x2 − z2|α
0
2
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1+m1α1−m2(|k2|+α0
2)×
×Ec0(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ×
×(β − τ)−M−1+m1α1 ≤ C |x2 − z2|α
0
2(t− t1)−m2(|k2|+α0
2)×
×
t1∫
τ
(t− β)−1+m1α1(β − τ)−1+m1α1
(
((t− β)(β − τ))−M×
×
∫
Rn
Ec0(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ
)
dβ ≤ C |x2 − z2|α
0
2×
×(t− τ)−M−1+m1α1−m2(|k2|+α0
2)Ec1(t− τ, x, ξ), (72)
|Q2
13| ≤
∣∣∣∣∣∣∣
n2∑
j=1
t∫
t1
dβ
x2j∫
z2j
∫
Rn
∣∣∣K1(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)
∣∣∣×
×
∣∣∣∂k2λ2Q1(β, λ; τ, ξ; y2)
∣∣∣ dλ)dζ2j
∣∣∣∣∣ ≤
≤ C
n2∑
j=1
t∫
t1
dβ
x2j∫
z2j
(
(t− β)−M−1+m1α1
∫
Rn
Ec(t− β, ζ(j)2 , λ)×
×(β − τ)−M−1+m1α1−m2(|k2|+1)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ
)
dζ2j ≤
≤ C(t1 − τ)−m2(|k2|+1)
t∫
t1
(t− β)−1+m1α1(β − τ)−1+m1α1dβ×
×((t− β)(β − τ))−M
∫
Rn
Ec0(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 127
×
n2∑
j=1
|z2j − x2j | ≤ C |x2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−1+α1−m2(|k2|+α0
2)×
×Ec1(t− τ, x, ξ). (73)
З рiвностi (70), нерiвностей (71) – (73) i (67) випливає оцiнка
|∆z2
x2∂
k2
x2Q1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |x2 − z2|α
0
2×
×(t− τ)−M−1+m1α1−m2(|k2|+α0
2)(Ec1(t− τ, x, ξ) +Ec1(t− τ, z(2), ξ)),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, {x2, y2, z2} ⊂ Rn2 , k2 ∈ Zn2
+ . (74)
Щоб оцiнити прирости ∂k2x2Q1, k2 ∈ Zn2
+ , за змiнною x1, на пiд-
ставi (69) записуємо зображення
∆z1
x1∂
k2
x2Q1(t, x; τ, ξ; y2) = ∆z1
x1∂
k2
x2K1(t, x; τ, ξ; y2)+
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z1
x1∂
k2
x2K1(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
∆z1
x1K1(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
η1
dβ
∫
Rn
K1(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
η1∫
t
dβ
∫
Rn
K1(t, z
(1);β, λ; y2)∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ =
=:
5∑
k=1
Q1
1k, η1 := t− |x1 − z1|1/m1 . (75)
128 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Доданки з (75) оцiнюємо аналогiчно до оцiнок доданкiв з (70),
припускаючи, що |x1 − z1|1/m1 ≤ (t− τ)/4. Маємо
|Q1
11| ≤ C |x1 − z1|α1(t− τ)−M−1−m2|k2|Ec0(t− τ, x, ξ),
|Q1
12| ≤ C |x1 − z1|α1
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1−m2|k2|×
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec0(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C |x1 − z1|α1(t− t1)−1−m2|k2|×
×
t1∫
τ
(β − τ)−1+m1α1((t− β)(β − τ))−Mdβ×
×
∫
Rn
Ec0(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C |x1 − z1|α1(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec1(t− τ, x, ξ),
|Q1
13| ≤ C |x1 − z1|α
′
1
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1+m1(α1−α
′
1)×
×(β − τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C |x1 − z1|α
′
1(t1 − τ)−1+m1α1−m2|k2|
η1∫
t1
(t− β)−1+m1(α1−α
′
1)dβ×
×((t− β)(β − τ))−M
∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C |x1 − z1|α
′
1(t− η1)m1(α1−α
′
1)(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|×
×Ec1(t− τ, x, ξ) ≤ C |x1 − z1|α
′
1(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 129
×|x1 − z1|α1−α
′
1Ec1(t− τ, x, ξ) =
= C |x1 − z1|α1(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec1(t− τ, x, ξ),
де α′
1 < α1.
Доданки Q1
14 i Q1
15 оцiнюються однаково. Оцiнимо перший з
них. Маємо
|Q1
14| ≤ C
t∫
η1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1+m1α1Ec(t− β, x, λ)×
×(β − τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C (η1 − τ)−1+m1α1−m2|k2|
t∫
η1
(t− β)−1+m1α1dβ×
×((t− β)(β − τ))−M
∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C |x1 − z1|α1(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec1(t− τ, x, ξ),
оскiльки η1 − τ = t− τ − |x1 − z1|1/m1 ≥ 3(t− τ)/4.
Iз формули (75), одержаних вище оцiнок Q1
1k та оцiнки (74)
випливають оцiнки
|∆zs
xs∂
k2
x2Q1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤
≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−M−1+m1α1−m2|k2|−msα0
s×
×(Ec1(t− τ, x, ξ) + Ec1(t− τ, z(s), ξ)), 0 ≤ τ < t ≤ T,
{x, ξ} ⊂ Rn, {y2, z2} ⊂ Rn2 , k2 ∈ Zn2
+ , s ∈ {1, 2}. (76)
В оцiнках (76) α1 – число з умови 3, α0
1 = α1, α0
2 – довiльне
число з промiжку (0, 1] . З цих оцiнок випливає, що функцiя Q1
задовольняє й умову 4 з γ = m1α1, γ1 = α1, γ2 = α0
2. Отже,
апрiорнi припущення щодо Q1 є правильними.
130 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
З наведеного вище випливає, що для iнтегрального рiвняння
(57) iснує розв’язок Q1, який задовольняє умови 3 i 4. Це до-
зволяє встановити факт iснування всiх похiдних вiд об’ємного
потенцiалу W1 з (44), що входять у рiвняння (42), та, отже, до-
вести iснування ФРЗК Z1 для цього рiвняння. Похiднi вiд фун-
кцiї W1 визначаються формулами (35)–(37), в яких замiсть W0,
G0 i f треба взяти вiдповiдно W1, Z0 i Q1. На пiдставi лем 3 i
4 для похiдних вiд W1 справджуються оцiнки (38), (39) i (41) з
вiдповiдними числами γ. Звiдси та з леми 5 випливають вiдпо-
вiднi оцiнки ФРЗК Z1. Але для далi потрiбнi оцiнки приростiв
похiдних вiд функцiї Z1 i її властивостi як функцiї параметра y2.
Для цього досить установити вiдповiднi властивостi функцiї W1.
Цi властивостi наводяться у наступному пунктi 4.
4. Властивостi об’ємного потенцiалу W1
Оцiнимо прирости похiдних вiд W1. На пiдставi зауваження 4
досить розглянути випадок |xs − zs|1/ms ≤ (t − τ)/4, s ∈ {1, 2}.
Спочатку оцiнимо ∆z1
x1∂
k1
x1W1, |k1| ≤ 2. Користуючись вiдповiдно
змiненими формулами (35) i (36), запишемо зображення
∆z1
x1∂
k1
x1W1(t, x; τ, ξ; y2) =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z1
x1∂
k1
x1Z0(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
∆z1
x1∂
k1
x1Z0(t, x;β, λ; y2)∆
X(t−β)
λ Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
η1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)∆
X(t−β)
λ Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ−
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 131
−
t∫
η1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, z
(1);β, λ; y2)∆
Z(1)(t−β)
λ Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
η1∫
t1
∆z1
x1
(∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)dλ
)
Q1(β,X(t− β); τ, ξ; y2)dβ+
+
t∫
η1
(∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)dλ
)
Q1(β,X(t− β); τ, ξ; y2)dβ−
−
t∫
η1
(∫
Rn
∂k1x1Z0(t, z
(1);β, λ; y2)dλ
)
×
×Q1(β, Z
(1)(t− β); τ, ξ; y2)dβ =:
7∑
j=1
W 1
1j , (77)
де числа t1 i η1 такi, як вище.
Доданок W 1
11 оцiнюємо за допомогою нерiвностей (47), (67) i
(19):
|W 1
11| ≤
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|∆z1
x1∂
k1
x1Z0(t, x;β, λ; y2)||Q1(β, λ; τ, ξ; y2)|dλ ≤
≤ C|x1 − z1|α
0
1
t1∫
τ
(t− β)−m1(|k1|+α0
1)(β − τ)−1+m1α1×
×
∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ((t− β)(β − τ))−Mdβ ≤
≤ C|x1 − z1|α
0
1(t− τ)−M−m1(|k1|−α1+α0
1)Ec1(t− τ, x, ξ). (78)
132 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Щоб оцiнити W 1
12, використаємо оцiнки (47) з α0
1 ≥ α1 i (76).
Тодi отримаємо
|W 1
12| ≤
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|∆z1
x1∂
k1
x1Z0(t, x;β, λ; y2)|×
×|∆X(t−β)
λ Q1(β, λ; τ, ξ; y2)|dλ ≤ C
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|x1 − z1|α
0
1×
×(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1)Ec(t− β, x, λ)
[
|x1 − λ1|α1(β − τ)−M−1×
×
(
Ec(β − τ,X(t− β), ξ) + Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ)
)
+
+|X2(t− β)− λ2|α
0
2(β − τ)−M−1+m1α1−m2α0
2×
×
(
Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ) + Ec(β − τ, λ, ξ)
)]
dλ =
= C
[ η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|x1 − z1|α
0
1(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1)×
×(β − τ)−M−1|x1 − λ1|α1Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ,X(t− β), ξ)dλ+
+
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|x1 − z1|α
0
1(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1)×
×(β−τ)−M−1|x1−λ1|α1Ec(t−β, x, λ)Ec(β−τ, (λ1, X2(t−β)), ξ)dλ+
+
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|x1 − z1|α
0
1(β − τ)−M−1+m1α1−m2α0
2Ec(β − τ, λ, ξ)×
×(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1) |X2(t− β)− λ2|α
0
2Ec(t− β, x, λ)dλ+
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 133
+
η1∫
t1
dβ
∫
Rn
|x1−z1|α
0
1(t−β)−M−m1(|k1|+α0
1)(β−τ)−M−1+m1α1−m2α0
2×
×|X2(t− τ)− λ2|α
0
2Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ)dλ
]
=
=: C
4∑
j=1
W 1j
12 . (79)
Доданки суми (79) оцiнюються за допомогою нерiвностей
(19)–(23), рiвностi (17) i того, що
η1∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α1+α0
1)dβ ≤
≤ C
{
(t− τ)1−m1|k1|, якщо |k1| < 2, α0
1 = α1,
(t− η1)m1(α1−α0
1) = |x1 − z1|α1−α0
1 , якщо |k1| = 2, α0
1 > α1.
Для прикладу оцiнимо доданок W 11
12 . Mаємо
W 11
12 ≤ |x1 − z1|α
0
1(t1 − τ)−M−1
η1∫
t1
(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1)×
×
∫
Rn
|x1 − λ1|α1Ec(t− β, x, λ)dλEc(β − τ,X(t− β), ξ)dβ ≤
≤ C|x1 − z1|α
0
1(t− τ)−M−1
η1∫
t1
(t− β)−M−m1(|k1|+α0
1−α1)dβ×
×
∫
Rn
Ec1(t− β, x, λ)dλEc(t− τ, x, ξ) ≤
≤ C|x1 − z1|α
0
1(t− τ)−M−1
η1∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α1+α0
1)dβ×
134 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
×Ec(t− τ, x, ξ) ≤ C|x1 − z1|α1(t− τ)−M−m1|k1|Ec(t− τ, x, ξ).
Аналогiчно оцiнюючи iншi доданки суми (79), прийдемо до оцiн-
ки
|W 1
12| ≤ C|x1 − z1|α1(t− τ)−M−m1|k1|Ec(t− τ, x, ξ). (80)
Вирази W 1
13 i W 1
14 оцiнюються однаково, оцiнимо перший з
них. За допомогою (46) i (76) отримуємо
|W 1
13| ≤ C
[ t∫
η1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m1|k1|Ec(t− β, x, λ)|x1 − λ1|α1×
×(β − τ)−M−1Ec(β − τ,X(t− β), ξ)dλ+
+
t∫
η1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m1|k1|Ec(t− β, x, λ)|x1 − λ1|α1(β − τ)−M−1×
×Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ)dλ+
t∫
η1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m1|k1|×
×Ec(t− β, x, λ) |X2(t− β)− λ2|α
0
2(β − τ)−M−1+m1α1−m2α0
2×
×Ec(β − τ, λ, ξ)dλ+
t∫
η1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m1|k1|×
×|X2(t− β)− λ2|α
0
2Ec(t− β, x, λ) (β − τ)−M−1+m1α1−m2α0
2×
Ec(β − τ, (λ1, X2(t− β)), ξ)dλ
]
=: C
4∑
k=1
W 1k
13 . (81)
За допомогою (17), (21) i (22) маємо
W 11
13 ≤ C(t1 − τ)−M−1Ec(t− τ, x, ξ)
t∫
η1
(t− β)−M−m1(|k1|−α1)×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 135
×
∫
Rn
Ec1(t−β, x, λ)dλdβ ≤ C(t−τ)−M−m1|k1||x1−z1|α1Ec(t−τ, x, ξ).
Використовуючи (12), (16), (18) i (21), а також нерiвнiсть (23)
з c = c0/3, де c0 – стала з оцiнки (21), отримуємо
W 12
13 ≤ C(t1 − τ)−M−1
t∫
η1
(t− β)−M−m1(|k1|−α1)×
×
( ∫
Rn
E1
c0(t− β, x1 − λ1)E2
c0(t− β,X2(t− β)− λ2)×
×E1
−c0/3(t− β, x1 − λ1)E
1
c0/3
(β − τ, λ1 − ξ1)dλ
)
dβ×
×E2
c0/6
(t− τ,X2(t− τ)− ξ2) ≤
≤ C(t− τ)−M−1E2
c0/6
(t− τ,X2(t− τ)− ξ2)
t∫
η1
(t− β)−m1(|k1|−α1)×
×
( ∫
Rn1
(t−β)−m1n1E1
2c0/3
(t−β, x1−λ1)E1
c0/3
(β−τ, λ1−ξ1)dλ1
)
×
×
( ∫
Rn2
(t− β)−m2n2E2
c0(t− β,X2(t− β)− λ2)dλ2
)
dβ ≤
≤ C(t− τ)−M−1E2
c0/6
(t− τ,X2(t− τ)− ξ2)E1
c0/3
(t− τ, x1 − ξ1)×
×|x1−z1|1/m1−|k1|+α1 ≤ C|x1−z1|α1(t−τ)−M−m1|k1|Ec0/6(t−τ, x, ξ).
За допомогою (21) i (19), узявши α0
2 = α1/3, отримуємо
W 13
13 ≤ C(t1 − τ)−1+m1α1−m2α0
2
t∫
η1
(t− β)−m1|k1|+m2α0
2dβ×
136 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
×((t− β)(β − τ))−M
∫
Rn
Ec1(t− β, x, λ)Ec1(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C(t− τ)−M−m1|k1||x1 − z1|α1Ec0(t− τ, x, ξ).
Iнтеграл W 14
13 оцiнюється аналогiчно до W 12
13 .
Iз (79) та оцiнок W 1k
13 , k ∈ {1, 2, 3, 4}, випливає оцiнка
|W 1
13| ≤ C|x1 − z1|α1(t− τ)−M−m1|k1|Ec(t− τ, x, ξ). (82)
Вираз W 1
15 оцiнюємо за допомогою оцiнок (50), (67) i (22).
Маємо
|W 1
15| ≤ C|x1 − z1|α
0
1
η1∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α1+α0
1)×
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec(β − τ,X(t− β), ξ)dβ ≤ C|x1 − z1|α
0
1×
×
η1∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α1+α0
1)dβ(t1 − τ)−M−1+m1α1Ec(t− τ, x, ξ) ≤
≤ C|x1 − z1|α1(t− τ)−M−m1|k1|+m1α1Ec(t− τ, x, ξ), (83)
де α0
1 = α1, якщо |k1| < 2, i α0
1 > α1 для |k1| = 2.
Вирази W 1
16, W 1
17 оцiнюємо аналогiчно. Для першого з них за
допомогою оцiнок (49), (67) i (22) отримаємо
|W 1
16| ≤ C
t∫
η1
(t− β)−m1(|k1|−α1)×
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec(β − τ,X(t− β), ξ)dβ ≤
≤ C
t∫
η1
(t− β)−m1(|k1|−α1)dβ(t1 − τ)−M−1+m1α1Ec(t− τ, x, ξ) ≤
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 137
≤ C|x1 − z1|α1(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)Ec(t− τ, x, ξ). (84)
Iз зображення (77) i нерiвностей (78), (80), (82)–(84) випливає
оцiнка
|∆z1
x1∂
k1
x1W1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |x1 − z1|α
0
1(t− τ)−M−m1(|k1|−α1+α0
1)×
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(1), ξ)), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn,
z1 ∈ Rn1 , y2 ∈ Rn2 , |k1| ≤ 2, α0
1 ∈ (0, α1]. (85)
Перейдемо до оцiнок приростiв ∂k1x1W1, |k1| ≤ 2, за змiнною x2.
Для цього використаємо таке зображення:
∆z2
x2
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ =
=
n2∑
j=1
x2j∫
z2j
∂ζ2j ∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ
dζ2j =
=
n2∑
j=1
x2j∫
z2j
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ
dζ2j =
=
n2∑
j=1
x2j∫
z2j
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)∆
X(j)(t−β)
λ ×
×∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2) dλdζ2j +
n2∑
j=1
x2j∫
z2j
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2) dλ×
×∂λ2jQ1(β,λ;τ,ξ;y2)
∣∣∣∣
λ=X(j)(t−β)
dζ2j , 0 ≤ τ < t ≤ T,
{x, ξ} ⊂ Rn, {z2, y2} ⊂ Rn2 , k1 ∈ Zn1
+ , |k1| ≤ 2, (86)
138 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
де ζ(j)2 таке, як вище, X(j)(t−β) := X(t−β)
∣∣∣∣
x=ζ
(j)
2
, j ∈ {1, . . . , n2}.
Обгрунтування (86) проводиться за допомогою оцiнок (46), (67)
i (74) та рiвностi (56).
На пiдставi рiвностей (86) запишемо зображення
∆z2
x2∂
k1
x1W1(t, x; τ, ξ; y2) :=
3∑
j=1
W 2
1j , |k1| ≤ 2, (87)
де
W 2
11 :=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z2
x2∂
k1
x1Z0(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ,
W 2
1l :=
n2∑
j=1
x2j∫
z2j
W 2j
1l (t, ζ
(j)
2 ; τ, ξ; y2)dζ2j , l ∈ {2, 3},
W 2j
12 (t, ζ
(j)
2 x; τ, ξ; y2) :=
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)×
×∆
X(j)(t−β)
λ ∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ,
W 2j
13 (t, ζ
(j)
2 x; τ, ξ; y2) :=
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)dλ×
×
(
∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2)
)∣∣∣∣
λ=X(j)(t−β)
.
Оцiнимо W 2
11 за допомогою (47), (67) i (19) за умови |x2 −
z2|1/m2 ≤ (t− τ)/4. Маємо
|W 2
11| ≤ C
t1∫
τ
( ∫
Rn
|x2 − z2|α
0
2(t− β)−M−m1|k1|−m2α0
2×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 139
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ) dλ
)
dβ ≤
≤ C|x2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2α0
2 Ec1(t− τ, x, ξ). (88)
Для оцiнки W 2
12 використовуємо нерiвностi (46), (76) i (19)–
(23). Спочатку отримуємо
|W 2j
12 (t, ζ
(j)
2 ; τ, ξ; y2)| ≤ C
t∫
t1
dβ
∫
Rn
|∂k1x1Z0(t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)|×
×
(∣∣∣∣∆(λ1,X
(j)
2 (t−β))
λ ∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2)
∣∣∣∣ +
+
∣∣∣∣∣∣∆X(j)(t−β)
(λ1,X
(j)
2 (t−β))
∂λ2jQ1(β, λ; τ, ξ; y2)
∣∣∣∣∣
λ=X(j)(t−β)
∣∣∣∣∣∣
dλ ≤
≤ C
t∫
t1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m1|k1|Ec(t− β, ζ(j)2 , λ) ×
×
(
|X(j)
2 (t−β)−λ2|α
0
2(β−τ)−M−1+m1α1−m2(1+α0
2)
(
Ec(β−τ, λ, ξ)+
+Ec(β−τ, (λ1, X(j)
2 (t−β)), ξ)
)
+|x1−λ1|α
0
1(β−τ)−M−1+m1(α1−α0
1)−m2×
×
(
Ec(β−τ,X(j)(t−β)), ξ)+Ec(β − τ, (λ1, X(j)
2 (t− β)), ξ)
))
dλ ≤
≤ C(t1 − τ)−1+m1α1−m2(1+α0
2)
t∫
t1
(t− β)−m1|k1|+m2α0
2dβ×
×
(
(t− β)(β − τ)
)−M ∫
Rn
Ec1(t− β, ζ(j)2 , λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ+
140 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
+
∫
Rn
Ec1(t− β, ζ(j)2 , λ)Ec(β − τ, (λ1, X(j)
2 (t− τ)), ξ)dλ
+
+C(t1 − τ)−1+m1(α1−α0
1)−m2
t∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α0
1)dβ
(
(t− β)×
×(β − τ)
)−M ∫
Rn
Ec1(t− β, ζ(j)2 , λ)Ec(β − τ,X(j)(t− β), ξ)dλ+
+
∫
Rn
Ec1(t− β, ζ(j)2 , λ)Ec(β − τ, (λ1, X(j)
2 (t− β)), ξ) dλ
≤
≤ C(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2Ec2(t− τ, ζ(j)2 , ξ),
тому за допомогою (68), оскiльки |x2− z2|1/m2 ≤ (t− τ)/4, маємо
|W 2
12| ≤
n2∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x2j∫
z2j
|W 2j
12 (t, ζ
(j)
2 ; τ, ξ; y2)|dζ2j
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C|x2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2α0
2Ec3(t− τ, x, ξ), (89)
де α0
2– довiльне число з промiжку (0, 1], c3 < c2 < c1 < c.
За допомогою нерiвностей (49), (67) i (22) подiбно отримуємо
|W 2j
13 (t, ζ
(j)
2 ;β, λ; y2)| ≤ C
t∫
t1
(t− β)−M−m1(|k1|−α1)×
×(β − τ)−M−1+m1α1−m2Ec(β − τ,X(j)(t− β), ξ)dβ ≤
≤ C(t1 − τ)−M−1+m1α1−m2
t∫
t1
(t− β)−m1(|k1|−α1)dβ×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 141
×Ec(t− τ, ζ(j)2 , ξ) ≤
≤ C(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2Ec(t− β, ζ(j)2 , λ),
|W 2
13| ≤
n2∑
j=1
∣∣∣∣∣∣∣
x2j∫
z2j
|W 2j
13 (t, ζ
(j)
2 ; τ, ξ; y2)|dζ2j
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C|x2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2α0
2Ec1(t− τ, x, ξ). (90)
З рiвностей (87) та оцiнок (89)–(90) випливає оцiнка
|∆z2
x2∂
k1
x1W1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |x2−z2|α
0
2(t−τ)−M−m1(|k1|−α1)−m2α0
2×
×(Ec1(t− τ, x, ξ) + Ec1(t− τ, z(2), ξ)), (91)
де 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ Rn, {z2, y2} ⊂ Rn2 , |k1| ≤ 2, α1 –
число з умови 2, а α0
2 – довiльне число з промiжку (0, 1].
Перейдемо до оцiнок приростiв похiдних вiд W1 за параме-
тром y2 ∈ Rn2 . Оскiльки для приростiв похiдних вiд Z0 справ-
джуються оцiнки (48), то треба ще мати оцiнки приростiв вiд
Q1. Щоб цi оцiнки отримати, досить установити вiдповiднi оцiн-
ки для повторних ядер K1l, l ≥ 1, де K11 := K1.
За допомогою рiвностi (59) для k2 ∈ Zn2
+ запишемо зображен-
ня
∆z2
y2∂
k2
x2K11(t, x; τ, ξ; y2) =
=
n1∑
j,l=1
∆ξ1
x1ajl(t, (x1, y2))∆
z2
y2∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j,l=1
∆z2
y2ajl(t, (x1, y2))∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2)+
+
n1∑
j,l=1
∆y2
z2ajl(t, (ξ1, z2))∂x1j∂x1l∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2)+
142 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
+
n1∑
j=1
∆ξ1
x1aj(t, (x1, y2))∆
z2
y2∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+
n1∑
j=1
∆z2
y2aj(t, (x1, y2))∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2)+
+
n1∑
j=1
∆y2
z2aj(t, (ξ1, z2))∂x1j∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2)+
+∆ξ1
x1a0(t, (x1, y2))∆
z2
y2∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; y2)+
+∆z2
y2a0(t, (x1, y2))∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2)+
+∆y2
z2a0(t, (x1, z2))∂
k2
x2Z0(t, x; τ, ξ; z2).
Використовуючи оцiнки (46) i (48) та нерiвностi (4) при h = 0,
отримаємо
|∆z2
y2∂
k2
x2K11(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C|y2−z2|α
0
2(t−τ)−M−1−m2(|k2|−α2+α0
2)×
×Ec(t− τ, x, ξ), α0
2 ∈ (0, α2]. (92)
Далi користуємось зображенням
∆z2
y2∂
k2
x2K12(t, x; τ, ξ; y2) =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z2
y2∂
k2
x2K11(t, x;β, λ; y2)K11(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k2x2K11(t, x;β, λ; y2)∆
z2
y2K11(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∆z2
y2K11(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
K11(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 143
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
K11(t, x;β, λ; z2)∆
z2
y2∂
k2
λ2
K11(β, λ; τ, ξ; y2)dλ
i оцiнюємо його доданки за допомогою оцiнок (63) i (92) та не-
рiвностi (19). Маємо
|∆z2
y2∂
k2
x2K12(t, x; τ, ξ; y2)| ≤
≤ C
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
|y2 − z2|α2(t− β)−M−1−m2|k2|Ec(t− β, x, λ)×
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec(β − τ, λ, ξ)dλ+ C
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)×
×(t−β)−M−1+m1α1−m2|k2||y2−z2|α2(β−τ)−M−1+m2α2Ec(β−τ, λ, ξ)dλ+
+C
t∫
t1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1+m2(α2−α0
2)|y2 − z2|α
0
2Ec(t− β, x, λ)×
×(β − τ)−M−1+m1α1−m2|k2|Ec(β − τ, λ, ξ) dλ+
+C
t∫
t1
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−1+m1α1 |y2 − z2|α2Ec(t− β, x, λ)×
×(β−τ)−M−1−m2(|k2|−α2)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C|y2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−1+m1α1−m2(|k2|−α2+α0
2)Ec(β − τ, λ, ξ),
де α0
2 ∈ (0, α2). За iндукцiєю отримуємо
|∆z2
y2∂
k2
x2K1l(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C|y2 − z2|α
0
2 Ec(t− τ, x, ξ)×
×(t− τ)−M−m1(2−lα1+α1)−m2(|k2|−α2+α0
2), l ≥ 2, α0
2 ∈ (0, α2).
144 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Наслiдком цих оцiнок є оцiнка
|∆z2
y2∂
k2
x2Q1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C|y2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)×
×Ec(t− τ, x, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, {y2, z2} ⊂ Rn2 ,
k2 ∈ Zn2
+ , α0
2 ∈ (0, α2). (93)
Цю оцiнку використовуватимемо для оцiнки приросту за па-
раметром y2 ∈ Rn2 похiдних за x2 вiд W1. Запишемо зображення
∆z2
y2∂
k2
x2W1(t, x; τ, ξ; y2) =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∆z2
y2∂
k2
x2Z0(t, x;β, λ; y2)Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k2x2Z0(t, x;β, λ; z2)∆
z2
y2Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∆z2
y2Z0(t, x;β, λ; y2)∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
Z0(t, x;β, λ; z2)∆
z2
y2∂
k2
λ2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dλ =
=:
4∑
k=1
Lk. (94)
Використовуючи оцiнки (48) з h = 0, (67) i (19), маємо
|L1| ≤ C|y2 − z2|α2
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(t− β)−M−m2|k2|Ec(t− β, x, λ)×
×(β − τ)−M−1+m1α1Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤ C|y2 − z2|α2(t− t1)−m2×
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 145
×
t1∫
τ
(β−τ)−1+m1α1
((
(t−β)(β−τ)
)−M∫
Rn
Ec(t−β, x,λ)Ec(β−τ,λ,ξ)dλ
)
dβ≤
≤ C|y2 − z2|α2(t− τ)−M+m1α1−m2|k2|Ec1(t− τ, x, ξ).
На пiдставi оцiнок (46), (93) i (19) отримуємо
|L2| ≤ C|y2−z2|α
0
2
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
(t−β)−m2|k2|(β − τ)−1−m2(α0
2−α2)×
×
(
(t− β)(β − τ)
)−M ∫
Rn
Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ ≤
≤ C|y2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)Ec1(t− τ, x, ξ).
Аналогiчно за допомогою оцiнок (46), (48), (67) i (76) маємо
|L3| ≤ C|y2−z2|α2
t∫
t1
(β−τ)−1+m1α1−m2|k2|( ∫
Rn
(
(t−β)(β−τ)
)−M×
×Ec(t−β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ
)
dβ ≤
≤ C|y2 − z2|α2(t− τ)−M+m1α1−m2|k2|Ec1(t− τ, x, ξ),
|L4| ≤ C|y2−z2|α
0
2
t∫
t1
(β−τ)−1−m2(|k2|−α2+α0
2)
( ∫
Rn
(
(t−β)(β−τ)
)−M×
×Ec(t− β, x, λ)Ec(β − τ, λ, ξ)dλ
)
dβ ≤
≤ C|y2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)Ec1(t− τ, λ, ξ).
З формули (94) та одержаних оцiнок виразiв Lk, k ∈ {1, ..., 4},
випливає оцiнка
|∆z2
y2∂
k2
x2W1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C|y2 − z2|α
0
2(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)×
×Ec(t− τ, x, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, {y2, z2} ⊂ Rn2 ,
k2 ∈ Zn2
+ , α0
2 ∈ (0, α2). (95)
146 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
5. Основнi результати першого етапу побу-
дови ФРЗК
Наведемо результати першого етапу побудови ФРЗК Z, а саме
побудови й дослiдження ФРЗК Z1 для рiвняння (42).
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 i 2 . Тодi для рiвня-
ння (42) iснує класичний ФРЗК Z1, для якого справджуються
оцiнки
|∂kxZ1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C(t− τ)−M−Mk0Ec(t− τ, x, ξ), (96)
|SZ1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C(t− τ)−M−1Ec(t− τ, x, ξ), (97)
|∆zs
xs∂
k
xZ1(t, x; τ, ξ; y2)| ≤ C |xs − zs|α
0
s×
×(t− τ)−M−Mk0−msα0
s(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)), (98)∣∣∣ ∆z2
y2∂
k2
x2Z1(t, x; τ, ξ; y2)
∣∣∣≤ C |y2 − z2|α0
2×
×(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)Ec(t− τ, x, ξ); (99)∣∣∣ ∫
Rn
∂k1x1Z1(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m1(|k1|−α1), (100)
∣∣∣ ∆zs
xs
∫
Rn
∂k1x1Z1(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣≤ C |xs − zs|α0
s×
×(t− τ)−m1(|k1|−α1)−msα0
s , (101)∣∣∣ ∫
Rn2
∂k2x2Z1(t, x; τ, ξ; ξ2)dξ2
∣∣∣≤ C(t− τ)−m1n1−m2(|k2|−α2)×
×E1
c (t− τ, x1 − ξ1), (102)∣∣∣ ∫
Rn
∂k2x2Z1(t, x; τ, ξ; ξ2)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m2(|k2|−α2), (103)
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 147
де 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ Rn, {ys, zs} ⊂ Rns, s ∈ {1, 2}, α0
1 ∈
(0, α1], α0
2 ∈ (0, 1] в (98) i α0
2 ∈ (0, α2) в (99), (101), α1, α2 –
числа з умови 2, k := (k1, k2) ∈ Zn+, причому |k1| ≤ 2, k2 ∈ Zn2
+ у
(96)–(99), а в (100)–(103) k1 6= 0 i k2 6= 0.
Доведення. Оцiнки (96)–(99) випливають iз вiдповiдних оцiнок
Z0 i W1, встановлених у пунктах 3 i 4. Для одержання оцiнок
(100) i (101) скористаємося формулою (43) i тим, що на пiдставi
(49) i (50) такi оцiнки справджуються для Z0. Щоб довести, що
вони є правильними й для W1, використаємо оцiнки∣∣∣ ∫
Rn
Q1(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−1+m1α1 (104)
i ∣∣∣ ∆zs
xs
∫
Rn
Q1(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣≤ C|xs − zs|α0
s(t− τ)−1+m1α1−msα0
s ,
(105)
якi безпосередньо випливають з оцiнок (67) i (76) та рiвностi (17).
За допомогою означення (44) для W1 записуємо зображення∫
Rn
∂k1x1W1(t, x; τ, ξ; y2)dξ =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)
∫
Rn
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dξ
dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)
∆
X(t−β)
λ
∫
Rn
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dξ
dλ+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂k1x1Z0(t, x;β, λ; y2)dλ
∫
Rn
Q1(β,X(t− β); τ, ξ; y2)dξ.
148 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
Оцiнивши його доданки за допомогою оцiнок (46), (49), (104) i
(105), рiвностi (17) та нерiвностей (21)–(23), подiбно до попере-
днього отримуємо∣∣∣ ∫
Rn
∂k1x1W1(t, x; τ, ξ; y2)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m1(|k1|−α1).
Аналогiчно доводиться оцiнка (101) .
Залишилось отримати оцiнки (102) i (103). Для цього заува-
жимо, що справджується рiвнiсть
∂k2x2
∫
Rn2
Q1(t, x; τ, ξ; y2)dξ2 = 0, k2 ∈ Zn2
+ \ {0}. (106)
Ця рiвнiсть випливає з аналогiчних рiвностей для повторних
ядер K1l, l ≥ 2, якi є наслiдками означення цих ядер i рiвно-
стей (55) для Z0. За допомогою рiвностей (55) i (106) отримуємо
рiвностi
∂k2x2
∫
Rn2
W1(t, x; τ, ξ; y2)dξ2 =
=
t1∫
τ
dβ
∫
Rn1
(
∂k2x2
∫
Rn2
Z0(t, x;β, λ; y2)dλ2
)( ∫
Rn2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dξ2
)
dλ1+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
Z0(t, x;β, λ; y2)
(
∂k2λ2
∫
Rn2
Q1(β, λ; τ, ξ; y2)dξ2
)
dλ = 0
i
∂k2x2
∫
Rn2
Z1(t, x; τ, ξ; y2)dξ2 = ∂k2x2
∫
Rn2
Z0(t, x; τ, ξ; y2)dξ2+
+∂k2x2
∫
Rn2
W1(t, x; τ, ξ; y2)dξ2 = 0,
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 149
з яких на пiдставi (15), (16), (20) i (99) випливають оцiнки∣∣∣ ∂k2x2 ∫
Rn2
Z1(t, x; τ, ξ; ξ2)dξ2
∣∣∣=
=
∣∣∣ ∫
Rn2
∆ξ2
y2∂
k2
x2Z1(t, x; τ, ξ; y2)
∣∣∣∣∣
y2=X(t−τ)
dξ2
∣∣∣≤
≤ C(t− τ)−M−m2(|k2|−α2+α0
2)×
×
∫
Rn2
|X2(t− τ)− ξ2|α
0
2Ec(t− τ, x, ξ)dξ2 ≤ C(t− τ)−M−m2(|k2|−α2)×
×
∫
Rn2
Ec1(t−τ, x, ξ)dξ2 ≤ C(t−τ)−m1n1−m2(|k2|−α2)E1
c1(t−τ, x1−ξ1),
∣∣∣ ∫
Rn
∂k2x2Z1(t, x; τ, ξ; ξ2)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m2(|k2|−α2).
�
6. Другий етап побудови ФРЗК
Перейдемо до завершального етапу побудови ФРЗК Z для рiв-
няння (1), який шукаємо у виглядi
Z(t, x; τ, ξ) = Z2(t, x; τ, ξ) +W2(t, x; τ, ξ), (107)
в якому функцiя
Z2(t, x; τ, ξ) := Z1(t, x; τ, ξ; ξ2), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn.
(108)
є параметриксом, побудованим за ФРЗК Z1 з пунктiв 3–5, а
W2(t, x; τ, ξ) :=
t∫
τ
dβ
∫
Rn
Z2(t, x;β, λ)Q2(β, λ; τ, ξ)dλ, (109)
150 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
де Q2 – невiдома функцiя.
Властивостi параметриксу Z2 мiстяться у наступнiй лемi, яка
безпосередньо випливає з теореми 2 та означення (108).
Лема 6. За умов 1 i 2 правильнi такi оцiнки:
|∂kxZ2(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−Mk0Ec(t− τ, x, ξ), (110)
|SZ2(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−1Ec(t− τ, x, ξ), (111)
|∆zs
xs∂
k
xZ2(t, x; τ, ξ)| ≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−M−Mk0−msα0
s×
×(Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)), (112)∣∣∣ ∫
Rn
∂k1x1Z2(t, x; τ, ξ)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m1(|k1|−α1), (113)
∣∣∣ ∆zs
xs
∫
Rn
∂k1x1Z2(t, x; τ, ξ)dξ
∣∣∣≤
≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−m1(|k1|−α1)−msα0
s , (114)∣∣∣ ∫
Rn2
∂k2x2Z2(t, x; τ, ξ)dξ2
∣∣∣≤
≤ C(t− τ)−m1n1−m2(|k2|−α2)E1
c (t− τ, x1 − ξ1), (115)∣∣∣ ∫
Rn
∂k2x2Z2(t, x; τ, ξ)dξ
∣∣∣≤ C(t− τ)−m2(|k2|−α2), (116)
де 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ Rn, zs ∈ Rns , s ∈ {1, 2}, α0
1 ∈ (0, α1],
α0
2 ∈ (0, 1] в (110) i α0
2 ∈ (0, 1) в (112), (114), α1, α2 – числа з
умови 2, k := (k1, k2) ∈ Zn+, причому |k1| ≤ 2, k2 ∈ Zn2
+ у (110)–
(112), а в (113)–(116) k1 6= 0 i k2 6= 0.
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 151
Нехай функцiя Q2 задовольняє умови 3 i 4. Тодi для неї отри-
маємо iнтегральне рiвняння
Q2(t, x; τ, ξ) =
= K2(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
K2(t, x;β, λ)Q2(β, λ; τ, ξ)dλ, (117)
в якому ядро K2 визначається формулою
K2(t, x; τ, ξ) :=
(
n1∑
j,l=1
∆ξ2
x2ajl(t, x)∂x1j∂x1l +
n1∑
j=1
∆ξ2
x2aj(t, x)∂x1j+
+∆ξ2
x2a0(t, x)
)
Z2(t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn. (118)
Доведення iснування розв’язку iнтегрального рiвняння (117)
та встановлення потрiбних властивостей резольвенти проводи-
ться аналогiчно до того, як це робилось на першому етапi. За
допомогою нерiвностей (4), (21) i (110) маємо
|K2(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−1+m2α2Ec0(t, x; τ, ξ).
Ця оцiнка дозволяє отримати таку саму оцiнку для резоль-
венти iнтегрального рiвняння (117), тобто оцiнку
|Q2(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−1+m2α2Ec0(t, x; τ, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn. (119)
Для отримання оцiнок приростiв функцiї Q2 скористаємось
формулами
∆zs
xsQ2(t, x; τ, ξ) = ∆zs
xsK2(t, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∆zs
xsK2(t, x;β, λ)×
152 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
×Q2(β, λ; τ, ξ)dλ, 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, s ∈ {1, 2}. (120)
i оцiнками
|∆zs
xsK2(t, x; τ, ξ)| ≤ C |xs − zs|α
0
s(t− τ)−M−1+m2α2−msα0
s×
×(Ec(t−τ, x, ξ)+Ec(t−τ, z(s), ξ)), α0
s ∈ (0, αs), s ∈ {1, 2}, (121)
якi отримуються звичним оцiнюванням членiв таких зображень:
∆z1
x1K2(t, x; τ, ξ) =
n1∑
j,l=1
∆z1
x1ajl(t, x)∂x1j∂x1lZ2(t, x; τ, ξ)+
+
n1∑
j,l=1
∆ξ2
x2ajl(t, z
(1))∆z1
x1∂x1j∂x1lZ2(t, x; τ, ξ)+
n1∑
j,l=1
∆x1
z1 ajl(t, (z1, ξ2))×
×∂x1j∂x1lZ2(t, z
(1); τ, ξ) +
n1∑
j=1
∆z1
x1aj(t, x)∂x1jZ2(t, x; τ, ξ)+
+
n1∑
j=1
∆ξ2
x2aj(t, z
(1))∆z1
x1∂x1jZ2(t, x; τ, ξ) +
n1∑
j=1
∆x1
z1 aj(t, (z1, ξ2))×
×∂z1jZ2(t, z
(1); τ, ξ) + ∆z1
x1a0(t, x)Z2(t, x; τ, ξ) + ∆x1
z1 a0(t, (z1, ξ2))×
×Z2(t, z
(1); τ, ξ) + ∆ξ2
x2a0(t, z
(1))∆z1
x1Z2(t, x; τ, ξ),
∆z2
x2K2(t, x; τ, ξ) =
n1∑
j,l=1
∆ξ2
x2ajl(t, x)∆z2
x2∂x1j∂x1lZ2(t, x; τ, ξ)+
+
n1∑
j,l=1
∆z2
x2ajl(t, x)∂x1j∂x1lZ2(t, z
(2); τ, ξ) +
n1∑
j=1
∆ξ2
x2aj(t, x)×
×∆z2
x2∂x1jZ2(t, x; τ, ξ) +
n1∑
j=1
∆z2
x2aj(t, x)∂x1jZ2(t, z
(2); τ, ξ)+
+∆z2
x2a0(t, x)Z2(t, z
(2); τ, ξ) + ∆ξ2
x2a0(t, z
(1))∆z2
x2Z2(t, x; τ, ξ).
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 153
На пiдставi (119)–(121) маємо∣∣∣∆zs
xsQ2(t, x; τ, ξ)
∣∣∣ ≤ C(|xs − zs|α0
s(t− τ)−M−1+m2α2−msα0
s×
×
(
Ec(t−τ, x, ξ)+Ec(t−τ, z(s), ξ)
)
+|xs−zs|α
0
s
t∫
τ
(t−β)−1+m2α2−msα0
s×
×(β − τ)−1+m2α2
(
(t− β)(β − τ)
)−M ∫
Rn
(
Ec(t− τ, x, ξ)+
+Ec(t− τ, z(s))
)
Ec(β − τ, x, ξ)dλ dβ
)
≤ C|xs − zs|α
0
s×
×(t− τ)−M−1+m2α2−msα0
s
(
Ec(t− τ, x, ξ) + Ec(t− τ, z(s), ξ)
)
,
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, α0
s ∈ (0, αs), s ∈ {1, 2}. (122)
Отже, функцiя Q2 задовольняє умову 3 з показником γ =
m2α2 та умову 4 з γs = α0
s, s ∈ {1, 2}, де α0
s – числа з оцiнок
(122). Тому, для функцiї W2 правильнi формули (35), (36) i (37)
та справджуються оцiнки (38) i (39), в яких W0, G0 i f замiне-
но на W2, Z2 i Q2 вiдповiдно. Умова (34), яка є важливою для
обгрунтування диференцiйовностi потенцiалiв W0 i W1 за змiн-
ною x2, для функцiї Q2 не виконується. Але за рахунок кращих
властивостей ядра Z2 i густини Q2 можна довести, що потенцiал
W2 має неперервнi похiднi першого порядку за x2, та отримати
їх потрiбнi оцiнки. Точнi формулювання наведено у наступнiй
лемi.
Лема 7. Нехай для коефiцiєнтiв рiвняння (1) виконуються
умови 1 i 2. Тодi для функцiї (109) правильнi формули
∂x2lW2(t, x; τ, ξ) =
t1∫
τ
dβ
∫
Rn
∂x2lZ2(t, x;β, λ)Q2(β, λ; τ, ξ)dλ+
154 С. Д. Iвасишен, I. П. Мединський
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn1
( ∫
Rn2
∂x2lZ2(t, x;β, λ)dλ2)×
×∆
X(t−β)
(λ1,X2(t−β))Q2(β, (λ1, X2(t− β)); τ, ξ)dλ1+
+
t∫
t1
dβ
∫
Rn
∂x2lZ2(t, x;β, λ)∆
(λ1,X2(t−β))
λ Q2(β, λ; τ, ξ)dλ+
+
t∫
t1
∂x2l
∫
Rn
Z2(t, x;β, λ)dλ
Q2(β,X(t− β); τ, ξ)dβ,
l ∈ {1, ..., n2},
i справджуються оцiнки
|∂x2lW2(t, x; τ, ξ)/ ≤ C(t− τ)−M−m2(1−α0
2)Ec(t− τ, x, ξ),
0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, l ∈ {1, ..., n2},
α0
2 ∈ (1/3, α2), α2 – число з умови 2.
Пiдсумком усiх попереднiх мiркувань є наступна теорема, яка
є основним результатом статтi.
Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 i 2. Тодi для рiвняння
(1) iснує класичний ФРЗК Z, для якого справджуються оцiнки
|∂kxZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−Mk0Ec(t− τ, x, ξ),
|SZ(t, x; τ, ξ)| ≤ C(t− τ)−M−1Ec(t− τ, x, ξ),
де 0 ≤ τ < t ≤ T , {x, ξ} ⊂ Rn, k := (k1, k2) ∈ Zn+, |k1|+2|k2|≤ 2.
Класичнi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi... 155
7. Висновки
У статтi запропоновано умови на коефiцiєнти ультрапараболi-
чного рiвняння типу Колмогорова з однiєю групою змiнних ви-
родження, за яких новою модифiкацiєю звичайного методу Левi
побудовано класичний ФРЗК та одержано його оцiнки. Цi ре-
зультати i методика їх отримання знайдуть застосування для
побудови й дослiдження ФРЗК для загальнiших рiвнянь, а та-
кож для встановлення коректної розв’язностi та iнтегрального
зображення розв’язкiв задачi Кошi.
Лiтература
[1] Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brown-
schen Bewegung) // Ann. Math. – 1934. – 35. – P. 116–117.
[2] Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in
the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic
type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. – 390 p.
[3] Di Franchesco M., Pascucci A. On a class of degenerate parabolic
equations of Kolmogorov type // Appl. Math. Express. – 2005. –
No 3. – P. 77–116.
[4] Ivasyshen S. D., Medynsky I. P. The Fokker-Planck-Kolmogorov
equations for some degenerate diffusion processes // Theory of
stochastic processes. – 2010. – 16 (32), № 1. – P. 57–66.
[5] Iвасишен С. Д., Лаюк В. В. Фундаментальнi розв’язки задачi Ко-
шi для деяких вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмого-
рова // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – С. 1469–1500.
[6] Iвасишен С. Д. Розв’язки параболiчних рiвнянь iз сiмейств бана-
хових просторiв, залежних вiд часу // Мат. студiї. – 2013. – 40,
№ 2. – С. 172–181.
[7] Iвасишен С. Д., Мединський I. П. Класичний фундаментальний
розв’язок виродженого рiвняння Колмогорова, коефiцiєнти яко-
го не залежать вiд змiнних виродження // Буковинський мат.
журн. – 2014. – 2, № 2–3. – С. 94–106.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-211 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/94/7d57abb30edf2e438f0b4d9511342594.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2112018-01-29T12:42:59Z Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables Класичні фундаментальні розв'язки задачі Коші для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова з двома групами просторових змінних Ivasyshen, S. D. Medynsky, I. P. Івасишен, С. Д. Мединський, І. П. We construct and investigate the classical fundamental solution of the Cauchy problem for a degenerate Kolmogorov's equation whose coefficients depend on two groups of spatial variables. We obtain exact estimates of the fundamental solution and its derivatives. Для виродженого рівняння Колмогорова із залежними від двох груп просторових змінних коефіцієнтами побудовано й досліджено класичний фундаментальний розв'язок задачі Коші. Одержано точні оцінки фундаментального розв'язку та його похідних. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/211 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 108-155 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 108-155 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 108-155 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/211/188 Авторське право (c) 2016 С. Д. Івасишен, І. П. Мединський |
| spellingShingle | Ivasyshen, S. D. Medynsky, I. P. Івасишен, С. Д. Мединський, І. П. Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title | Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title_alt | Класичні фундаментальні розв'язки задачі Коші для ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова з двома групами просторових змінних |
| title_full | Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title_fullStr | Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title_full_unstemmed | Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title_short | Classical fundamental solutions of the Cauchy problem for ultraparabolic Kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| title_sort | classical fundamental solutions of the cauchy problem for ultraparabolic kolmogorov type equations with two groups of spatial variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/211 |
| work_keys_str_mv | AT ivasyshensd classicalfundamentalsolutionsofthecauchyproblemforultraparabolickolmogorovtypeequationswithtwogroupsofspatialvariables AT medynskyip classicalfundamentalsolutionsofthecauchyproblemforultraparabolickolmogorovtypeequationswithtwogroupsofspatialvariables AT ívasišensd classicalfundamentalsolutionsofthecauchyproblemforultraparabolickolmogorovtypeequationswithtwogroupsofspatialvariables AT medinsʹkijíp classicalfundamentalsolutionsofthecauchyproblemforultraparabolickolmogorovtypeequationswithtwogroupsofspatialvariables AT ivasyshensd klasičnífundamentalʹnírozv039âzkizadačíkošídlâulʹtraparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdvomagrupamiprostorovihzmínnih AT medynskyip klasičnífundamentalʹnírozv039âzkizadačíkošídlâulʹtraparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdvomagrupamiprostorovihzmínnih AT ívasišensd klasičnífundamentalʹnírozv039âzkizadačíkošídlâulʹtraparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdvomagrupamiprostorovihzmínnih AT medinsʹkijíp klasičnífundamentalʹnírozv039âzkizadačíkošídlâulʹtraparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdvomagrupamiprostorovihzmínnih |